2022版新高考数学人教版一轮练习：（14） 导数的概念及运算

这是一份2022版新高考数学人教版一轮练习：（14） 导数的概念及运算，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

A组基础巩固
一、单选题
1．y＝ln eq \f(1,x)的导函数为( A )
A．y′＝－eq \f(1,x) B．y′＝eq \f(1,x)
C．y′＝ln x D．y′＝－ln(－x)
[解析] y＝ln eq \f(1,x)＝－ln x，∴y′＝－eq \f(1,x).
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,x)cs x，则f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝( C )
A．－eq \f(3,π2) B．－eq \f(1,π2)
C．－eq \f(3,π) D．－eq \f(1,π)
[解析] f(π)＝eq \f(－1,π)，f′(x)＝eq \f(－xsin x－cs x,x2)，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(2,π)，∴f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(3,π).故选C.
3．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2 022)＝( D )
A．1 B．2
C．eq \f(1,2 022) D．eq \f(2 023,2 022)
[解析] 令ex＝t，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t＋t，故f(x)＝ln x＋x.
求导得f′(x)＝eq \f(1,x)＋1，故f′(2 022)＝eq \f(1,2 022)＋1＝eq \f(2 023,2 022).故选D.
4．(2021·广东深圳模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq \f(2,x)是奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的倾斜角为( B )
A.eq \f(π,4) B．eq \f(3π,4)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(2π,3)
[解析] 由函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq \f(2,x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，可得a＝0，则f(x)＝x＋eq \f(2,x)，f′(x)＝1－eq \f(2,x2)，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝1－2＝－1，可得所求切线的倾斜角为eq \f(3π,4)，故选B.
5．(2021·湖北黄冈模拟，4)已知直线y＝eq \f(1,m)是曲线y＝xex的一条切线，则实数m的值为( B )
A．－eq \f(1,e) B．－e
C．eq \f(1,e) D．e
[解析] 设切点坐标为(n，eq \f(1,m))，对y＝xex求导得y′＝(xex)′＝ex＋xex，若直线y＝eq \f(1,m)是曲线y＝xex的一条切线，则有y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，此时有eq \f(1,m)＝nen＝－eq \f(1,e)，∴m＝－e.故选B.
6．(2020·湖南娄底二模，5)已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－eq \f(x,x－2)，则函数图象在x＝－1处的切线方程是( A )
A．2x－y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y－1＝0 D．x＋2y－2＝0
[解析] 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－eq \f(x,x＋2)，∴f(x)＝eq \f(x,x＋2)(x<0)，又f′(－1)＝2，f(－1)＝－1，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.故选A.
7．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( B )
A．－1 B．0
C．2 D．4
[解析] 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－eq \f(1,3)，即f′(3)＝－eq \f(1,3)，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.
二、多选题
8．(2021·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是( ACD )
A．(x＋eq \f(1,x))′＝1＋eq \f(1,x2)
B．(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)
C．(3x)′＝3x·lg3e
D．(x2cs x)′＝－2xsin x
[解析] 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq \f(1,x2)，所以选项A不正确；因为(lg2x)′＝eq \f(1,xln 2)，所以选项B正确；因为(3x)′＝3xln 3，所以选项C不正确；因为(x2cs x)′＝2xcs x－x2sin x，所以选项D不正确．故选A、C、D.
9．若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( BC )
A．f(x)＝3cs x B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋eq \f(1,x) D．f(x)＝ex＋x
[解析] 对于A，f(x)＝3cs x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于C，f(x)＝x＋eq \f(1,x)，其导数f′(x)＝1－eq \f(1,x2)，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．
10．若函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则实数a的可能取值为( BCD )
A．2 B．0
C．1 D．－1
[解析] 本题考查导数的几何意义．函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恒过点(0，0)，如图，当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点；当a>0时，若函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则g(x)＝ax为曲线f(x)＝ex－1的切线，且切点为(0，0)，由f′(x)＝ex，得a＝f′(0)＝e0＝1，结合选项可知BCD正确．
三、填空题
11．(1)(2018·天津，10)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为 e ；
(2)(2021·长春模拟)若函数f(x)＝eq \f(ln x,x)，则f′(2)＝ eq \f(1－ln 2,4) ；
(3)函数y＝x·tan x的导数为y′＝ tan_x＋eq \f(x,cs2x) ．
[解析] (1)本题主要考查导数的计算．
∵f(x)＝exln x，∴f′(x)＝exeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋\f(1,x)))，
∴f′(1)＝e1×(ln 1＋1)＝e.
(2)由f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，得f′(2)＝eq \f(1－ln 2,4).
(3)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)))′＝tan x＋x·eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)
＝tan x＋eq \f(x,cs2x).
12．(2020·课标Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 y＝2x ．
[解析] 设该切线的切点坐标为(x0，y0)，由y＝ln x＋x＋1得y′＝eq \f(1,x)＋1，则在该切点处的切线斜率k＝eq \f(1,x0)＋1，即eq \f(1,x0)＋1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，∴该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
13．(2021·上饶模拟)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为 eq \r(2) ．
[解析] 因为定义域为(0，＋∞)，由y′＝2x－eq \f(1,x)＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2).
B组能力提升
1．(2021·湖南长沙长郡中学模拟)等比数列{an}中，a2＝2，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)(x－a3)，则f′(0)＝( B )
A．8 B．－8
C．4 D．－4
[解析] f′(x)＝(x－a1)(x－a2)(x－a3)＋x[(x－a1)(x－a2)(x－a3)]′，∴f′(0)＝－a1a2a3＝－aeq \\al(3,2)＝－8.
2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( D )
[解析] 由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.
3．已知函数f(x)＝asin x＋bx3＋4(a，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 022)＋f(－2 022)＋f′(2 023)－f′(－2 023)＝( D )
A．0 B．2 014
C．2 015 D．8
[解析] 因为f(x)＝asin x＋bx3＋4(a，b∈R)，所以f′(x)＝acs x＋3bx2，则f(x)－4＝asin x＋bx3是奇函数，且f′(x)＝acs x＋3bx2为偶函数，所以f(2 022)＋f(－2 022)＋f′(2 023)－f′(－2 023)＝[f(2 022)－4]＋[f(－2 022)－4]＋8＝8.
4．(2021·四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( C )
A．0B．0C．0D．0[解析] 设f′(3)，f(3)－f(2)＝eq \f(f（3）－f（2）,3－2)，f′(2)分别表示直线n，m，l的斜率，数形结合知05．(2021·山东潍坊模拟)阅读材料：
求函数y＝ex的导函数．
解：因为y＝ex，所以x＝ln y，所以x′＝(ln y)′，所以1＝eq \f(1,y)·y′，所以y′＝y＝ex.
借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))在点(1，1)处的切线方程为( A )
A．y＝4x－3 B．y＝4x＋3
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋3
[解析] 因为y＝(2x－1)x＋1，所以ln y＝(x＋1)·ln(2x－1)，所以eq \f(1,y)·y′＝ln(2x－1)＋eq \f(2（x＋1）,2x－1)，所以y′＝[ln(2x－1)＋eq \f(2（x＋1）,2x－1)]·(2x－1)x＋1，当x＝1时，y′＝4，所以曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))在点(1，1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.