高考数学一轮复习第二章第八节函数与方程及应用课时作业理含解析北师大版

这是一份高考数学一轮复习第二章第八节函数与方程及应用课时作业理含解析北师大版，共6页。
第八节 函数与方程及应用授课提示：对应学生用书第285页[A组　基础保分练]1.下列函数中，在（－1，1）内有零点且单调递增的是（　　）A.y＝logx　　　　　　　 B.y＝2x－1C.y＝x2－  D.y＝－x3解析：函数y＝logx在定义域上单调递减，y＝x2－在（－1，1）上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求.对于y＝2x－1，当x＝0∈（－1，1）时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增.答案：B2.函数f（x）＝2x＋2x的零点所在的区间是（　　）A.[－2，－1]  B.[－1，0]C.[0，1]  D.[1，2]解析：f（－2）＝2－2＋2×（－2）＜0，f（－1）＝2－1＋2×（－1）＜0，f（0）＝20＋0＞0，由零点存在性定理知，函数f（x）的零点在区间[－1，0]上.答案：B3.若函数f（x）＝ax＋1在区间（－1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（　　）A.（1，＋∞）  B.（－∞，1）C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）  D.（－1，1）解析：由题意知，f（－1）·f（1）＜0，即（1－a）（1＋a）＜0，解得a＜－1或a＞1.答案：C4.（2021·遵义模拟）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元.设该设备使用了n（n∈N＋）年后，盈利总额达到最大值（盈利总额等于总收入减去总成本），则n等于（　　）A.6  B.7C.8  D.7或8解析：盈利总额为21n－9－＝－n2＋n－9.因为其对应的函数的图像的对称轴方程为n＝，所以当n＝7时取最大值，即盈利总额达到最大值.答案：B5.（2021·福州模拟）已知函数f（x）＝则函数y＝f（x）＋3x的零点个数是（　　）A.0  B.1C.2  D.3解析：令f（x）＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f（x）＋3x的零点个数是2.答案：C6.研究发现，当对某学科知识的学习次数x不超过6次时，对该学科的掌握程度f（x）＝0.1＋15ln.根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133].当学习某学科知识6次时，其掌握程度是85%，则该学科是（参考数据：e0.05≈1.05，e0.85≈2.34）（　　）A.甲  B.乙C.丙  D.三者均可能解析：由题意可知，0.1＋15ln＝0.85，整理得＝e0.05，解得a＝×6≈21×6＝126，因为126∈（121，127]，所以该学科是乙.答案：B7.（2020·湘赣十四校联考）已知函数f（x）＝有且只有1个零点，则实数a的取值范围是__________.解析：当a>0时，函数y＝ax－3（x>0）必有一个零点，又因为－<0，故a＋2＋a>0，解得a>1；当a＝0时，f（x）＝恰有一个零点；当a<0时，若x>0，则f（x）＝ax－3<0，若x≤0，则f（x）＝ax2＋2x＋a，此时，f（x）恒小于0，所以当a<0时，f（x）无零点，故答案为a＝0或a>1.答案：a＝0或a>18.（2021·唐山模拟）某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%（即这辆车每年减少它的价值的10%），试问，大约使用　　　　年后，用在该车上的费用（含折旧费）达到14.4万元.解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4（1－0.9x）＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.令f（x）＝x－6×0.9x，易得f（x）为单调递增函数，又f（3）＝－1.374＜0，f（4）＝0.063 4＞0，所以函数f（x）在（3，4）上有一个零点.故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元.答案：49.已知函数f（x）＝－x2－2x，g（x）＝（1）求g（f（1））的值；（2）若方程g（f（x））－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围.解析：（1）利用解析式直接求解得g（f（1））＝g（－3）＝－3＋1＝－2.（2）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在（－∞，1）上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g（t）（t＜1）与y＝a的图像有2个不同的交点，作出函数y＝g（t）（t＜1）的图像（如图），由图像可知，当1≤a＜时，函数y＝g（t）（t＜1）与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.10.声强级Y（单位：分贝）由公式Y＝10lg给出，其中I为声强（单位：W/m2）.（1）平常人交谈时的声强约为10－6 W/m2，求其声强级；（2）一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？（3）比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7 W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？解析：（1）当声强为10－6 W/m2时，由公式 Y＝10lg得Y＝10lg＝10lg 106＝60（分贝）.（2）当Y＝0时，由公式Y＝10lg得10lg＝0.所以＝1，即I＝10－12 W/m2，则常人能听到的最低声强为10－12 W/m2.