高中北师大版6.1余弦函数的图像教案及反思

  1.6.1余弦函数的图像

一、教学目标：

知识与技能：

1.通过类比正弦函数图像的作图方法,会用几何法画出余弦函数的图像;通过诱导公式能用图像平移的方法得到余弦函数的图像.

2.观察函数y=cosx,x∈［0,2π］的图像上,哪些点起着关键作用,并会用关键点画出函数y=cosx在x∈［0,2π］上的简图.

过程与方法：

通过类比、知识迁移的学习方法,提高探究新知的能力,并通过正弦函数和余弦函数的图像与性质的对比,理解两种函数的区别及内在联系.

情感、态度与价值：

通过正弦函数和余弦函数的图像与性质的对比,理解两种函数的区别及内在联系，培养学生类比思维能力。

二、教学重点、难点

重点：.X会通过平移得到余弦函数的图像,并会用五点法画出余弦函数的图像;余弦函数的性质.

难点：结合图像,余弦函数性质的灵活运用是本节的一个难点.

三、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．

四、教学过程

（一）温故知新

思路1.(直接导入)我们在研究了正弦函数的图像,你能类比正弦函数图像的作法作出余弦函数的图像吗？从学生画图像、观察图像入手,由此展开余弦函数性质的探究.

思路2.(复习导入)研究函数就是要讨论一些性质,y＝cosx是函数,我们当然也要探讨它的一些属性.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.

（二）新知探究

提出问题①你能类比作正弦函数图像的方法,用几何方法画出余弦函数的图像吗？

②你能类比正弦函数性质的学习得到函数y=cosx,x∈［0,2π］的性质吗？

③比较正弦函数、余弦函数的图像与性质,你能发现它们都有哪些不同？

活动:先让学生充分思考、交流后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他按自己的思路继续探究;对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须掌握的基本功.因此在研究余弦函数图像与性质时,教师要引导学生充分挖掘余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的.因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势.

由诱导公式y=cosx=cos(-x)=sin［-(-x)］=sin(+x)可知,y=cosx的图像就是函数y=sin(+x)的图像.从而,余弦函数y=cosx的图像可以通过将正弦曲线y=sinx向左平移个单位长度得到(如图1所示).

图1

也可以利用描点法作出余弦函数的图像(如图2所示).余弦函数y=cosx(x∈R)的图像叫作余弦曲线.

图2

教师引导学生类比正弦函数的性质学习,让学生观察余弦函数的图像,从定义域、值域、周期性、最大值与最小值、单调性、奇偶性这几个方面探究.可完全放给学生自己探究,教师仅是适时地给予引导.学生很容易得出余弦函数y＝cosx,x∈R具有以下主要性质:

(1)定义域：余弦函数的定义域是R.

(2)值域：余弦函数的值域是［-1,1］.

(3)周期性：余弦函数是周期函数,它的最小正周期是2π.

由于余弦函数具有周期性,为了研究问题方便,我们可以选取任意一个x值,讨论余弦函数在区间［x,x+2π］上的性质,然后拓展到整个定义域(-∞,+∞)上.

(4)最大值与最小值

当x=2kπ(k∈Z)时,余弦函数取得最大值1;

当x=(2k+1)π(k∈Z)时,余弦函数取得最小值-1.

(5)单调性

我们选取长度为2π的区间［-π,π］.可以看出,当x由-π增大到0时,cosx的值由-1增大到1,当x由0增大到π时,cosx的值由1减小到-1.

因此,余弦函数在区间［-π,0］上递增,在区间［0,π］上递减.

由余弦函数的周期性可知,余弦函数在每一个区间［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)上都是递增的,在每一个区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是递减的.所以这两类闭区间的每一个都是余弦函数的单调区间.

(6)奇偶性

余弦函数的图像关于y轴对称,即cos(-x)=cosx.∴余弦函数是偶函数.

这个变化情况可从下表及图像中直观地显示出来,教师可引导学生画图并列出下表:

图3

类比正弦函数性质的探究,学生可能通过图像已经看出来了,在余弦曲线上也有其他的对称点和对称轴,如余弦曲线还关于直线x＝0,x＝π等多条直线对称,余弦曲线还关于点(,0)等多个点对称,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,以开阔学生的视野.

