2025年高考数学一轮复习-第二章-第六节 对数与对数函数-课时作业【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第二章-第六节 对数与对数函数-课时作业【含解析】，共11页。
1.计算－127－213＋lg25－lg210的值为（ ）
A.－10B.－8
C.10D.8
2.已知函数fx＝lg2x+1，x≥1，x2，x0，b>0恒过定点2，0，则ba＋1b的最小值为（ ）
A.22＋1B.22
C.3D.2＋2
7.（2024·北京）已知函数fx＝x2＋lnx，则fx（ ）
A.是奇函数，且在0，＋∞上是减函数
B.是奇函数，且在0，＋∞上是增函数
C.是偶函数，且在0，＋∞上是减函数
D.是偶函数，且在0，＋∞上是增函数
8.（多选）（2024·湖南邵阳）已知函数fx＝lgx2－x＋414，则（ ）
A.fx的最小值为1
B.∃x∈R，f1＋fx＝2
C.flg92＞f23
D.f90.1－12＞f30.18－12
9.（2024·安徽淮北）计算：12－2＋4lg22＋lg24＝ .
10.函数y＝lga（2x－3）＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝ .
11.（2024·云南大理）（1）计算：278－23＋πlg 1＋lg223－lg4169；
（2）已知a12＋a－12＝3，求a3＋a－3a＋a－1的值.
12.设f（x）＝lga（1＋x）＋lga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2.
（1）求实数a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间0，32上的最大值.
[B组 能力提升练]
13.lg932·lg6427＋lg92·lg427＝（ ）
A.94B.2
C.138D.2924
14.（2024·北京）已知函数fx＝lg2x－x－12，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A.－∞，1∪2，＋∞B.0，1∪2，＋∞
C.1，2D.1，＋∞
15.（2024·福建福州）设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么下列关系正确的是（ ）
A.a＋2b＝cB.ac＋bc＝2ab
C.1a＋12b＝1cD.1a＋1b＝2c
16.（多选）（2024·辽宁丹东）已知函数fx＝ex和gx＝ln x的图象与直线y＝2－x的交点分别为Ax1，y1，Bx2，y2，则（ ）
A.0＜x1＜1B.x1＋x2＜2
C.0＜x1x2＜1D.ex1＋ln x2＝2
17.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg pp0，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（ ）
A.p1≥p2B.p2＞10p3
C.p3＝100p0D.p1≤100p2
18.（2024·吉林长春）已知函数f（x）＝｜x｜1+｜x｜，则不等式f（ln x）＋f ln1x＜2f（1）的解集为（ ）
A.（e，＋∞）B.（0，e）
C.0，1e∪（1，e）D.1e，e
19.已知函数f（x）＝lga（8－ax）（a＞0，且a≠1），若f（x）＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是 .
20.（2024·云南曲靖）我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w、厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n有下列关系：n≤23lg2wx（注：lg 2≈0.3），根据以上信息，一张长为21 cm，厚度为0.05 mm的纸最多能对折 次.
2025年高考数学一轮复习-第二章-第六节 对数与对数函数-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.计算－127－213＋lg25－lg210的值为（ ）
A.－10B.－8
C.10D.8
答案：D
解析：－127－213＋lg25－lg210＝（36）13＋lg2510＝9－1＝8.
2.已知函数fx＝lg2x+1，x≥1，x2，x0，b>0恒过定点2，0，则ba＋1b的最小值为（ ）
A.22＋1B.22
C.3D.2＋2
答案：A
解析：由题意可知2a＋b＝1，
则ba＋1b＝ba＋2a＋bb＝ba＋2ab＋1≥2ba·2ab＋1＝22＋1，
当且仅当a＝2－22，b＝2－1时，
ba＋1b的最小值为22＋1.
7.（2024·北京）已知函数fx＝x2＋lnx，则fx（ ）
A.是奇函数，且在0，＋∞上是减函数
B.是奇函数，且在0，＋∞上是增函数
C.是偶函数，且在0，＋∞上是减函数
D.是偶函数，且在0，＋∞上是增函数
答案：D
解析：函数fx＝x2＋lnx的定义域为x｜x≠0，
且f－x＝－x2＋ln－x＝x2＋lnx＝fx，所以fx＝x2＋lnx为偶函数，函数图象关于y轴对称，
当x＞0时fx＝x2＋ln x，因为y＝x2与y＝ln x在0，＋∞上单调递增，
所以fx在0，＋∞上单调递增.
