高考数学一轮复习第八章第六节抛物线课时作业理含解析北师大版

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第六节 抛物线

授课提示：对应学生用书第363页
[A组　基础保分练]
1．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到点C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（　　）
A．2　　　　　　　　　 B．3
C．6 D．9
解析：设A（x，y），由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12．又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋＝12，解得p＝6．
答案：C
2．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（　　）
A．4 B．9
C．10 D．18
解析：抛物线y2＝2px的焦点为，准线方程为x＝－．由题意可得4＋＝9，解得p＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．
答案：C
3．（2021·安阳模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′．若四边形AA′PF的面积为14，且cos∠FAA′＝，则抛物线C的方程为（　　）
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′．设|AF′|＝3x，因为cos∠FAA′＝，故|AF|＝5x，则|FF′|＝4x，由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝5x，则|A′F′|＝2x＝p，故x＝．四边形AA′PF的面积S＝＝＝14，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x．

答案：C
4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于（　　）
A．4 B．
C．5 D．6
解析：易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k（x－1）．由得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，得xA·xB＝1，①　因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2（xB＋1），即xA＝2xB＋1，②　由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝．
答案：B
5．（2021·合肥检测）已知双曲线－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为1，则p的值为（　　）
A．1 B．
C．2 D．4
解析：双曲线的两条渐近线方程为y＝±2x，抛物线的准线方程为x＝－，故A，B两点的坐标为，|AB|＝2p，所以S△OAB＝×2p×＝＝1，解得p＝．
答案：B
6．（2021·广东六校联考）抛物线y＝2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为（　　）
A． B．
C． D．1
解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），直线AB的方程为y＝kx＋b，由题意知y0≥b＞0，联立得整理得2x2－kx－b＝0，Δ＝k2＋8b＞0，x1＋x2＝，x1x2＝－，则|AB|＝·，点M的纵坐标y0＝＝x＋x＝＋b．因为弦AB的长为3，所以·＝3，即（1＋k2）＝9，故（1＋4y0－4b）（y0＋b）＝9，即（1＋4y0－4b）（4y0＋4b）＝36．由基本不等式得，（1＋4y0－4b）＋（4y0＋4b）≥2＝12，当且仅当时取等号，得1＋8y0≥12，y0≥，故点M的纵坐标的最小值为．
答案：A
7．已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为（0，－2），则此抛物线的标准方程为_________．
解析：依题意可设抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0），因为焦点坐标为（0，－2），所以－＝－2，解得p＝4．故所求的抛物线的标准方程为x2＝－8y．
答案：x2＝－8y
8．直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），且与C交于A，B两点，则p＝　　　　，＋＝_________．
解析：由＝1，得p＝2．当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，代入y2＝4x，得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以＋＝＋＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x－1）（k≠0），代入抛物线方程，得k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝1，＋＝＝＝＝＝1．综上，＋＝1．
答案：2　1
9．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．
（1）求抛物线的方程；
（2）若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解析：（1）抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x．
（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2）．
又∵F（1，0），∴kFA＝．
∵MN⊥FA，∴kMN＝－．
又FA的方程为y＝（x－1），
故MN的方程为y－2＝－x，
解方程组得x＝，y＝，∴N的坐标为．
10．（2021·襄阳联考）动点P到定点F（0，1）的距离比它到直线y＝－2的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A，B两个不同的点，过点A，B分别作曲线C的切线，且两切线相交于点M．
（1）求曲线C的方程；
（2）求证：·＝0．
解析：（1）由已知得动点P在直线y＝－2的上方，条件可转化为动点P到定点F（0，1）的距离等于它到直线y＝－1的距离，∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，故其方程为x2＝4y．
（2）证明：设直线AB的方程为y＝kx＋1．
则得x2－4kx－4＝0．
设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA＋xB＝4k，xAxB＝－4．
由x2＝4y得y＝x2，∴y′＝x．
∴直线AM的方程为y－x＝xA（x－xA），①
直线BM的方程为y－x＝xB（x－xB）．②
①－②，得（x－x）＝（xA－xB）x＋（x－x），
∴x＝＝2k．将x＝代入①，得
y－x＝xA＝xAxB－x，
∴y＝xAxB＝－1，∴M（2k，－1）．
∵＝（－2k，2），＝（xB－xA，k（xB－xA）），
∴·＝－2k（xB－xA）＋2k（xB－xA）＝0．
[B组　能力提升练]
1．若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为（　　）
A．y2＝4x B．y2＝36x
C．y2＝4x或y2＝36x D．y2＝8x或y2＝32x
解析：因为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点到抛物线对称轴的距离为6，所以可设该点为P（x0，±6）．因为P到抛物线焦点F的距离为10，所以根据抛物线的定义得x0＋＝10．①　因为P在抛物线上，所以36＝2px0．②　由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，所以抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x．
答案：C
2．（2021·武汉模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（　　）
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：由题意知，当|MA|＋|MF|的值最小时，△MAF的周长最小．设点M在抛物线的准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|MD|＝|MF|，因此|MA|＋|MF|的最小值即|MA|＋|MD|的最小值．根据平面几何的知识可得，当D，M，A三点共线时，|MA|＋|MD|最小，最小值为xA－（－1）＝5＋1＝6．又|FA|＝＝5，所以△MAF周长的最小值为6＋5＝11．
答案：B
3．（2021·河北六校模拟）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为_________．
解析：设满足题意的圆的圆心为M．
根据题意可知圆心M在抛物线上．
又∵圆的面积为36π，
∴圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，则xM＝6－．
又由题意可知xM＝，∴＝6－，解得p＝8．
∴抛物线方程为y2＝16x．
答案：y2＝16x
4．（2021·成都摸底）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．若位于x轴上方的动点A在准线l上，线段AF与抛物线C相交于点B，且－|AF|＝1，则抛物线C的标准方程为_________．
解析：如图，设直线l与x轴交于点D，过点B作BE⊥l于点E，则|DF|＝p．由抛物线的定义知|BE|＝|BF|．设|BE|＝|BF|＝m，因为△AEB∽△ADF，所以＝，即＝，所以＝，所以|AF|＝．
由－|AF|＝1，得－＝1，解得p＝1，所以抛物线C的标准方程为y2＝2x．

