|试卷下载
搜索
    上传资料 赚现金
    2024年新高考数学一轮复习讲义 专题14 导数的概念与运算
    立即下载
    加入资料篮
    资料中包含下列文件,点击文件名可预览资料内容
    • 原卷
      专题14 导数的概念与运算(原卷版).docx
    • 解析
      专题14 导数的概念与运算(解析版).docx
    2024年新高考数学一轮复习讲义 专题14 导数的概念与运算01
    2024年新高考数学一轮复习讲义 专题14 导数的概念与运算02
    2024年新高考数学一轮复习讲义 专题14 导数的概念与运算03
    2024年新高考数学一轮复习讲义 专题14 导数的概念与运算01
    2024年新高考数学一轮复习讲义 专题14 导数的概念与运算02
    2024年新高考数学一轮复习讲义 专题14 导数的概念与运算03
    还剩15页未读, 继续阅读
    下载需要20学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2024年新高考数学一轮复习讲义 专题14 导数的概念与运算

    展开
    这是一份2024年新高考数学一轮复习讲义 专题14 导数的概念与运算,文件包含专题14导数的概念与运算解析版docx、专题14导数的概念与运算原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共68页, 欢迎下载使用。

    专题14 导数的概念与运算
    【命题方向目录】
    命题方向一:导数的定义
    命题方向二:求函数的导数
    命题方向三:导数的几何意义
    方向1、在点P处切线
    方向2、过点P的切线
    方向3、公切线
    方向4、已知切线求参数问题
    方向5、切线的条数问题
    方向6、切线平行、垂直、重合问题
    方向7、最值问题
    方向8、牛顿迭代法
    【2024年高考预测】
    2024年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线.
    【知识点总结】
    知识点一:导数的概念和几何性质
    1、导数的概念
    (1)函数在处的导数记作或

    (2)的导函数

    2、导数的几何意义
    函数在处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,相应的切线方程为.
    知识点二:导数的运算
    1、求导的基本公式
    基本初等函数
    导函数
    (为常数)















    2、导数的四则运算法则
    (1)函数和差求导法则:;
    (2)函数积的求导法则:;
    (3)函数商的求导法则:,则.
    3、复合函数求导数
    复合函数的导数和函数,的导数间关系为
    【方法技巧与总结】
    1、区分在点处的切线与过点处的切线
    (1)在点处的切线,该点一定是切点,切线有且仅有一条.
    (2)过点处的切线,该点不一定是切点,切线至少有一条.
    【典例例题】
    命题方向一:导数的定义
    例1.(2023·全国·高三专题练习)函数的图像如图所示,下列不等关系正确的是(    )

    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】C
    【解析】如图所示,根据导数的几何意义,可得表示切线斜率,
    表示切线斜率,
    又由平均变化率的定义,可得,表示割线的斜率,
    结合图象,可得,即.
    故选:C.

    例2.(2023·全国·高三专题练习)一个质点做直线运动,其位移s(单位:米)与时间t(单位:秒)满足关系式,则当时,该质点的瞬时速度为(    )
    A.5米/秒 B.8米/秒
    C.14米/秒 D.16米/秒
    【答案】C
    【解析】由题得,
    当时,,
    故当时,该质点的瞬时速度为14米/秒.
    故选:C
    例3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,则的值为(    )
    A. B. C.10 D.20
    【答案】D
    【解析】因为,所以,
    所以.
    故选:D
    变式1.(2023·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试)已知是函数的导函数,若,则( )
    A. B.2 C. D.8
    【答案】C
    【解析】
    故选:C
    变式2.(2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习)设在处可导,下列式子与相等的是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】对于A,,A错误;
    对于B,,B正确;
    对于C, ,C错误;
    对于D,,D错误,
    故选:B
    变式3.(2023·全国·高三专题练习)已知是定义在R上的可导函数,若,则(    )
    A.0 B.2 C. D.
    【答案】D
    【解析】由导数的定义,可得.
    故选:D
    【通性通解总结】
    对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同,然后根据导数定义直接写出.
    命题方向二:求函数的导数
    例4.(2023·高三课时练习)求下列函数的导数:
    (1);
    (2);
    (3);
    (4);
    (5);
    (6).
    【解析】(1)因为函数可以看做函数和的复合函数,
    根据复合函数求导公式可得,




