高考数学一轮复习考点规范练14导数的概念及运算含解析新人教A版文

考点规范练14　导数的概念及运算

基础巩固

1.已知函数f(x)=+1,则的值为(　　)

A.- B. C. D.0

答案:A

解析:=-=-f'(1)=-=-.

2.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为(　　)

A.e B.-e

C. D.-

答案:C

解析:由题意可得y=lnx的定义域为(0,+∞),且y'=.

设切点为(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=(x-x0).

因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为.

3.曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为(　　)

A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0

C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0

答案:C

解析:当x=π时,y=2sinπ+cosπ=-1,即点(π,-1)在曲线y=2sinx+cosx上.

∵y'=2cosx-sinx,

∴y'|x=π=2cosπ-sinπ=-2.

∴曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.故选C.

4.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=(　　)

A.-1 B.0

C.2 D.4

答案:B

解析:由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,故f'(3)=-.

∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),

∴g'(3)=f(3)+3f'(3).

又由题图可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3×=0.

5.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为(　　)

A.(1,3) B.(-1,3)

C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)

答案:C

解析:∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.

设点P(x,y),则f'(x)=2,

即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,

故P(1,3)或(-1,3).

经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.

6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于(　　)

A.-8 B.-6 C.-1 D.5

答案:A

解析:由题意得y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.

∵y'=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),

∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.

将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,

即ab=(-2)3=-8.故选A.

7.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)

A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3

答案:A

解析:设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),

则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2).

若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.

A项,f'(x)=cosx,显然k1·k2=cosx1·cosx2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;

B项,f'(x)=(x>0),显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有性质T;

C项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2==-1无解,故该函数不具有性质T;

D项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3×3=-1无解,故该函数不具有性质T.

综上,选A.

8.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为(　　)

A.1 B. C. D.

答案:B

解析:因为定义域为(0,+∞),所以y'=2x-,令2x-=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=.故所求的最小值为.

9.(2020全国Ⅲ,文15)设函数f(x)=.若f'(1)=,则a=　　　　　. 

答案:1

解析:对函数f(x)=求导得f'(x)=,由题意得f'(1)=,解得a=1.

10.曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于　　　　　. 

答案:log2e

解析:∵y'=,∴k=,

∴切线方程为y=(x-1),

∴所围三角形的面积为S=×1×log2e.

11.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为　　　　　. 

答案:4

解析:由导数的几何意义及条件,得g'(1)=2,

∵函数f(x)=g(x)+x2,

∴f'(x)=g'(x)+2x,

∴f'(1)=g'(1)+2=4,

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为4.

12.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　　.

答案:[2,+∞)

解析:∵f(x)=x2-ax+lnx,

∴f'(x)=x-a+.

∵f(x)存在垂直于y轴的切线,

∴f'(x)存在零点,∴x+-a=0有解,

∴a=x+≥2(x>0).

能力提升

13.若函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　)

答案:D

解析:由y=f'(x)的图象知y=f'(x)在区间(0,+∞)内单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在区间(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C.

又由图象知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,

说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.

14.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于(　　)

A.-1或- B.-1或

C.-或- D.-或7

答案:A

解析:因为y=x3,所以y'=3x2.

设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,),

则在该点处的切线斜率为k=3,所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2.

又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=.

当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切,可得a=-;

当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切,可得a=-1.

15.给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的“拐点”是M(x0,f(x0)),则点M(　　)

A.在直线y=-3x上 

B.在直线y=3x上

C.在直线y=-4x上 

D.在直线y=4x上

答案:B

解析:由题意,知f'(x)=3+4cosx+sinx,f″(x)=-4sinx+cosx,

由f″(x0)=0,知-4sinx0+cosx0=0,

即4sinx0-cosx0=0,

所以f(x0)=3x0+4sinx0-cosx0=3x0,

即点M(x0,3x0),显然在直线y=3x上.故选B.

16.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数h(x)=2f(x)-g(x)在点(0,h(0))处的切线方程是　　　　　　　　. 

答案:x-y+4=0

解析:∵f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

∴f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1.

∴f(x)=,g(x)=.

∴h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-=ex+e-x+2x2+2.

∴h'(x)=ex-e-x+4x,

即h'(0)==1.

又h(0)=4,

∴切线方程为x-y+4=0.

高考预测

17.设曲线y=xex+x2在原点处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a=　　　　　. 

答案:1

解析:由y=xex+x2得y'=ex+xex+2x,

在原点处的切线的斜率k1=e0+0·e0+0=1,

直线x+ay+1=0的斜率k2=-,

由题意知k1k2=-×1=-1⇒a=1.