答案：y2＝2x
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点A在抛物线C上，若|AO|＝|AF|＝．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l与抛物线C交于P，Q两点，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值．
解析：（1）因为点A在C上，|AO|＝|AF|＝，所以点A的纵坐标为，所以＋＝，所以p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y．
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b（b≥0），代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以y1＋y2＝4k2＋2b，因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以2k2＋b＝1，即2k2＝1－b≥0，所以0＜b≤1，S△OPQ＝b|x1－x2|＝b＝b＝b＝（0＜b≤1）．设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b＞0，函数单调递增，所以当b＝1时，△OPQ的面积取最大值为2．
6．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）和定点M（0，1），设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N．
（1）若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
（2）若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解析：设直线AB：y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk①，x1x2＝－2p②．
（1）由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，所以－＝－1，所以p＝2．
（2）易得直线AN：y－y1＝（x－x1），直线BN：y－y2＝（x－x2），
联立，得
结合①②式，解得即N（pk，－1）．|AB|＝|x2－x1|＝＝，点N到直线AB的距离d＝＝，则△ABN的面积S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号．因为△ABN的面积的最小值为4，所以2＝4，所以p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y．
[C组　创新应用练]
1．（2021·兰州模拟）设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝4，则△BCF与△ACF的面积之比＝（　　）
A． B．
C． D．
解析：由抛物线方程y2＝8x，得焦点F的坐标为（2，0），准线方程为x＝－2．如图，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为E，N．设直线AB的方程为y＝k（x－4）（k≠0），则由消去y并整理得k2x2－（8k2＋8）x＋16k2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝16．由抛物线的定义知|BF|＝|BN|＝x2＋2＝4，所以x2＝2，所以x1＝8，所以|AE|＝x1＋2＝10．因为BN∥AE，所以＝＝＝＝．

答案：D
2．已知抛物线x＝y2的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），抛物线的准线交x轴于点K，则最小时，直线AK的斜率为（　　）
A．1 B．
C． D．2
解析：x＝y2可化为y2＝8x．如图，过A作准线的垂线，垂足为A1．因为|AF|＝|AA1|，所以＝＝sin∠AKA1．若最小，则sin∠AKA1最小，即∠AKA1最小．数形结合可得，直线AK与抛物线y2＝8x相切时，∠AKA1最小．设直线AK的方程为y＝k（x＋2），且k＞0，与y2＝8x联立，得消去x，得ky2－8y＋16k＝0，由Δ＝64－64k2＝0，得k＝1．

答案：A