8.（多选）（2024·湖南邵阳）已知函数fx＝lgx2－x＋414，则（ ）
A.fx的最小值为1
B.∃x∈R，f1＋fx＝2
C.flg92＞f23
D.f90.1－12＞f30.18－12
答案：ACD
解析：fx＝lgx－122+10≥lg 10＝1，当且仅当x＝12时，fx取得最小值1，A正确.
因为当且仅当x＝12时，fx取得最小值，且最小值为1，所以f1＞1，所以f1＋fx＞2，B错误.
因为0＜lg92＝lg2lg9＜lg2lg8＝13，所以lg92－12＞16，又23－12＝16，且fx在－∞，12上单调递减，在12，＋∞上单调递增，所以flg92＞f23，C正确.
因为90.1＝30.2＞30.18＞1，所以90.1－12＞30.18－12＞12，所以D正确.
9.（2024·安徽淮北）计算：12－2＋4lg22＋lg24＝ .
答案：10
解析：12－2＋4lg22＋lg24＝22＋22lg22＋lg224＝4＋2＋4＝10.
10.函数y＝lga（2x－3）＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝ .
答案：27
解析：令2x－3＝1，得x＝2，此时y＝8，故定点A（2，8），
设f（x）＝xα，则f（2）＝2α＝8，得α＝3，故f（3）＝33＝27.
11.（2024·云南大理）（1）计算：278－23＋πlg 1＋lg223－lg4169；
（2）已知a12＋a－12＝3，求a3＋a－3a＋a－1的值.
解：（1）278－23＋πlg 1＋lg223－lg4169＝233×23＋π0＋lg223－lg243
＝232＋1＋lg223×34＝49＋1－1＝49.
（2）因为a12＋a－12＝3，所以a＋a－1＝a12＋a－122－2＝7，
所以a2＋a－2＝a＋a－12－2＝47，
所以a3＋a－3a＋a－1＝a＋a－1a2＋a－2－1a＋a－1＝a2＋a－2－1＝46.
12.设f（x）＝lga（1＋x）＋lga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2.
（1）求实数a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间0，32上的最大值.
解：（1）∵f（1）＝2，∴lga4＝2（a＞0，且a≠1），
∴a＝2.由1+x>0，3－x>0，得－1＜x＜3，
∴函数f（x）的定义域为（－1，3）.
（2）f（x）＝lg2（1＋x）＋lg2（3－x）
＝lg2[（1＋x）（3－x）]＝lg2[－（x－1）2＋4]，
∴当x∈[0，1]时，f（x）单调递增；
当x∈1，32时，f（x）单调递减，
故函数f（x）在0，32上的最大值是f（1）＝lg24＝2.
[B组 能力提升练]
13.lg932·lg6427＋lg92·lg427＝（ ）
A.94B.2
C.138D.2924
答案：C
解析：lg932·lg6427＋lg92·lg427
＝lg32lg9×lg27lg64＋lg2lg9×lg27lg4＝lg 25lg 32×lg 33lg 26＋lg2lg 32×lg 332lg 22
＝5lg22lg3×3lg36lg2＋lg22lg3×32lg32lg2＝54＋38＝138.
14.（2024·北京）已知函数fx＝lg2x－x－12，则不等式f（x）＜0的解集为（ ）
A.－∞，1∪2，＋∞B.0，1∪2，＋∞
C.1，2D.1，＋∞
答案：B
解析：由题意，不等式f（x）＜0，即lg2x－x－12＜0，
等价于lg2x＜x－12在0，＋∞上的解，
令gx＝lg2x，hx＝x－12，则不等式为gx＜hx，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
可得不等式f（x）＜0的解集为0，1∪2，＋∞.
15.（2024·福建福州）设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么下列关系正确的是（ ）
A.a＋2b＝cB.ac＋bc＝2ab
C.1a＋12b＝1cD.1a＋1b＝2c
答案：C
解析：设3a＝4b＝6c＝k，得a＝lg3k，b＝lg4k，c＝lg6k，
1a＝lgk3，1b＝lgk4，1c＝lgk6，则12b＝12lgk4＝lgk2，
根据lgk3＋lgk2＝lgk6可知，1a＋12b＝1c.
