数学人教A版 (2019)3.3 抛物线习题

3.3.2 抛物线的简单几何性质（2）   -A基础练

一、选择题

1．（2020·全国高二课时练）A是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当时，,则抛物线的准线方程是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】过点A作准线的垂线AC，过点F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，如图．由题意知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，又因为|AF|＝4，所以|AB|＝2.点A到准线的距离d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.故选A.

2．（2020·山东泰安一中高二月考）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则 (    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】抛物线的焦点为所以椭圆的右焦点为即且椭圆的方程为抛物线准线为代入椭圆方程中得故选B.

3．（2020·北京大兴区高二期末）已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 (　　)

A.直线与抛物线有一个公共点                    B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点              D.直线与抛物线可能没有公共点

【答案】C

【解析】∵直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,

∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.

4. （2020·全国高二课时练）P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有 (　)

A.|PP1|=|AA1|+|BB1|                     B.|PP1|=|AB|

C.|PP1|>|AB|                           D.|PP1|<|AB|

【答案】B

【解析】如图所示,根据题意,PP1是梯形AA1B1B的中位线,

故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.

5．（多选题）（2020·山东黄岛高二月考）已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）

A． B．为中点 C． D．

【答案】ABC

【解析】如图所示：作准线于，轴于，准线于.

直线的斜率为，故，，，故，.

，代入抛物线得到；，故，故为中点；，故；，，故；故选：.

6．（多选题）（2020·江苏南通高二期中）设A，B是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（    ）

A．若，则               

B．若，直线AB过定点

C．若，到直线AB的距离不大于1

D．若直线AB过抛物线的焦点F，且，则

【答案】ACD

【解析】B.设直线方程为，，，，，将直线方程代入抛物线方程，得，则，，，，．

于是直线方程为，该直线过定点．故不正确；

C.到直线的距离，即正确；

A.

．正确；

D.由题得,所以，不妨取.

所以，所以直线AB的方程为，所以.

由题得

=.所以.所以D正确.故选：ACD．

二、填空题

7．（2020·全国高二课时练）设抛物线的焦点为，准线为．是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为__________.

【答案】

【解析】抛物线的准线方程为，由于，根据抛物线的定义可知，

将代入抛物线方程得，所以.

8．（2020·广东汕尾高二期末）已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且=3,则|AB|=__________.

【答案】

【解析】抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,设A(-1,a),B(m,n),∵=3,∴,

∴m+1=,AB=.

9.（2020·运城市景胜中学高二月考）已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．

【答案】x2＝16y

【解析】∵双曲线C1：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.

10.（2020·全国高二单元测）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点．若，且的面积为，则______．

【答案】2

【解析】由条件知，所以，所以，由抛物线的准线为，及抛物线的定义可知，P点的横坐标为，不妨设点P在x轴上方，则P的纵坐标为，

所以，解得．

三、解答题

11. （2020乌市一中高二月考）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上一点到其准线的距离为5，过点的直线依次与抛物线及圆交于、、、四点.

（1）求抛物线的方程；

（2）探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

【解析】（1）由题意，设抛物的方程为，

因为抛物线上一点到其准线的距离为5，所以，解得，

所以抛物线的方程为；

（2）由（1）知，抛物线的焦点为，恰好为圆的圆心，

设直线的方程为，设，，

因为过点的直线依次与抛物线及圆交于、、、四点，

根据抛物线的定义可得，，，

则，

由得，所以，

因此，

即为定值.

12．（2020·湖北黄石高二月考）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.

（1）求轨迹为的方程

（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.

【解析】

（1）设点，依题意，，即，

整理的，

所以点的轨迹的方程为.

（2）在点的轨迹中，记，，

依题意，设直线的方程为，

由方程组得 ①

当时，此时，把代入轨迹的方程得，

所以此时直线与轨迹恰有一个公共点.

当时，方程①的判别式为 ②

设直线与轴的交点为，则由，令，得③

（ⅰ）若，由②③解得或.

即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，

故此时直线与轨迹恰有一个公共点.

（ⅱ）若或，由②③解得或，

即当时，直线与有一个共点，与有一个公共点.

当时 ，直线与有两个共点，与没有公共点.

故当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点.

（ⅲ）若，由②③解得或，

即当时，直线与有两个共点，与有一个公共点.

故当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.

综上所述，当或 时直线与轨迹恰有一个公共点；

当时，故此时直线与轨迹恰有两个公共点；

当时，故此时直线与轨迹恰有三个公共点.