    (2)因为函数可以看做函数和的复合函数,
    根据复合函数求导公式可得,




    (3)因为函数可以看做函数和的复合函数,
    根据复合函数求导公式可得,,
    又因为函数可以看做函数和的复合函数,
    根据复合函数求导公式可得,

    所以




    (4)函数可化为
    因为函数可以看做函数和的复合函数,
    根据复合函数求导公式可得,,
    所以



    (5)因为函数可以看做函数和的复合函数,
    根据复合函数求导公式可得,,
    又因为函数可以看做函数和的复合函数,
    根据复合函数求导公式可得,

    所以



    (6)函数可化为,
    因为函数可以看做函数和的复合函数,
    根据复合函数求导公式可得,,
    所以



    .
    例5.(2023·全国·高三专题练习)求下列函数的导数,其中:
    (1);
    (2);
    (3);
    (4);
    (5);
    (6);
    (7);
    (8);
    (9);
    (10).
    【解析】(1)因为,所以;
    (2)因为,
    所以;
    (3)因为,所以;
    (4)因为,
    所以;
    (5)因为,
    所以;
    (6)因为,
    所以;
    (7)因为,
    所以;
    (8)因为,
    所以;
    (9)因为,
    所以;
    (10)因为,
    所以.
    例6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的导函数为,且满足,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】在等式两边求导得,所以,,解得.
    故选:C.
    变式4.(2023·四川成都·高三石室中学校考开学考试)已知函数的图像关于对称,则的值是(    )
    A. B. C.2 D.
    【答案】D
    【解析】因为的图像关于对称,则在取得极值.
    又,则,得,
    所以,
    则.
    故选: D.
    变式5.(2023·全国·高三专题练习)在等比数列中,,函数,则等于(    )
    A.36 B.34 C.38 D.212
    【答案】B
    【解析】令,则,
    所以,故,
    因为在等比数列中,,
    所以,
    所以
    故选:B
    变式6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的导函数为,且满足,则(    )
    A.1 B. C. D.4
    【答案】C
    【解析】因为,
    所以,
    把代入,
    得,解得:,
    所以,所以.
    故选:C.
    【通性通解总结】
    对所给函数求导,其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则,直接转化为基本函数求导问题.
    命题方向三:导数的几何意义
    方向1、在点P处切线
    例7.(2023·黑龙江七台河·高三校考期中)已知函数,则函数的图象在点处的切线斜率为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】由题设,则,故,
    故在点处的切线斜率为.
    故选:A
    例8.(2023·陕西榆林·统考模拟预测)已知函数,则的图象在处的切线方程为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】因为,所以,则,
    所以的图象在处的切线方程为,
    即.
    故选:B.
    例9.(2023·江西赣州·统考二模)已知曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为,则(    )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】A
    【解析】由题意可得:,则,
    即切点坐标为,斜率,
    切线方程为,
    令,解得,即切线与y轴交点坐标为;
    令,解得,即切线与x轴交点坐标为;
    可得与坐标轴围成的面积,解得.
    故选:A.
    变式7.(2023·全国·高三专题练习)函数的图象在点处的切线方程为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】因为,则,所以,,,
    因此,函数的图象在点处的切线方程为,即.
    故选:A.
    变式8.(2023·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习)曲线在处切线的倾斜角为,则(    )
    A.2 B. C.1 D.
    【答案】C
    【解析】因为,则,因此,
    所以.
    故选:C
    方向2、过点P的切线
    变式9.(2023·北京·高三专题练习)过坐标原点作曲线的切线,则切线方程为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】由函数,可得,
    设切点坐标为,可得切线方程为,
    把原点代入方程,可得,即,
    解得,所以切线方程为,即.
    故选:A.
    变式10.(2023·山东烟台·高三统考期末)过点且与曲线相切的直线方程为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】由,则,
    设切点坐标为,则切线的斜率,切线方程为,
    由切线过点,代入切线方程解得,则切线方程为,即.
    故选:B
    变式11.(2023·河南·校联考模拟预测)已知是奇函数,则过点向曲线可作的切线条数是(   )
    A.1 B.2 C.3 D.不确定
    【答案】C
    【解析】因函数是奇函数,则由得恒成立,则,
    即有,,
    设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为,
    而点不在曲线上,则,整理得,
    即,解得或,即符合条件的切点有3个,
    所以过点向曲线可作的切线条数是3.
    故选:C
    变式12.(2023·全国·高三专题练习)函数过点的切线方程为(    )
