高考数学一轮复习第八章平面解析几何第七节抛物线课时规范练理含解析新人教版

第七节 抛物线

[A组　基础对点练]

1．已知抛物线y2＝x，则它的准线方程为(　　)

A．y＝－2　　　　　　　　 B．y＝2

C．x＝－     D．x＝

解析：因为抛物线y2＝x，所以p＝，＝，它的准线方程为x＝－.

答案：C

2．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0，1)，则a＝(　　)

A．1     B．

C．2     D．

解析：因为抛物线的标准方程为x2＝y，所以其焦点坐标为，则有＝1，a＝.

答案：D

3．(2021·河南洛阳模拟)已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2，2)，则p的值为(　　)

A．1     B．2

C．3     D．4

解析：F，那么M在抛物线上，即16＝2p，即p2－8p＋16＝0，解得p＝4.

答案：D

4．过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝－x或x2＝y

B．y2＝x或x2＝y

C．y2＝x或x2＝－y

D．y2＝－x或x2＝－y

解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，∴y2＝－x或x2＝y.

答案：A

5．若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点P(x0，)到其焦点F的距离是P到y轴距离的3倍，则p等于(　　)

A．     B．1

C．     D．2

解析：根据焦半径公式|PF|＝x0＋，所以x0＋＝3x0，解得x0＝，代入抛物线方程()2＝2p×，解得p＝2.

答案：D

6．(2021·河北正定模拟)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　)

A．y＝x－1或y＝－x＋1

B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)

C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)

D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)

解析：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知＝，即＝，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选项C正确．

答案：C

7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，抛物线上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x＝(　　)

A．4     B．6

C．8     D．10

解析：∵|AF|－|BF|＝2，∴y1＋1－(y2＋1)＝2，∴y1－y2＝2，∴y1＋x－y2－x＝5(y1－y2)＝10.

答案：D

8．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)

A．2     B．2

C．2     D．4

解析：设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝4，

所以x0＝3，所以y＝4x0＝4×3＝24，

所以|y0|＝2.

由y2＝4x，知焦点F(，0)，

所以S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.

答案：C

9．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．

解析：xM＋1＝10⇒xM＝9.

答案：9

10．(2020·辽宁沈阳检测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________．

解析：设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝，设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.

答案：

11．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝________．

解析：由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，

联立直线与抛物线的方程，得

解得或

不妨设M为(1，2)，N为(4，4).

又∵抛物线焦点为F(1，0)，∴＝(0，2)，＝(3，4)，

∴·＝0×3＋2×4＝8.

答案：8

12．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

解析：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0).

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.

由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.

因此l的方程为y＝x－1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或

因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.

[B组　素养提升练]

1．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1等于(　　)

A．　　　　　 B．

C．     D．

解析：由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝×π＝，即∠A1FB1＝.

答案：C

2．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．

解析：将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a.

而由⇒|PF2|＝6－a.

所以|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，

所以抛物线的准线方程为x＝－2.

答案：x＝－2

3．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，

于是直线AB的斜率k＝＝＝1.

(2)由y＝，得y′＝.

设M(x3，y3)，由题设知＝1，

解得x3＝2，于是M(2，1).

设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.

将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.

当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，

解得x1＝2＋2，x2＝2－2.

从而|AB|＝|x1－x2|＝4.

由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.

所以直线AB的方程为y＝x＋7.

4．已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B.

(1)若A(－2，1)，求p的值以及圆C2的方程；

(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示).

解析：(1)∵A(－2，1)在抛物线C1上，∴4＝2p，p＝2.又圆C2的圆心为，半径为＝，∴圆C2的方程为(x＋1)2＋＝.

(2)记A，B，则＝，＝.

由·＝0知，x2(x2－x1)＋＝0.

∵x2≠0，且x1≠x2，∴x＋x1x2＝－4p2，∴x1＝－.

∴x＝x＋＋8p2≥2＋8p2＝16p2，当且仅当x＝，即x＝4p2时取等号．

又|OA|2＝x＋＝(x＋4p2·x)，注意到x≥16p2，

∴|OA|2≥(162·p4＋4p2·16p2)＝80p2.

而S＝π·，∴S≥20πp2，

即S的最小值为20πp2，当且仅当x＝4p2时，取得等号．