2022版新高考数学人教版一轮练习：（15） 导数与函数的单调性

这是一份2022版新高考数学人教版一轮练习：（15） 导数与函数的单调性，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一课时 导数与函数的单调性
A组基础巩固
一、单选题
1．函数y＝4x2＋eq \f(1,x)的单调增区间为( B )
A．(0，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))
[解析] 由y＝4x2＋eq \f(1,x)，得y′＝8x－eq \f(1,x2)，
令y′>0，即8x－eq \f(1,x2)>0，解得x>eq \f(1,2)，
∴函数y＝4x2＋eq \f(1,x)的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).故选B.
2．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)( D )
A．在(0，＋∞)上单调递增B．在(0，＋∞)上单调递减
C．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上单调递增D．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))上单调递减
[解析] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)．当f′(x)>0时，解得x>eq \f(1,e)，即函数的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))；当f′(x)<0时，解得03．函数y＝xcs x－sin x在下面哪个区间上是增函数( B )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))) B．(π，2π)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，\f(5π,2))) D．(2π，3π)
[解析] y′＝－xsin x，经验证，只有在(π，2π)内y′>0恒成立，∴y＝xcs x－sin x在(π，2π)上是增函数．
4．(2021·广东惠州调研)已知导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(x)的大致图象是( B )
[解析] 在(－1，1)上，f′(x)>0，因此函数y＝f(x)在(－1，1)上为增函数；在(－1，0)上，f′(x)单调递增，故y＝f(x)在(－1，0)上增加得越来越快，函数y＝ f(x)的图象应为指数增长模式；在(0，1)上，f′(x)单调递减，故y＝f(x)在(0，1)上增加得越来越慢，函数y＝f(x)的图象应为对数增长的模式，故选B.
5．设函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( A )
A．(1，2] B．[4，＋∞)
C．(－∞，2] D．(0，3]
[解析] f′(x)＝x－eq \f(9,x)(x>0)，当x－eq \f(9,x)≤0时，有06．已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为( A )
A．(－3，－2)∪(2，3) B．(－eq \r(2)，eq \r(2))
C．(2，3) D．(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)
[解析] 由y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f(－2)＝1，f(3)＝1，所以f(x2－6)>1可化为－27．(2020·河南许昌、平顶山期中)已知f(x)是偶函数，在(－∞，0)上满足xf′(x)>0恒成立，则下列不等式成立的是( A )
A．f(－3)B．f(4)f(－5)
C．f(－5)D．f(4)[解析] x∈(－∞，0)时，xf′(x)>0即f′(x)<0，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，又f(x)为偶函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(3)二、多选题
8．(2021·青岛市高中毕业班模拟)已知当m，n∈[－1，1]时，sin eq \f(πm,2)－sin eq \f(πn,2)A．m>n B．m3C．m[解析] 由题意，设f(x)＝x3＋sin eq \f(πx,2)，
则f′(x)＝3x2＋eq \f(π,2)cs eq \f(πx,2)，
当x∈[－1，1]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
又由m3＋sin eq \f(πm,2)所以f(m)9．已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)．下列结论正确的是( BD )
A．f(x)<0恒成立
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)
D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))[解析] 由导函数的图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)<0，故原函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢，所以f(x)的图象如图所示：
f(x)<0恒成立，没有依据，故A不正确；
B表示(x1－x2)与[f(x1)－f(x2)]异号，即f(x)为减函数．故B正确；
C，D左边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，
右边式子代表的是函数值的平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，
故C不正确，D正确．
三、填空题
10．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝ －12 ．
[解析] f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－111．函数f(x)＝eq \f(x,ln x)的单调递减区间是 (0，1)和(1，e) ．
[解析] f′(x)＝eq \f(ln x－1,ln2x)<0得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln x－1<0,ln x≠0))，解得0∴f(x)的单调递减区间为(0，1)和(1，e)．
12．已知函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f(x)在(2，3)上不单调，则实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(9,2))) ；
(2)若f(x)在(2，3)上单调，则实数a的取值范围是 (－∞，3]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，＋∞)) .
