高考数学一轮复习第二章第四节二次函数与幂函数课时作业理含解析北师大版

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第四节 二次函数与幂函数授课提示：对应学生用书第277页[A组　基础保分练]1.已知幂函数f（x）＝（n2＋2n－2）xn2－3n（n∈Z）的图像关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n的值为（　　）A.－3　　　　　　　　 B.1C.2  D.1或2解析：∵幂函数f（x）＝（n2＋2n－2）xn2－3n在（0，＋∞）上是减函数，∴∴n＝1，又n＝1时，f（x）＝x－2的图像关于y轴对称，故n＝1.答案：B2.幂函数y＝xm2－4m（m∈Z）的图像如图所示，则m的值为（　　）A.0  B.1C.2  D.3解析：因为y＝xm2－4m（m∈Z）的图像与坐标轴没有交点，所以m2－4m＜0，即0＜m＜4.又因为函数的图像关于y轴对称，且m∈Z，所以m2－4m为偶数，因此m＝2.答案：C3.（2021·西安四校联考）已知a＝0.50.8，b＝0.80.5，c＝0.80.8，则（　　）A.c＜b＜a  B.c＜a＜bC.a＜b＜c  D.a＜c＜b解析：由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得a＝0.50.8＜0.50.5，b＝0.80.5＞0.50.5，所以b＞a，又由c＝0.80.8＞0.50.8，所以c＞a，又b＝0.80.5＞c＝0.80.8，所以a＜c＜b.答案：D4.（2021·惠州模拟）已知函数f（x）＝x2＋x＋c，若f（0）＞0，f（p）＜0，则必有（　　）A.f（p＋1）＞0B.f（p＋1）＜0C.f（p＋1）＝0D.f（p＋1）的符号不能确定解析：由题意知，f（0）＝c＞0，函数图像的对称轴为直线x＝－，则f（－1）＝f（0）＞0，设f（x）＝0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），则－1＜x1＜x2＜0，根据图像（图略）知，x1＜p＜x2，故p＋1＞0，f（p＋1）＞0.答案：A5.定义在R上的函数f（x）＝－x3＋m与函数g（x）＝f（x）＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（　　）A.（－∞，－2]B.[2，＋∞）C.[－2，2]D.（－∞，－2]∪[2，＋∞）解析：易知定义在R上的函数f（x）＝－x3＋m单调递减，所以函数g（x）＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减，所以抛物线的对称轴x＝≥1，所以k≥2.答案：B6.（2021·上海模拟）已知n∈N＋，则函数y＝xn（x∈R）与y＝nx（x∈R）图像的交点不可能（　　）A.只有（n，nn）  B.在直线y＝nx上C.多于三个  D.在第二象限解析：结合函数y＝xn（x∈R）与y＝nx（x∈R）的图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限没有交点，所以两函数图像最多只有三个交点.答案：C7.若f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是__________.解析：因为f（x）＝－x2＋2ax在[1，2]上是减函数，所以a≤1，又因为g（x）＝在[1，2]上是减函数，所以a＞0，所以0＜a≤1.答案：（0，1]8.设函数f（x）＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f（x）≤f（x－1）＋4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是__________.解析：由题可得－1－4m2（x2－1）≤（x－1）2－1＋4（m2－1）恒成立，即－4m2≤－－＋1在x∈上恒成立.令φ（x）＝－3×－2×＋1，x∈，易知φ（x）在上为增函数，∴φ（x）min＝φ＝－3×－2×＋1＝－.∴－4m2≤－，化简得（3m2＋1）（4m2－3）≥0，解得m≤－或m≥.答案：∪9.已知二次函数f（x）满足f（x＋1）－f（x）＝2x，且f（0）＝1.（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[－1，1]时，函数y＝f（x）的图像恒在函数y＝2x＋m的图像的上方，求实数m的取值范围.解析：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋1（a≠0），由f（x＋1）－f（x）＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.所以2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，因此f（x）的解析式为f（x）＝x2－x＋1.（2）因为当x∈[－1，1]时，y＝f（x）的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立；即x2－3x＋1＞m在区间[－1，1]上恒成立.所以令g（x）＝x2－3x＋1＝－，因为g（x）在[－1，1]上的最小值为g（1）＝－1，所以m＜－1.故实数m的取值范围为（－∞，－1）.[B组　能力提升练]1.已知函数f（x）＝3x2－2（m＋3）x＋m＋3的值域为[0，＋∞），则实数m的取值范围为（　　）A.{0，－3}  B.[－3，0]C.（－∞，－3]∪[0，＋∞）  D.{0，3}解析：由题意知，方程f（x）＝0有两相等实根，∴Δ＝[－2（m＋3）]2－4×3×（m＋3）＝0，解得m＝－3或m＝0，∴实数m的取值范围为{0，－3}.答案：A2.（2021·皖江模拟）已知函数y＝xa，y＝xb，y＝cx的图像如图所示，则a，b，c的大小关系为（　　）A.c＜b＜aB.a＜b＜cC.c＜a＜bD.a＜c＜b解析：由题中图像可知，a＞1，b＝，0＜c＜，得a＞b＞c.答案：A3.当x∈[0，1]时，下列关于函数y＝（mx－1）2的图像与y＝的图像交点个数说法正确的是（　　）A.当m∈[0，1]时，有两个交点B.当m∈（1，2]时，没有交点C.当m∈（2，3]时，有且只有一个交点D.当m∈（3，＋∞）时，有两个交点解析：设f（x）＝（mx－1）2，g（x）＝，其中x∈[0，1].A选项，若m＝0，则f（x）＝1与g（x）＝的图像在[0，1]上有且只有一个交点（1，1），故A选项错误；B选项，当m∈（1，2]时，∵≤＜1，∴在[0，1]上，f（x）≤f（0）＝1，g（x）＞g（0）＝＞1，f（x）＜g（x）.