高考数学一轮复习第八章平面解析几何第三节圆的方程课时规范练理含解析新人教版

第三节 圆的方程

[A组　基础对点练]

1．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　　)

A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

B．(x－1)2＋(y－1)2＝2

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8

D．(x－1)2＋(y－1)2＝8

解析：由题意知，直径的两端点分别为(0，2)，(2，0)，所以圆心为(1，1)，半径为.故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

答案：B

2．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为(　　)

A．(－2，－4)     B．

C．(－2，－4)或     D．不确定

解析：∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，此时方程不表示圆．

答案：A

3．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3

B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3

C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9

解析：因为圆心(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.

答案：C

4．(2021·贵州贵阳检测)经过三点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)的圆的面积S＝(　　)

A．π     B．2π

C．3π     D．4π

解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

将A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)的坐标分别代入圆的方程可得解得D＝－2，E＝0，F＝－3，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，所以圆的半径r＝2，所以S＝4π.

答案：D

5．一个圆经过点(0，1)，(0，－1)和(2，0)，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为(　　)

A．＋y2＝     B．＋y2＝

C．＋y2＝     D．＋y2＝

解析：由题意可得圆经过点(0，1)，(0，－1)和(2，0)，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，则解得a＝，r2＝，则该圆的标准方程为＋y2＝.

答案：C

6．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为(　　)

A．(－1，1)     B．(－1，0)

C．(1，－1)     D．(0，－1)

解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知，所表示圆的半径r＝＝，

当k＝0时，rmax＝＝1，

此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，

即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1).

答案：D

7．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　)

A．30     B．18

C．6     D．5

解析：由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2，2)，半径为3，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为＋3＝8，最小距离为－3＝2，故最大距离与最小距离的差为6.

答案：C

8．已知方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，则实数F＝________．

解析：方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝2－F，因为方程x2＋y2－2x＋2y＋F＝0表示半径为2的圆，所以F＝－2.

答案：－2

9．已知在Rt△ABC中，A(0，0)，B(6，0)，则直角顶点C的轨迹方程为________________．

解析：依题意，顶点C的轨迹是以AB为直径的圆，且去掉端点A，B，圆心坐标为(3，0)，半径为3，故直角顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝9(y≠0).

答案：(x－3)2＋y2＝9(y≠0)

10．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．

解析：设圆心为C(a，0)，

由|CA|＝|CB|，

得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.

半径r＝|CA|＝＝.

故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

由题意知(m－2)2＋()2＜10，

解得0＜m＜4.

答案：(0，4)

11．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.

(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；

(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

解析：(1)设点P的坐标为(x，y)，

则＝2.

化简可得(x－5)2＋y2＝16，此式即为所求．

(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，半径为4的圆，如图所示，

由直线l2是此圆的切线，连接CQ，CM，

则|QM|＝＝，

当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，

|CQ|min＝＝4，

此时|QM|的最小值为＝4.

[B组　素养提升练]

1．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离平方，而距离的最小值为－＝，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.

答案：B

2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)

A．7     B．6

C．5     D．4

解析：根据题意，画出示意图，如图所示，

则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.

答案：B

3．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为___________．

解析：设P(x，y)，圆心C(1，1).

因为P点是过点A的弦的中点，所以⊥.

又因为＝(2－x，3－y)，＝(1－x，1－y).

所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.

所以点P的轨迹方程为＋(y－2)2＝.

答案：＋(y－2)2＝

4．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.

(1)求直线CD的方程；

(2)求圆P的方程．

解析：(1)由已知得直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)，则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.

(2)设圆心P(a，b)，

则由点P在直线CD上得a＋b－3＝0.①

又∵直径|CD|＝4，

∴|PA|＝2，

∴(a＋1)2＋b2＝40.②

由①②解得或

∴圆心为P(－3，6)或P(5，－2)，

∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.