探究余弦函数的性质后,学生自然会拿它与正弦函数的性质进行比较一番,这种习惯很好.比较最能澄清问题的本质属性,比较是最好的学习方法.

当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图像中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线.所以它们的定义域相同,都为R.值域也相同,都是［-1,1］.最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y轴放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同.它们的周期相同,最小正周期都是2π.它们的图像都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图像上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴.但是由于y轴的位置不同,对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现.也是由于y轴的位置改变,使增、减区间的位置有所不同.也使奇偶性发生了改变.由此可以看出,图像的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响.

讨论结果:①—③略.

（三）应用示例

例1画出函数y=cosx-1,x∈R的简图,并根据图像讨论函数的性质.

活动:这是课本上紧接着余弦性质后的一道例题,目的是通过这道例题直接巩固所学的余弦函数的图像与性质.课堂上可放手让学生自己去求,教师适时地指导、点拨、纠错.并提示-1对余弦函数的图像与性质的影响.让学生进一步熟悉“五点法”作图,领悟图像作法的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”作图易学却难掌握,学生需练扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.

解:按五个关键点列表,描点画出图像(如图4所示).

图4

不难看出,函数y=cosx-1的主要性质有(如下表所示).

点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会更加令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例余弦后,学生从图像上就可以一目了然地说出函数的性质了.这也让学生从中体会到了数形结合的好处.

例2利用三角函数的单调性,比较cos(-)与cos(-)的大小.

活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的大小比较,这很好,充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高.本例是余弦,只需将角化为同一个单调区间,然后根据单调性比较大小即可.课堂上仍是让学生自己独立地去操作,教师点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.

解:cos(-)=cos=cos,cos(-)=cos()=cos.因为0＜＜＜π,且函数y=cosx,x∈［0,π］是减函数,所以cos＞cos,即cos(-)＜cos(-).

点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化为同一个单调区间.其次要注意首先大致的判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如本例中,cos＞0,cos＜0,显然大小立判.

例3求函数y=cos(x-),x∈［-2π,2π］的单调递增区间.

活动:教师引导学生探究,可以利用余弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师引导学生的思考方向:把x-看成z,问题就转化为求y＝cosz的单调区间问题,而这就简单多了,教师应点出,这里用的是换元的思想方法.

解:令z=x-.函数y=cosz的单调递增区间是［-π+2kπ,2kπ］.

由-π+2kπ≤x-≤2kπ,得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z.

取k=0,得-≤x≤,而［-,］［-2π,2π］,

因此,函数y=cos(x-),x∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-,］.

点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用余弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.

4.求函数y＝的定义域.

活动:学生探究操作,寻找解题方向,教师提醒学生充分利用函数图像.并根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等.

解:由cosx≥0得-＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z).

∴原函数的定义域为［-＋2kπ,＋2kπ］(k∈Z).

点评:本例虽然短小,学生却易出错,本例实际上是解三角不等式,应根据余弦曲线探究适合题目要求的条件,然后解之.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用余弦函数曲线写出解集.变式训练

函数y＝1+cosx的图像(    )

A.关于x轴对称                              B.关于y轴对称

C.关于原点对称                              D.关于直线x＝对称

答案:B

例5在给定的直角坐标系(如图5)中,作出函数f(x)=cos(2x+)在区间［0,π］上的图像.

图5

解:列表取点如下:

描点连线作出函数f(x)＝cos(2x+)在区间［0,π］上的图像如图6.

图6

点评:本题按说难度不大,但学生得分率却不高,画图是学生较薄弱的环节.

五、小结

1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识？学习了哪些数学思想方法？

这节课我们研究了余弦函数的图像与性质.通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的的比较,加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了本节课所学的余弦函数的图像的画法及性质的理解,将我们所学内容很快地就纳入了已有的知识系统.

2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点.

六、作业

1.课时检测

七、课后记

1.本节教案设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习幂、指数、对数函数后,对函数性质有了较深的认识.这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.

2.在学完余弦函数性质后,应着重引导学生比较正、余弦函数的性质的异同,以加深他们对两个函数的区别与联系的认识;让学生在同一坐标系中画出正弦、余弦函数的图像,在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,提高应用图像与性质解题的力度.较好地利用图像解决问题,这也是是本节课主要强调的数学思想.

3.学习正、余弦函数性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如cos(α+2π)＝cosα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了它表明余弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.