（3）当声强为5×10－7 W/m2时，声强级Y＝10lg＝10lg（5×105）＝50＋10lg 5，因为50＋10lg 5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息.[B组　能力提升练]1.定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝且f（x＋1）＝f（x－1），若g（x）＝3－log2x，则函数F（x）＝f（x）－g（x）在（0，＋∞）内的零点个数为（　　）A.3  B.2C.1  D.0解析：由f（x＋1）＝f（x－1），知f（x）的周期是2，画出函数f（x）和g（x）的部分图像，如图所示，由图像可知f（x）与g（x）的图像有2个交点，故F（x）有2个零点.答案：B2.已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－k仅有一个零点，则k的取值范围是（　　）A.B.（－∞，0）∪C.（－∞，0）D.（－∞，0）∪解析：函数f（x）的图像如图所示，由题知该图像与直线y＝k只有一个公共点，故k的取值范围为（－∞，0）∪.答案：D3.（2021·衡阳模拟）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.3）（　　）A.2018年  B.2019年C.2020年  D.2021年解析：设开始超过200万元的年份是n，则130×（1＋12%）n－2 016＞200，化简得（n－2 016）lg 1.12＞lg 2－lg 1.3，所以n－2 016＞≈3.8，所以n＝2 020，因此开始超过200万元的年份是2020年.答案：C4.（2021·西安模拟）某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x（正常情况0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分）计算当月绩效工资y元.要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少.则下列函数最符合要求的是（　　）A.y＝（x－50）2＋500B.y＝10＋500C.y＝（x－50）3＋625D.y＝50[10＋lg（2x＋1）]解析：由题意知，函数应满足：①单调递增，且先慢后快，②在x＝50左右增长缓慢，最小值为500，A是先减后增，不符合要求；B由指数函数知是增长越来越快，不符合要求；D由对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求；C是由y＝x3经过平移和伸缩变换而得，最符合题目要求.答案：C5.已知函数f（x）＝x2＋x＋a（a＜0）在区间（0，1）上有零点，则a的取值范围为__________.解析：由题意f（1）·f（0）＜0，所以a（2＋a）＜0，所以－2＜a＜0.答案：（－2，0）6.已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，则实数m的取值范围是__________.解析：作出f（x）＝的图像如图所示.由于函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，结合图像得0＜m＜1，即m∈（0，1）.答案：（0，1）7.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）.（1）求f（50）的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？解析：（1）由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f（50）＝80＋4＋×150＋120＝ 277.5（万元）.（2）f（x）＝80＋4＋（200－x）＋120＝－x＋4＋250，依题意得⇒20≤x≤180，故f（x）＝－x＋4＋250（20≤x≤180）.令t＝，t∈[2，6]，则y＝－t2＋4t＋250＝－（t－8）2＋282，当t＝8，即x＝128时，f（x）取得最大值，f（x）max＝282.所以当甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元.[C组　创新应用练]1.（2021·郑州模拟）已知函数f（x）＝（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）A.（0，1]  B.[1，＋∞）C.（0，1）  D.（－∞，1]解析：画出函数f（x）的大致图像如图所示.因为函数f（x）在R上有两个零点，所以f（x）在（－∞，0]和（0，＋∞）上各有一个零点.当x≤0时，f（x）有一个零点，需0<a≤1；当x>0时，f（x）有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0<a≤1.答案：A2.李冶（1192－1279），真定栾城（今河北省石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）　　　　步、　　　　步.解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为（2r＋40）步，由题意，得（2r＋40）2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步.答案：20　603.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过　　　　 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝ae－8b＝a.故e－8b＝.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝（e－8b）3＝e－24b，则t＝ 24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案：16