    A. B. C.或 D.或
    【答案】C
    【解析】由题设,若切点为,则,
    所以切线方程为,又切线过,
    则,可得或,
    当时,切线为;当时,切线为,整理得.
    故选:C
    变式13.(2023·全国·高三专题练习)曲线过点的切线方程是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】由题意可得点不在曲线上,
    设切点为,因为,
    所以所求切线的斜率,
    所以.
    因为点是切点,所以,
    所以,即.
    设,明显在上单调递增,且,
    所以有唯一解,则所求切线的斜率,
    故所求切线方程为.
    故选:B.
    方向3、公切线
    变式14.(2023·山东威海·统考二模)已知函数,,若总存在两条不同的直线与曲线,均相切,则实数的取值范围是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】设函数上的切点坐标为,且,函数上的切点坐标为,且,
    又,,则公切线的斜率,则,所以,
    则公切线方程为,即,
    代入得,则,
    整理得,
    若总存在两条不同的直线与函数,图象均相切,则方程有两个不同的实根,
    设,则,
    令得,
    当时,,单调递增,时,,单调递减,
    所以在处取得极大值即最大值,即,
    由可得,又当时,;当时,,
    所以,解得,故实数的取值范围为.
    故选:A.
    变式15.(2023·河北·统考模拟预测)若曲线与曲线存在公切线,则实数的最小值为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】因为,,
    所以,,
    设公切线与切于点,与曲线切于点,,
    所以,
    所以,所以,所以或,
    因为,所以,所以,
    所以,
    令,,
    则,所以当时,当时,
    所以在上单调递减,在上单调递增,
    所以,所以实数的最小值为.
    故选:A
    变式16.(2023·全国·高三专题练习)若曲线与曲线有公切线,则实数a的取值范围(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】设是曲线的切点,设是曲线的切点,
    对于曲线 ,其导数为 ,对于曲线 ,其导数为 ,
    所以切线方程分别为:,,两切线重合,
    对照斜率和纵截距可得:,解得(),令 (),
    ,得:,
    当 时, ,是减函数,
    当 时, ,是增函数,
    ∴且当x趋于 时,, 趋于 ;当 趋于 时, 趋于;
    ∴,∴;
    故选:D.
    变式17.(2023·陕西榆林·校考模拟预测)若直线与曲线相切,切点为,与曲线也相切,切点为,则的值为(    )
    A. B. C.0 D.1
    【答案】B
    【解析】因为直线与曲线相切,切点为,
    可知直线的方程为,
    又直线与曲线也相切,切点为,
    可知直线的方程为,
    所以,两式相除,可得,
    所以.
    故选:B
    变式18.(2023·全国·高三专题练习)函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线,则(    )
    A.1 B.3 C.6 D.2
    【答案】C
    【解析】,则,则在点处的切线的斜率为,
    ,则,则在点处的切线的斜率为,
    函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线,
    则,即,
    故选:C.
    变式19.(2023·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末)已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线,则a,b的值分别为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】因为,所以,
    由题意,解得
    故选:A.
    变式20.(2023·陕西渭南·统考一模)已知直线是曲线与曲线的公切线,则等于(    )
    A. B.3 C. D.2
    【答案】D
    【解析】设是图象上的一点,,
    所以在点处的切线方程为,①,
    令,解得,
    ,所以,
    ,所以或(此时①为,,不符合题意,舍去),
    所以,此时①可化为,
    所以.
    故选:D
    变式21.(2023·全国·高三专题练习)若曲线和y=x2+mx+1有公切线,则实数m=(    )
    A. B. C.1 D.-1
    【答案】A
    【解析】设,则,
    曲线与切线相切于,
    则切线方程为:①
    因为切线与y=x2+mx+1②相切,
    联立①②:x2+mx+1=,
    所以,
    所以,
    所以,
    则有,解得,
    故选:A
    变式22.(2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第一中学校考阶段练习)已知直线为曲线在处的切线,若与二次曲线也相切,则(    )
    A.0 B. C.4 D.0或4
    【答案】C
    【解析】因为,所以,所以,
    所以曲线在处的切线斜率为,
    则曲线在处的切线方程为,即.
    由于切线与曲线相切,
    由,得,
    又,两线相切有一切点,
    所以,
    解得或(舍去).
    故选:C.
    方向4、已知切线求参数问题
    变式23.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若恒成立,则实数a的最大值为(    )
    A. B. C.2e D.
    【答案】C
    【解析】由题意可得:,则,
    当时,则;当时,则;
    故在上单调递减,在上单调递增,
    若与直线相切时,设切点为,则切线斜率,
    所以该切线方程为,
    注意到切线过点,则,
    整理得,解得或,
    当时,;当时,;
    结合图象可得实数a的取值范围为,即实数a的最大值为2e.
    故选:C.