[解析] (1)由f(x)＝x3－ax2，得f′(x)＝3x2－2ax＝3xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2a,3))).若f(x)在(2，3)上不单调，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)≠0，,2<\f(2a,3)<3，))可得3四、解答题
13．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))).
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝eq \f(2,3)时，得a＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＋2a×eq \f(2,3)－1，解得a＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c，则f′(x)＝3x2－2x－1＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,3)))(x－1)，
令f′(x)>0，解得x>1或x<－eq \f(1,3)；
令f′(x)<0，解得－eq \f(1,3)所以f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))和(1，＋∞)；
f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1)).
14．(2021·四川成都诊断)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围．
[解析] (1)h(x)＝ln x－eq \f(1,2)ax2－2x，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝eq \f(1,x)－ax－2.
由h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，知当x∈(0，＋∞)时，eq \f(1,x)－ax－2<0有解，即a>eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)有解．
设G(x)＝eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)，则只要a>G(x)min即可，
而G(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))eq \s\up12(2)－1，所以G(x)min＝－1，所以a>－1.
(2)由h(x)在[1，4]上单调递减，得当x∈[1，4]时，
h′(x)＝eq \f(1,x)－ax－2≤0恒成立，即a≥eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)恒成立，
设G(x)＝eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)，则a≥G(x)max，而G(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－1))eq \s\up12(2)－1，又x∈[1，4]，所以eq \f(1,x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))，所以G(x)max＝－eq \f(7,16)(此时x＝4)，所以a≥－eq \f(7,16).
B组能力提升
1．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为( A )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,a))) D．(－∞，a)
[解析] 由f′(x)＝eq \f(1,x)－a>0，x>0，得0∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a))).
2.函数f(x)＝eq \f(1,10)(x3＋bx2＋cx)＋d的图象如图，则函数y＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(2,3)bx＋\f(c,3)))的单调递减区间为( D )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B．[3，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D．(－∞，－2)
[解析] f′(x)＝eq \f(1,10)(3x2＋2bx＋c)，由图可知f′(－2)＝f′(3)＝0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(2b,3)＝－2＋3，,\f(c,3)＝－2×3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－\f(3,2)，,c＝－18.))令g(x)＝x2＋eq \f(2,3)bx＋eq \f(c,3)，则g(x)＝x2－x－6，g′(x)＝2x－1.由g(x)>0，解得x<－2或x>3.当g′(x)<0时，x3．(2021·广东省七校联考)已知定义在R上的连续可导函数f(x)，当x≠0时，有xf′(x)<0，则下列各项正确的是( C )
A．f(－1)＋f(2)>2f(0)
B．f(－1)＋f(2)＝2f(0)
C．f(－1)＋f(2)<2f(0)
D．f(－1)＋f(2)与2f(0)大小关系不确定
[解析] 由题意得，x<0时，f(x)是增函数，x>0时，f(x)是减函数，∴x＝0是函数f(x)的极大值点，也是最大值点，
∴f(－1)4．(多选题)已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是( BC )
A．函数y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(1,2)))内单调递增
B．当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值
C．函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增
D．当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值
[解析] 对于A，函数y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(1,2)))内有增有减，故A不正确；对于B，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故B正确；对于C，当x∈(－2，2)时，恒有f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故C正确；对于D，当x＝3时，f′(x)≠0，故D不正确．
5．(2021·山东枣庄调研)已知函数f(x)＝xex－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2＋x))a(a∈R)．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程；
(2)当a>0时，求函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，
所以切线的斜率是k＝f′(1)＝2e.
又f(1)＝e，所以y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.
(2)f′(x)＝(x＋1)(ex－a)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝ln a.
①当a＝eq \f(1,e)时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增．
②当00，得x－1，由f′(x)<0，得ln a所以单调递增区间为(－∞，ln a)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a，－1)．
③当a>eq \f(1,e)时，ln a>－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>ln a，由f′(x)<0，得－1所以单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)．
综上所述，当a＝eq \f(1,e)时，f(x)在R上单调递增；
当0当a>eq \f(1,e)时，单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)．