16.（多选）（2024·辽宁丹东）已知函数fx＝ex和gx＝ln x的图象与直线y＝2－x的交点分别为Ax1，y1，Bx2，y2，则（ ）
A.0＜x1＜1B.x1＋x2＜2
C.0＜x1x2＜1D.ex1＋ln x2＝2
答案：ACD
解析：因为函数fx＝ex和gx＝ln x互为反函数，
所以函数fx＝ex和gx＝ln x的图象关于直线y＝x对称，
由y＝x，y=2－x，解得x=1，y=1.
又因为直线y＝2－x与直线y＝x垂直，
所以A，B两点的中点为1，1，
所以0＜x1＜1，1＜x2＜2，且x1＋x2＝2，所以A正确，B错误；
由x1x2＝x12－x1＝－x12＋2x1＝－x1－12＋1＜1，可得0＜x1x2＜1，所以C正确；ex1＋ln x2＝2－x1＋2－x2＝4－x1＋x2＝4－2＝2，所以D正确.
17.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg pp0，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（ ）
A.p1≥p2B.p2＞10p3
C.p3＝100p0D.p1≤100p2
答案：ACD
解析：由题意知20×lg p3p0＝40，即lg p3p0＝2，所以p3＝100p0，故C正确.
由题意知Lp1≥Lp2，所以20×lg p1p0≥20×lg p2p0，所以p1≥p2，故A正确.
Lp2＝20×lg p2p0∈[50，60]，所以52≤lg p2p0≤3，
所以p2∈[1052p0，103p0]，即p2≤103p0＝10p3，故B错误.
Lp1＝20×lg p1p0∈[60，90]，所以3≤lg p1p0≤92，
所以p1∈[103p0，1092p0].因为100p2∈[1092p0，105p0]，
所以p1≤100p2，故D正确.
18.（2024·吉林长春）已知函数f（x）＝｜x｜1+｜x｜，则不等式f（ln x）＋f ln1x＜2f（1）的解集为（ ）
A.（e，＋∞）B.（0，e）
C.0，1e∪（1，e）D.1e，e
答案：D
解析：由题知，函数f（x）＝｜x｜1+｜x｜的定义域为R，且为偶函数，
当x＞0时，f（x）＝｜x｜1+｜x｜＝x1+x＝1－11+x单调递增，
当x＜0时，f（x）＝｜x｜1+｜x｜＝－x1－x＝1－11－x单调递减，
因为f（ln x）＋fln1x＝f（ln x）＋f（ln x－1）＝f（ln x）＋f（－ln x）＝2f（ln x），
所以f（ln x）＋fln1x＜2f（1）即为f（ln x）＜f（1），
所以－1＜ln x＜1，即ln 1e＜ln x＜ln e，
所以x∈1e，e.
19.已知函数f（x）＝lga（8－ax）（a＞0，且a≠1），若f（x）＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是 .
答案：1，83
解析：当a＞1时，f（x）＝lga（8－ax）在[1，2]上是减函数，由f（x）＞1在区间[1，2]上恒成立，
得f（x）min＝f（2）＝lga（8－2a）＞1，
即8－2a＞a，且8－2a＞0，
解得1＜a＜83.
当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上是增函数，
由f（x）＞1在区间[1，2]上恒成立，
得f（x）min＝f（1）＝lga（8－a）＞1，
且8－2a＞0.
∴8－a＜a，且8－2a＞0，此时解集为⌀.
综上可知，实数a的取值范围是1，83.
20.（2024·云南曲靖）我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w、厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n有下列关系：n≤23lg2wx（注：lg 2≈0.3），根据以上信息，一张长为21 cm，厚度为0.05 mm的纸最多能对折 次.
答案：8
解析：由题知，n≤23lg24 200＝
23lg24+lg21 000+lg22120＝
232+3lg210+lg22120.
因为lg210＝1lg2≈10.3，
0＜lg22120＜1，所以n≤8＋23lg22120，n的最大值为8.
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40