    变式24.(2023·新疆塔城·高二乌苏市第一中学校考阶段练习)若直线:是曲线的切线,则实数(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】由,得,
    设切点,则,
    故切线方程为,即,
    又因切线为,所以,即,因此.
    故选:A.
    变式25.(2023·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考开学考试)已知函数

    ,若过点A(0,16)的直线方程为,与曲线

    相切,则实数的值是
    A. B. C.6 D.9
    【答案】D
    【解析】分析:先设出切点坐标,利用导数的几何意义,求出切线方程,与直线y=ax+16比较系数,即可得到a值.
    解答:设切点坐标为(x0,x03-3x0)
    ∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3,∴切线斜率为3x02-3
    ∴f(x)=x3-3x在点(x0,x03-3x0)处的切线方程为y-x03+3x0=(3x02-3)(x-x0),
    化简得,y=(3x02-3)x-2x03,
    又∵切线方程为y=ax+16
    ∴3x02-3=a且-2x03=16,解得,x0=-2,a=9
    故选D.
    变式26.(2023·内蒙古包头·统考一模)已知函数的图象在点处的切线过点,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】因为,
    所以,
    所以切线斜率为,
    又,
    所以切线方程为,
    整理得:,
    又切线过点,
    则,解得,
    故选:B.
    变式27.(2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末)过点可以作曲线的两条切线,切点的横坐标分别为m,n,则的值为(    )
    A.1 B.2 C. D.3
    【答案】D
    【解析】,设切点为坐标,
    则,
    即,则,
    由题意知有两解,分别为m,n,
    故,
    故选:D.
    变式28.(2023·全国·高三专题练习)已知直线与是曲线的两条切线,则(    )
    A. B. C.4 D.无法确定
    【答案】A
    【解析】由已知得,曲线的切线过,
    时,曲线为,设,直线在曲线上的切点为,,
    切线:,又切线过
    ,∴,,
    同理取,曲线为,设,直线在曲线上的切点为,,
    切线:,又切线过
    ,,∴,
    故选:A
    变式29.(2023·全国·高三专题练习)已知,,直线与曲线相切,则的最小值是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】设直线与曲线相切于点,
    ,切线斜率,,即,
    ,;
    ,,
    (当且仅当,即时取等号),
    则的最小值为.
    故选:B.
    方向5、切线的条数问题
    变式30.(2023·广西玉林·统考模拟预测)若曲线有三条过点的切线,则实数的取值范围为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】设该切线的切点为,则切线的斜率为,
    所以切线方程为,
    又切线过点,则,整理得.
    要使过点的切线有3条,需方程有3个不同的解,
    即函数图象与直线在R上有3个交点,
    设,则,
    令,令或,
    所以函数在上单调递增,在和上单调递减,
    且极小值、极大值分别为,如图,

    由图可知,当时,函数图象与直线在R上有3个交点,
    即过点的切线有3条.
    所以实数a的取值范围为.
    故选:B.
    变式31.(2023·全国·高三专题练习)若直线与曲线和都相切,则直线的条数有(    )
    A. B. C. D.无数条
    【答案】C
    【解析】设直线因为直线与曲线和都相切
    所以对于曲线,,,切点
    对于曲线,,,切点
    因为公切线过A、B两点
    所以
    进而可得


    因为,均为增函数,又因为,
    所以存在使得即
    所以在时单调递减,在单调递增,
    又因为
    所以
    当时,
    因为,所以所以在内存在使得直线与曲线和都相切
    当时,
    因为,所以所以在内存在使得直线与曲线和都相切
    所以综上所述,存在两条斜率分别为的两条直线与曲线和都相切
    故选:C
    变式32.(2023·全国·高三专题练习)已知,若过点可以作曲线的三条切线,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】设切点为,切线方程为,由,所以,所以,
    则,所以,
    令,则,
    因为,所以当或时,当时,
    所以在和上单调递增,在上单调递减,
    所以当时取得极大值,当时取得极小值,即,,
    依题意有三个零点,所以且,即;
    故选:B
    变式33.(2023·全国·高三专题练习)过点作曲线的切线,当时,切线的条数是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】设切点为,
    ,切线斜率,
    切线方程为:;
    又切线过,;
    设,则,
    当时,;当时,;
    在,上单调递减,在上单调递增,
    又,,恒成立,可得图象如下图所示,

    则当时,与有三个不同的交点,
    即当时,方程有三个不同的解,切线的条数为条.
    故选:D.
    变式34.(2023·全国·高三专题练习)若过点可以作曲线的两条切线,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】

    设切点坐标为,由于,因此切线方程为,又切线过点,则,,
    设,函数定义域是,则直线与曲线有两个不同的交点,,
    当时,恒成立,在定义域内单调递增,不合题意;当时,时,,单调递减,
    时,,单调递增,所以,结合图像知,即.
    故选:D.
    变式35.(2023·全国·高三专题练习)过曲线外一点作的切线恰有两条,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】,过点作曲线C的切线,
    设切点,则切线方程为:,
    将代入得:
    即(*) 由条件切线恰有两条,方程(*)恰有两根.
    令,,
    显然有两个极值点与,于是或
    当时,;
    当时,,此时经过与条件不符,所以,
    故选:A.
    变式36.(2023·全国·高三专题练习)若过点可作出曲线的三条切线,则实数的取值范围是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】由已知,曲线,即令,则,
    设切点为,切线方程的斜率为,
    所以切线方程为:,将点代入方程得:,整理得,
    设函数,过点可作出曲线的三条切线,
    可知两个函数图像与有三个不同的交点,
    又因为,由,可得或,
    所以函数在,上单调递减,在上单调递增,
    所以函数的极大值为,函数的极小值为,
    如图所示,