故无交点，B选项正确；C选项，当m∈（2，3]时，g（0）＝＞1，此时若＞（m－1）2，两个图像无交点，若≤（m－1）2，两个图像有1个交点，故C选项不正确；D选项，当m∈（3，＋∞）时，g（0）＝＞1，此时f（1）＞g（1），两个图像只有1个交点，故D选项错误.答案：B4.（2021·荆州模拟）若对任意的x∈[a，a＋2]，均有（3x＋a）3≤8x3，则实数a的取值范围是（　　）A.（－∞，－2]  B.（－∞，－1]C.（－∞，0]  D.[0，＋∞）解析：因为（3x＋a）3≤8x3，y＝x3在R上单调递增，所以3x＋a≤2x，可得x≤－a，即x∈（－∞，－a]，因为对任意的x∈[a，a＋2]，均有（3x＋a）3≤8x3成立，所以[a，a＋2]是（－∞，－a]的子集，所以a＋2≤－a，所以a≤－1，即a的取值范围是（－∞，－1].答案：B5.已知函数f（x）＝mx2＋（2－m）x＋n（m＞0），当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1恒成立，则f＝__________.解析：当x∈[－1，1]时，|f（x）|≤1恒成立.∴因此n＝－1，∴f（0）＝－1，f（1）＝1.由f（x）的图像可知，要满足题意，则图像的对称轴为直线x＝0，∴2－m＝0，m＝2，∴f（x）＝2x2－1，∴f＝－.答案：－6.若函数f（x）＝mx2＋（n－1）x＋2（m＞0，n＞0）的单调递增区间为，则＋的最小值为__________.解析：函数f（x）图像的对称轴为直线x＝－＝，故m＋n＝1，所以＋＝（m＋n）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时等号成立，从而＋的最小值为4.答案：47.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0，b∈R，c∈R）.（1）若函数f（x）的最小值是f（－1）＝0，且c＝1，F（x）＝求F（2）＋F（－2）的值；（2）若a＝1，c＝0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，试求b的取值范围.解析：（1）由已知c＝1，f（－1）＝a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，所以f（x）＝（x＋1）2.所以F（x）＝所以F（2）＋F（－2）＝（2＋1）2＋[－（－2＋1）2]＝8.（2）由题意知f（x）＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在（0，1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在（0，1]上恒成立.又当x∈（0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0].8.（2021·郑州模拟）已知函数g（x）＝ax2－2ax＋b＋1（a≠0，b＜1）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1.（1）求a，b的值；（2）设f（x）＝，不等式f（2x）－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围.解析：（1）g（x）＝ax2－2ax＋b＋1＝a（x－1）2－a＋b＋1，若a＞0，则g（x）在[2，3]上单调递增，∴g（2）＝b＋1＝1，g（3）＝3a＋b＋1＝4，解得a＝1，b＝0；若a＜0，则g（x）在[2，3]上单调递减，∴g（2）＝b＋1＝4，解得b＝3，∵b＜1，∴b＝3（舍去）.综上，a＝1，b＝0.（2）∵f（x）＝，∴f（x）＝＝x＋－2，∵不等式f（2x）－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，∴2x＋－2－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，即k≤－2＋1＝对x∈[－1，1]恒成立，∵x∈[－1，1]，∴∈，∴∈[0，1]，∴k≤0，故实数k的取值范围是（－∞，0].[C组　创新应用练]1.（2021·黄陵模拟）中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，后来用它表示上、下两个底面均为矩形（不能全为正方形）、四条侧棱的延长线不交于一点的六面体.关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之.各以其广乘之，并，以高乘之，六而一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为（　　）A.  B.C.39  D.解析：设下底面的长、宽分别为x，y，则2（x＋y）＝18，x＋y＝9，则x∈.则“刍童”的体积为×3×[2（6＋x）＋（2x＋3）y]＝（30＋2xy＋y）＝（－2x2＋17x＋39）＝－x2＋x＋，当x＝时，“刍童”的体积取得最大值，最大值为.答案：B2.已知f（x）＝x2＋2x＋1＋a，任意x∈R，f（f（x））≥0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）A.  B.C.[－1，＋∞）  D.[0，＋∞）解析：设t＝f（x）＝（x＋1）2＋a≥a，∴f（t）≥0对任意t≥a恒成立，即（t＋1）2＋a≥0对任意t∈[a，＋∞）恒成立，当a≤－1时，f（t）min＝f（－1）＝a≤－1，不符合题意；当a＞－1时，f（t）min＝f（a）＝a2＋3a＋1，则a2＋3a＋1≥0，得a≥.答案：B3.（2021·沧州模拟）定义：如果在函数y＝f（x）的定义域内的给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的平均值函数，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数f（x）＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是__________.解析：因为函数f（x）＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以＝m＝f（x0），即关于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在（－1，1）上有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1，所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2，所以实数m的取值范围是（0，2）.答案：（0，2）