高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式巩固练习

2.3.4 两条平行线间的距离   -B提高练

一、选择题

1．（2020·江苏省如皋中学高二期中）若两条平行直线与之间的距离是，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【解析】由题意直线与平行，

则两条直线的斜率相等，即，又直线间的距离为，即，解得，

所以.故选：A

2．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)

A．3 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，

根据平行线间的距离公式得，所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，

即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.

3．（2020·浙江诸暨中学高二月考）已知，且满足，则 的最小值为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】为直线上的动点，为直线上的动点，

可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离：.故选：C

4．（2020浙江南湖嘉兴一中高二期中）设两条直线的方程分别为,,已知是方程的两个实根,且,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知得两条直线的距离是，因为是方程的两个根，所以，则，因为，所以，即.故选：C

5．（多选题）（2020江苏江阴三中高二期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】由题意，，，所以，所以：，即，

由两平行直线间的距离公式得，解得或，

所以或.故选：AB

6.（多选题）（2020山东潍坊三中高二月考）两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3)，Q(2,-1)，它们分别绕P,Q旋转，但始终保持平行，则l1,l2之间的距离可能取值为 (    )

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】ABC

【解析】当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的距离最大最大距离为，所以l1，l2之间的距离的取值范围是.

故答案选ABC

二、填空题

7．（2020·北京东城高二期中）若直线与直线平行，则_____，与之间的距离是____．

【答案】；    

【解析】，且直线的斜率为，，则直线的一般方程为.

所以，直线与之间的距离是.

8．（2020全国高二课时练）如图，已知直线l1：x+y-1=0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，l2的方程为___               _．

【答案】x+y-3=0.

【解析】设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD=，BC=b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.

9．（2020山西太原五中高二期中）与两条平行线等距离的平行线_____.

【答案】12x+8y-15=0

【解析】设所求直线方程为化为

于是，解得则所求直线方程是即

10.（2020全国高二课时练）若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°．

【答案】①⑤

【解析】两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为．又动直线被l1与l2所截的线段长为2，故动直线与两直线的夹角应为30°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．因此只有①⑤适合．

三、解答题

11．（2020山东泰安实验中学高二月考）已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0)，直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0，且l1和l2的距离是.

(1)求a的值.

(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.

【解析】 (1)l2的方程即为，

∴l1和l2的距离d=，∴.

∵a>0,∴a=3.

(2)设点P(x0,y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线

l′:2x-y+c=0上，且,即c=或c=.

∴2x0-y0+或2x0-y0+.

若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，

∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.

由P在第一象限，∴3x0+2=0不合题意.

联立方程2x0-y0+和x0-2y0+4=0，解得x0=-3,y0=,应舍去.

由2x0-y0+与x0-2y0+4=0联立，解得x0=,y0=.

所以P()即为同时满足三个条件的点.

12．（2020华东师范大学第三附属中学高二月考）设直线与.

（1）若∥，求、之间的距离；

（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程.

【解析】（1）若l1∥l2，则，

∴，∴m＝6，

∴l1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0

∴l1，l2之间的距离d；

（2）由题意，，∴0＜m＜3，

直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积Sm（3﹣m），

∴m时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3＝0．