      
    当时,两个函数图像有三个不同的交点.
    故选:C.
    变式37.(2023·全国·高三专题练习)若过点可以作三条直线与曲线C:相切,则m的取值范围是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】设切点为,过点P的切线方程为,代入点P坐标,化简为,即这个方程有三个不等根即可.
    令,求导得:.
    令,解得:,所以在上递增;令,解得:或,所以在和上递增.
    要使方程有三个不等根即可.
    只需,即.
    故选:D
    变式38.(2023·全国·高三专题练习)若过点可以作三条直线与曲线相切,则m的取值范围为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】由,则,设切点为,则切线斜率
    则在点的切线方程为,
    代入点P坐标得
    整理为,即这个方程有三个不等式实根,
    令,则 ,
    令则
    函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,
    故得,即,
    故选:D.
    变式39.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若过点可以作出三条直线与曲线相切,则的取值范围是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】设切点坐标曲线在处的切线斜率为,
    又切线过点切线斜率为,,即,
    ∵过点可作曲线的三条切线,方程有3个解.
    令,则图象与轴有3个交点,的极大值与极小值异号,,令,得或2,
    或时,,时,,即在及上递增,在上递减,是极大值,是极小值,
    ,即,解得,
    故选:D.
    变式40.(2023·福建泉州·高三福建省晋江市养正中学校考阶段练习)已知过点作曲线的切线有且仅有条,则(    )
    A. B. C.或 D.或
    【答案】C
    【解析】设切点为,
    由已知得,则切线斜率,切线方程为
    直线过点,则,化简得
    切线有且仅有条,即,化简得,即,解得或
    故选:C
    方向6、切线平行、垂直、重合问题
    变式41.(2023·全国·高三专题练习)已知曲线在点处的切线与直线平行,则点的坐标为(    )
    A. B. C.或 D.以上都不对
    【答案】C
    【解析】由题意可知:函数的导函数为
    过P点的切线与直线平行
    ,解得
    当时,,此时切线方程为,即;
    当时,,此时切线方程为,即.
    所以点P的坐标是(2,14)或(-2,-14)
    故选:C
    变式42.(2023·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习)已知直线与直线平行,且与曲线相切,则直线的方程是
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】因为,
    所以,
    因为直线与直线平行,
    令,
    解得或(舍去),
    所以切点的坐标为,
    故直线的方程为,
    即.
    故选:B.
    变式43.(2023·全国·高三专题练习)函数在处的切线与直线平行,则的值为(    )
    A.-4 B.-5 C.7 D.8
    【答案】D
    【解析】
    ,则
    因为在处的切线与直线平行
    解得
    故选:
    变式44.(2023·全国·高三专题练习)若函数的图象与函数的图象有公切线,且直线与直线互相垂直,则实数(    )
    A. B. C.或 D.或
    【答案】D
    【解析】由题知,,令,又,解得,因为,所以切线的方程为.,
    设函数与直线切于点,
    所以,故,
    即,,解得或.
    故选:D
    变式45.(2023·山东日照·高三校联考期末)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直,则点的坐标为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】的导数为,所以曲线在点处的切线的斜率为.
    因为曲线在点处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直,
    所以曲线y=ln x在点P处的切线的斜率.
    而y=ln x的导数,所以切点的横坐标为,所以切点.
    故选:D
    变式46.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2+2x的图象在点A(x1,f(x1))与点B(x2,f(x2))(x1<x2<0)处的切线互相垂直,则x2-x1的最小值为(    )
    A. B.1
    C. D.2
    【答案】B
    【解析】因为x1<x2<0,f(x)=x2+2x,
    所以f′(x)=2x+2,
    所以函数f(x)在点A,B处的切线的斜率分别为f′(x1),f′(x2),
    因为函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,
    所以f′(x1)f′(x2)=-1.
    所以(2x1+2)(2x2+2)=-1,
    所以2x1+2<0,2x2+2>0,
    所以x2-x1= [-(2x1+2)+(2x2+2)]≥=1,当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,
    即x1=-,x2=-时等号成立.
    所以x2-x1的最小值为1.
    故选:B.
    变式47.(2023·高三课时练习)若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有性质.下列函数中具有性质的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,
    则函数y=f(x)的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为﹣1,
    当y=sinx时,y′=cosx,满足条件;
    当y=lnx时,y′0恒成立,不满足条件;
    当y=ex时,y′=ex>0恒成立,不满足条件;
    当y=x3时,y′=3x2>0恒成立,不满足条件;
    故选A.
    考点:导数及其性质.
    变式48.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的图象上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线重合,则实数的取值范围是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】当时,的导数为;
    当时,的导数为,
    设,,,为该函数图象上的两点,且,
    当,或时,,故,
    当时,函数在点,处的切线方程为:

    当时,函数在点,处的切线方程为.
    两直线重合的充要条件是①,②,
    由①及得,由①②令,则,
    且,记
    导数为,且在恒成立,
    则函数在为减函数,

