高中数学3.1 椭圆第2课时学案及答案

这是一份高中数学3.1 椭圆第2课时学案及答案，共14页。学案主要包含了实际生活中的椭圆，直线与椭圆等内容，欢迎下载使用。

第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
学习目标　1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．

知识点　直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
直线与椭圆
解的个数
Δ的取值
两个不同的公共点
两解
Δ>0
一个公共点
一解
Δ＝0
没有公共点
无解
Δ<0


1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
答案　C
解析　联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交．
2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　联立消去y，得3x2＋4x－2＝0，
设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
故AB的中点横坐标x0＝＝－.
纵坐标y0＝x0＋1＝－＋1＝.
3．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝________.
答案　
解析　因为|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|＝＝，
所以|PF2|＝4－＝.
4．过椭圆＋＝1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则以AB为直径的圆的面积是________．
答案　
解析　由题意，在＋＝1中，c＝＝，
故F(，0)．
当x＝时，y＝±3＝±，所以|AB|＝，
故以AB为直径的圆的面积是π×2＝.

一、实际生活中的椭圆
例1　(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　)

A．a1＋c1＝a2＋c2
B .a1－c1＝a2－c2
C.<
D .>
答案　BD
解析　由图可知，a1>a2，c1>c2所以a1＋c1>a2＋c2，所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1，
所以a－c＋2a1c2＝a－c＋2a2c1，
即b＋2a1c2＝b＋2a2c1，由图可得，b>b，
所以2a1c2<2a2c1，<，所以C错误，D正确．
反思感悟　解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
跟踪训练1　某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米．

答案　32
解析　设椭圆方程为＋＝1，
当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1，
解得a＝16，
∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，
故拱宽至少为32米．
二、直线与椭圆
命题角度1　直线与椭圆的位置关系
例2　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)由Δ>0，得－3 于是，当－3 (2)由Δ＝0，得m＝±3.
也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)由Δ<0，得m<－3或m>3.
从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
反思感悟　直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞，
所以k的取值范围为∪.
命题角度2　弦长问题
例3　已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.
(1)试求动点P的轨迹方程C；
(2)设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程．
解　(1)设动点P的坐标是(x，y)，
由题意得kPA·kPB＝－.
∴·＝－，化简整理得＋y2＝1.
故点P的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±)．
(2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.
Δ＝16k2>0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝0.
|MN|＝·＝，
整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍)．
∴k＝±1，经检验符合题意．
∴直线l的方程是y＝±x＋1，
即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
反思感悟　求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
跟踪训练3　已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
解　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴F(，0)，∴直线l的方程为y＝x－，
将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x2－8x＋8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝.

1．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．
将点(c，y)的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，
故最短弦长是.
2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
答案　A
解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，
得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0,
∴直线与椭圆相离．
3．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　)
A．6 B．15 C．20 D．12
答案　D
解析　S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.
4．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　)

A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝
答案　ABD
解析　∵地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得 (*)
∴a－c＝m＋R ，故A正确；
a＋c＝n＋R，故B正确；
(*)中两式相加m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
由(*)可得两式相乘可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.
∵a2－c2＝b2 ，
∴b2＝(m＋R)(n＋R)⇒b＝ ，故D正确．
5．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是________．
答案　
解析　由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，
即－4m2＋5≥0，解得－≤m≤.

1．知识清单：
(1)直线与椭圆的位置关系．
(2)弦长公式．
2．方法归纳：判别式法．
3．常见误区：代数计算中的运算失误．


1．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
答案　A
解析　方法一　直线过点(0,1)，而0＋<1，即点(0,1)在椭圆内部，
所以可推断直线与椭圆相交．
方法二　联立直线与椭圆的方程，得消去y得9x2＋10x－15＝0，
Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．
2．(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)
A. B．－ C．－ D.
答案　AB
解析　由
得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，
解得k＝±.
3．直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于(　　)
A. B.
C．2 D．3
答案　A
解析　由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝.
4．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m>0
C．0 答案　D
解析　方法一　由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
则0<≤1且m≠5，
故m≥1且m≠5.
方法二　由
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.
5．已知椭圆C：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)
A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0
C．4x＋2y－3＝0 D．4x－2y－1＝0
答案　B
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为点A，B在椭圆上，
所以＋x＝1，①
＋x＝1.②
①－②，得＋(x1＋x2)(x1－x2)＝0.③
因为P是线段AB的中点，
所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
代入③得＝－9，即直线AB的斜率为－9.
故直线AB的方程为y－＝－9，
整理得9x＋y－5＝0.
6．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为______________．
答案　2
解析　由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>2)，
与直线方程x＋y＋4＝0联立，
得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0，得a＝，
所以椭圆的长轴长为2.
7．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
答案　
解析　由已知可得直线方程为y＝2x－2，|OF|＝1，
联立方程得解得A(0，－2)，B，
所以S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
8．已知椭圆的方程为＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．若直线AB的倾斜角为，则弦长|AB|为________．
答案　
解析　易知F1(－1,0)，∵直线AB的倾斜角为，
∴直线AB的斜率为1，可得直线AB的方程为y＝x＋1.联立
整理得7x2＋8x－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系可知x1＋x2＝－，x1·x2＝－，
则由弦长公式得|AB|＝·＝×＝.
9．对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
解　由消去y，
得＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当Δ＞0，即－＜m＜时，此时直线与椭圆相交；
当Δ＝0，即m＝±时，此时直线与椭圆相切；
当Δ＜0，即m＜－或m＞时，直线与椭圆相离．
10.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?
解　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，
又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，
所以曲线C的方程是＋＝1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5∶3，
∴设此时距A，B两岛的距离比为5∶3，
即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里．
设P(x，y)，B(2,0)，由|PB|＝3，
∴＝3，

∴x＝2，y＝±3，
∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3)．

11．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为(　　)
A. B．± C. D．±
答案　B
解析　根据椭圆的离心率为，得＝.
由x0＝b，得y＝b2＝，
所以y0＝±，∴k＝＝±＝±.
12．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　由题意设椭圆方程为＋＝1，

得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，
由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值为4，
由e＝＝，
则b2＝4时，e取最大值，故选C.
13．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
答案　6
解析　由＋＝1可得，F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当x＝2时，·取得最大值6.
14．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________．
答案　
解析　方法一　设直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y得
＋(x＋t)2＝1，
整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，
∴－ 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∴|AB|＝
＝
＝.
当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝.
方法二　根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x代入＋y2＝1得交点坐标为A和B，
故|AB|＝.

15．已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：
(1)球从F1沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，
这时第一次回到F1路程是2(a－c)；
(2)球从F1沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，
这时第一次回到F1路程是2(a＋c)；
(3)球从F1沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A，
反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B，
反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a.
综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时，
小球经过的最大路程是4a，最小路程是2(a－c)．
∴由题意可得4a＝7×2(a－c)，即5a＝7c，得＝.
∴椭圆的离心率为.
16．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△F2AB的面积为时，求直线的方程．
解　(1)∵椭圆过点，
∴＋＝1，
又e＝＝且a2＝b2＋c2，
解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)显然直线AB的斜率不为0，
设AB的方程为x＝ty－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
整理得(3t2＋4)y2－6ty－9＝0，
Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144t2＋144>0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
＝|F1F2||y1－y2|
＝|y1－y2|＝
＝＝＝，
解得t2＝1，
∴直线方程为x＝±y－1，
即y＝x＋1或y＝－x－1.