    ∴实数的取值范围是.
    故选:B
    变式49.(2023·全国·高三专题练习)若函数的图象上存在两个不同的点,使得曲线在这两点处的切线重合,称函数为“自重合”函数.下列函数中是“自重合”函数的为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】若曲线在这两点处的切线重合,首先要保证两点处导数相同;A选项中,;B选项中,;导数为单调函数,切点不同时,导数值不同,所以切线不可能重合,所以错误;
    C选项中,,若斜率相同,则切点为和,代入解得切线方程分别为:和,若切线重合,则,此时两切点为同一点,不符合题意,故C错误;
    D选项中,,令得:,则有点,切线分别为和,存在不同的两点使得切线重合,故D正确
    故选:D
    变式50.(2023·江苏无锡·校联考三模)定义:若函数图象上存在相异的两点,满足曲线在和处的切线重合,则称是“重切函数”,,为曲线的“双重切点”,直线为曲线的“双重切线”.由上述定义可知曲线的“双重切线”的方程为______.
    【答案】
    【解析】,所以,其定义域为,
    因为,所以函数在为偶函数,
    令,,当时,,
    所以在为偶函数,且在上单调递增,
    所以必存在两个不相等的实数,使得, 且,
    不妨设两切点为,,且
    因为函数,,
    所以函数在为奇函数,
    又,所以两切点,关于原点对称,
    即此时切线斜率 ,又,
    即,整理得,解得或,
    所以存在两点,满足条件,
    所以两点,确定的直线方程即为曲线的“双重切线”的方程,
    由直线的两点式方程可得,即为曲线的“双重切线”的方程,
    所以曲线的“双重切线”的方程为.
    故答案为:.
    方向7、最值问题
    变式51.(2023·全国·高三专题练习)若点与曲线上点距离最小值为,则实数为_______.
    【答案】
    【解析】设点的坐标为,对函数求导得,
    由题意可知,直线与曲线在点处的切线垂直,则,
    得,
    由两点间的距离公式得,
    由于的最小值为,即,,解得,
    因此,.
    故答案为:
    变式52.(2023·全国·高三专题练习)曲线上的点到直线的距离的最小值为______
    【答案】
    【解析】的定义域为,
    求导得,令,解得,则,故切点坐标为,
    故曲线上的点到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离,即为.
    故答案为:
    变式53.(2023·全国·高三专题练习)点P在曲线上,点Q在曲线上,则的最小值为______.
    【答案】
    【解析】如图所示:分别在点处作曲线的切线平行于直线和
    则,
    所以点分别到直线和的距离为

    的最小值为

    故答案为:
    变式54.(2023·全国·高三专题练习)若实数,,,满足,则的最小值为__.
    【答案】
    【解析】实数,,,满足,
    ,.分别设,.
    则的最小值可看做曲线和直线上的动点与的最小距离,
    设直线与曲线相切于点,.
    则,,解得,.
    .点到直线的距离.
    即的最小值为.
    故答案为:.
    变式55.(2023·全国·高三专题练习)已知实数、、、满足,则的最小值为______.
    【答案】
    【解析】因为实数、、、满足,所以,,,
    所以,点在曲线上,点在曲线上,
    的几何意义就是曲线到曲线上点的距离最小值的平方.
    考查曲线上和直线平行的切线,
    对函数求导得,
    令,解得,所以,切点为,
    该切点到直线的距离就是所要求的两曲线间的最小距离,
    故的最小值为.
    故答案为:.
    变式56.(2023·宁夏中卫·统考二模)当a>0时,若不等式恒成立,则的最小值是__________.
    【答案】
    【解析】由题意知:,由可得,即不等式恒成立,令,
    易得为斜率大于0的一条直线,;,当时,单增,
    当时,单减,又,要使不等式恒成立,必有的零点与的零点重合
    或者在的零点左侧,如图所示:

    故有,解得,当且仅当恰为在处的切线时取等,此时的图像恒在图像的下方,
    即满足恒成立,即恒成立.又,故在处的切线方程为,
    即时,取得最小值.
    故答案为:.
    变式57.(2023·全国·高三专题练习)设点P在曲线上,点Q在曲线上,则|PQ|的最小值为_____.
    【答案】
    【解析】令、分别向上平移一个单位可得、,而与关于对称,
    ∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时,P、Q关于对称,|PQ|有最小,对应曲线平移到、后,P、Q关于对称即可,
    ∴令,则,
    ∴有,则,即,
    ∴到的距离,
    ∴.
    故答案为:.
    变式58.(2023·全国·高三专题练习)已知点为曲线上的一个动点,则的最小值为______.
    【答案】
    【解析】因为表示点到直线的距离,令,
    所以,所以到直线的距离的最小值为.
    故答案为:
    方向8、牛顿迭代法
    变式59.(2023·全国·高三专题练习)牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下:设是函数的一个零点,任意选取作为的初始近似值,作曲线在点,处的切线,设与轴交点的横坐标为,并称为的1次近似值;作曲线在点,处的切线,设与轴交点的横坐标为,并称为的2次近似值.一般的,作曲线在点,处的切线,记与轴交点的横坐标为,并称为的次近似值.设的零点为,取,则的2次近似值为 _____.
    【答案】/0.75
    【解析】由题设,设切点为,,则切线斜率,
    切线方程为,
    令,可得,
    若,则,,即的2次近似值为.
    故答案为:.
    变式60.(2023·浙江宁波·镇海中学校考二模)人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿(1643-1727)给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解如图,方程的根就是函数的零点r,取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为,一直这样下去,得到,它们越来越接近r.若,则用牛顿法得到的r的近似值约为___________(结果保留两位小数).

    【答案】
    【解析】由,,所以在处的切线方程为:,令,
    可得:,所以在处的切线方程为:,令,
    故答案为:
    变式61.(2023·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习)牛顿迭代法()是牛顿在17世纪提出的一种求方程近似根的方法.如图,设是的根,选取作为的初始近似值,过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标,称是的“一次近似值”,过点作曲线的切线,则该切线与轴的交点的横坐标为,称是的“二次近似值”,重复以上过程,得到的近似值序列.若,取作为的初始近似值,则的正根的“三次近似值”为__________.(请用分数做答)

    【答案】
    【解析】由题意得,
    时,,
    故答案为:.
    变式62.(2023·全国·高二专题练习)数学中,多数方程不存在求根公式.因此求精确根非常困难,甚至不可能.从而寻找方程的近似根就显得特别重要.例如牛顿迭代法就是求方程近似根的重要方法之一,其原理如下:假设是方程的根,选取作为的初始近似值,在点处作曲线的切线,则与轴交点的横坐标称为的一次近似值,在点处作曲线的切线.则与轴交点的横坐标称为的二次近似值.重复上述过程,用逐步逼近.若给定方程,取,则__________.
    【答案】
    【解析】构造函数,,
    切线的方程为,与轴交点的横坐标为.

    所以切线的方程为,与轴交点的横坐标为.
    故答案为:

    【通性通解总结】
    函数在点处的导数,就是曲线在点处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.(1)已知在点处的切线方程为.(2)若求曲线过点的切线方程,应先设切点坐标为,由过点,求得的值,从而求得切线方程.另外,要注意切点既在曲线上又在切线上.

    【过关测试】
    一、单选题
    1.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测)若曲线在原点处的切线与直线垂直,则实数a的值是(    )
    A.3 B. C.1 D.0
    【答案】D
    【解析】因为,
    所以,
    因为曲线在原点处的切线与直线垂直,
    所以直线的斜率不存在,即.
    故选:D
    2.(2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模)某环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为,用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是(   )
      
    A.在这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业弱;
    B.在时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业弱;
    C.在时刻,甲、乙两企业的污水排放都不达标;
    D.甲企业在,,这三段时间中,在的污水治理能力最强
    【答案】D
    【解析】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为,乙企业的污水排放量与时间t的关系为.
    对于A选项,在这段时间内,甲企业的污水治理能力,
    乙企业的污水治理能力.由图可知,,
    所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,故A选项错误;
    对于B选项,由图可知, 在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率,
    但两切线斜率均为负值,故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强,故B选项错误;
    对于C选项,在时刻,甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量,
    故甲、乙两企业的污水排放都达标,故C选项错误;
    对于D选项,由图可知,甲企业在,,这三段时间中,
    在时的差值最大,所以在时的污水治理能力最强,故D选项正确,
    故选:D.
    3.(2023·山东潍坊·三模)若为函数图象上的一个动点,以为切点作曲线的切线,则切线倾斜角的取值范围是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】设点坐标为,
    由,,
    得,
    则以为切点的切线斜率为,
    令切线倾斜角为,,则,
    则.
    故选:D.
    4.(2023·全国·高三专题练习)曲线在点处的切线垂直于直线,则(    )
    A.1 B. C. D.
    【答案】D
    【解析】,所以,
    因为在点处的切线垂直于直线,故切线的斜率为,
    故即,
    故选:D.
    5.(2023·全国·高三专题练习)若曲线在处的切线方程为,则(    )
    A., B.,
    C., D.,
    【答案】D
    【解析】因为,则,则,
    可得,所以,曲线在处的切线方程为,
    将切点的坐标代入切线方程可得,解得,
    又因为,解得,因此,,.
    故选:D.
    6.(2023·河南·高三校联考阶段练习)已知曲线在点处的切线也与曲线相切,则所在的区间是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】设该切线为l,对求导得,
    所以l的方程为,即.
    设l与曲线相切的切点为,
    则l的方程又可以写为,即.
    所以,.
    消去m,可得,,
    令,则.设,
    当时,,所以在上单调递增,又,,
    所以,所以.
    故选:C.
    7.(2023·全国·模拟预测)若曲线在点处的切线经过坐标原点,则(    )
    A. B. C.或 D.或
    【答案】C
    【解析】由题意,,设切点的坐标为,故切线的斜率.
    由于切线过原点,故切线方程为.
    又切线经过切点,即.
    整理可得:,
    即.
    即,故或.
    故选:C
    8.(2023·全国·模拟预测)已知函数,过点的直线与曲线相切,现有如下三条直线:①;②;③.则上述直线中与直线垂直的直线条数为(    )
    A.0 B.1 C.2 D.3
    【答案】B
    【解析】由题意,,
    在中,
    ,则,
    设切点坐标为,
    则所求切线的方程为,
    将代入,可得,即,
    故,
    解得或,
    故直线的斜率为或2,
    观察可知,仅有直线与直线垂直,
    故选:B.
    二、多选题
    9.(2023·全国·高三专题练习)函数的图象在点处的切线平行于直线,则点的坐标可以为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】AC
    【解析】依题意,令,解得

    故点的坐标为和,
    故选:AC
    10.(2023·全国·高三专题练习)已知曲线,则曲线过点的切线方程为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BD
    【解析】设切点坐标为,
    ,切线斜率为
    切线方程为
    曲线过点,代入得
    可化简为,即,解得或
    则曲线过点的切线方程为或
    故选:BD
    11.(2023·全国·高三专题练习)(多选)若函数的图象上至少存在两点,使得函数的图象在两点处的切线互相平行,则称为R函数,则下列函数可称为R函数的有(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BD
    【解析】A项:因为,令,则恒成立,
    所以在上单调递增,不存在两点的导函数值相等,
    所以不是R函数,A错误;
    B项:定义域为,,令,
    所以,x>0.
    令,则;令,则,
    当时,单调递减;当时,单调递增.
    且是的极小值点,存在两点的导函数值相等,
    所以是R函数,故B正确;
    C项:,函数的定义域为,
    令,则,令,
    令;令,
    即在上单调递减,在上单调递增,
    所以,所以在上单调递增,
    不存在两点的导函数值相等,所以不是R函数,C错误;
    D项:,
    取,,则,所以是R函数,D正确.
    故选:BD
    12.(2023·河北·统考模拟预测)函数(且),(且),则(    )
    A.当时,与有唯一的公共点
    B.当时,与没有公共点
    C.当时,与有唯一公共点
    D.当时,与有两公共点
    【答案】BCD
    【解析】与(且)互为反函数.
    当时,与均递减且与交于一点.
    时,,,,∴过和,
    而也过和,∴当时,与有三个交点.
    当时,设与相切,
    设切点为,,
    ,由①得,,两边取对数,,
    将代入②得,,∴,,∴,,
    由指数函数性质得时,与相切,
    则时,与无交点,
    时,与有两个交点,
    故BCD均正确.
    故选:BCD.
    三、填空题
    13.(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)曲线在点处的切线方程为___________
    【答案】
    【解析】由,
    所以,
    所以,
    所以曲线在点处的切线斜率为2,
    所以所求切线方程为,即.
    故答案为:.
    14.(2023·海南海口·海南中学校考二模)已知函数的图像在点处的切线为l,若l与函数的图像也相切,切点为,则___________.
    【答案】9
    【解析】由题意得,则,
    所以切线l的方程为,即.
    所以,则,.
    故答案为:9.
    15.(2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数在处的切线方程为,则______.
    【答案】
    【解析】由函数,可得,
    可得,且,即切点坐标为,
    因为函数在处的切线方程为,可得,即,
    将切点代入,可得,解得,
    所以.
    故答案为:.
    16.(2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模)已知函数,直线:,若直线与的图象交于点,与直线交于点,则,之间的最短距离是__________.
    【答案】
    【解析】

      
    因为函数,直线:,
    若直线与的图象交于点,与直线交于点,
    直线的斜率为1,直线:的斜率为,
    所以两直线垂直,
    所以函数图象上的点A到直线的最短距离,
    即为之间的最短距离
    由题意可得,.
    令,解得(舍去).
    因为,取点,
    所以点A到直线的距离,
    则,之间的最短距离是.
    故答案为:
    17.(2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测)若曲线有两条过的切线,则的范围是____________.
    【答案】
    【解析】设切线切点为,,又,所以切线斜率为
    因为,所以切线方程为:.
    又切线过,则,即
    则由题可知函数图象与直线有两个交点,
    由得,由得
    所以在上单调递增,在上单调递减.
    又,又,,,.
    据此可得大致图象如下.

      
    则由图可得,当时,曲线有两条过的切线.
    故答案为:.
    18.(2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测)已知,,请写出与和均相切的一条直线方程______.(只需写一条)
    【答案】(或,只要答一个即可).
    【解析】设函数图象上的切点为,函数图象上切点为,
    ,,,,
    由得,消去得,或,从而有或,
    又,,
    所以切线方程为或,即或,
    故答案为:(或,只要答一个即可).



    相关试卷

    2024年高考数学第一轮复习专题14 导数的概念与运算(原卷版): 这是一份2024年高考数学第一轮复习专题14 导数的概念与运算(原卷版),共13页。

    2024年高考数学第一轮复习专题14 导数的概念与运算(解析版): 这是一份2024年高考数学第一轮复习专题14 导数的概念与运算(解析版),共27页。

    专题14 导数的概念与运算(3种考向)-新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类(新高考专用): 这是一份专题14 导数的概念与运算(3种考向)-新高考数学一轮复习讲义之通性通解总结与命题方向全归类(新高考专用),文件包含专题14导数的概念与运算解析版docx、专题14导数的概念与运算原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共68页, 欢迎下载使用。

    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        2024年新高考数学一轮复习讲义 专题14 导数的概念与运算
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map