数学九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试单元测试综合训练题

人教版2021年九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷

满分100分

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）

A．x2+3x＝ B．2（x﹣2）+x＝3 C．x2＝x+2 D．x2﹣x3+2＝0

2．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

3．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）

A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5x2，﹣4x

4．一元二次方程2x2﹣x＝0的解是（　　）

A．x＝0 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝ D．x＝2

5．解方程4（2x+5）2＝5（5+2x）最合适的方法是（　　）

A．直接开平方法 B．配方法 

C．公式法 D．因式分解法

6．下列方程中，有实数根的是（　　）

A．x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+3＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2+4＝0

7．甲、乙两同学解方程x2+px+q＝0，甲看错了一次项，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和﹣10，则原方程为（　　）

A．x2﹣9x+14＝0 B．x2+9x﹣14＝0 C．x2﹣9x+10＝0 D．x2+9x+14＝0

8．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2．则花边的宽是（　　）

A．2m B．1m C．1.5m D．0.5m

9．根据方程x2﹣3x﹣5＝0可列表如下：

因此方程x2﹣3x﹣5＝0的根x满足（　　）

A．﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5 B．﹣2＜x＜﹣1或5＜x＜6 

C．﹣1＜x＜0或3＜x＜4 D．﹣3＜x＜﹣2或4＜x＜5

10．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：4★5＝42﹣3×4+5，若x★2＝6，则实数x的值是（　　）

A．﹣4或﹣1 B．4或﹣1 C．4或﹣2 D．﹣4或2

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

11．关于x的方程3xm﹣3﹣2x+4＝0是一元二次方程，则m的值为　 　．

12．把方程x2+x+3＝0变形为（x+h）2＝k的形式，其中h，k为常数，则k＝　                　．

13．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，则a的取值范围是　     　．

14．若一元二次方程mx+x2+2＝0有两个相等的实数根，则m＝　             　．

15．菱形的两条对角线的长分别是方程x2﹣mx+56＝0的两个根，则菱形的面积是　   　．

16．长汀县体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请　 　支球队参加比赛．

17．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则α2+β2＝　   　．

18．已知关于x的二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根，一位老师改动了方程的二次项系数后，得到的新方程有两个根为12和4；另一位老师改动原来方程的某一个系数的符号，所得到的新方程的两个根为﹣2和6，那么＝　 　．

三．解答题（共6小题，满分46分）

19．（6分）解下列方程：

（1）x2﹣4x+3＝0；

（2）2x﹣6＝3x（x﹣3）．

20．（7分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0

（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；

（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．

21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣4）x+k2﹣4k＝0

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为6，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

22．（8分）大润发超市销售某厂家生产的A型智能手机，从厂家按出厂价800元/部进货，然后标价1200元/部销售，平均每天可售出10部．国庆七天假期，厂家和超市联合促销．厂家对超市承诺：在七天促销期间销售的A型智能手机的出厂价每部优惠50元；对多销的部分，厂家每部再优惠50元．超市经过调查发现，若每部手机降价40元，平均每天可多售4部手机．

（1）若超市国庆期间某天售出10部手机，则每部A型智能手机的进货价是　       　．

（2）最后经统计，在这七天中，通过降价销售及厂家让利，超市销售A型智能手机共获得的总利润为58380元，且能让顾客尽可能得到实惠．那国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价是多少？

23．（8分）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．

（1）求口罩日产量的月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？

24．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．P、Q从A、B点同时出发．

（1）几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

（2）几秒后PQ的长等于5cm2？

（3）△PBQ的面积能否等于7cm2？

参考答案

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．解：A．属于分式方程，不符合题意；

B．属于一元一次方程，不符合题意；

C．属于一元二次方程，符合题意；

D．未知数的最高次数是3，不符合题意．

故选：C．

2．解：因为x＝3是原方程的根，所以将x＝3代入原方程，即32﹣3k﹣6＝0成立，解得k＝1．

故选：A．

3．解：方程整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，

则二次项系数和一次项系数分别为5，﹣4．

故选：C．

4．解：方程2x2﹣x＝0，

分解因式得：x（2x﹣1）＝0，

可得x＝0或2x﹣1＝0，

解得：x1＝0，x2＝．

故选：C．

5．解：解方程4（2x+5）2＝5（5+2x）最合适的方法是因式分解法，

故选：D．

6．解：A、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；

B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；

C、Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；

D、Δ＝02﹣4×1×4＝﹣16＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．

故选：C．

7．解：由于甲看错了一次项，得根2和7，

q＝2×7＝14，

由于乙看错了常数项，得根1和﹣10，

∴﹣p＝1﹣10＝﹣9，

∴p＝9，

∴该方程为：x2+9x+14＝0，

故选：D．

8．解：设花边的宽为xm，则地毯的长为（8﹣2x）m，宽为（5﹣2x）m，根据题意列方程得

（8﹣2x）（5﹣2x）＝18

解得x1＝1，x2＝5.5（不符合题意，舍去）．

所以，花边的宽为1m．

故选：B．

9．解：根据表格可知，x2﹣3x﹣5＝0时，对应的x的值在﹣2～﹣1与4～5之间．

故选：A．

10．解：∵x★2＝6，

∴x2﹣3x+2＝6，

整理得x2﹣3x﹣4＝0，

∴（x﹣4）（x+1）＝0，

∴x﹣4＝0或x+1＝0，

∴x1＝4，x2＝﹣1．

故选：B．

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

11．解：∵关于x的方程3xm﹣3﹣2x+4＝0是一元二次方程，

∴m﹣3＝2，

解得：m＝5，

故答案为：5．

12．解；移项，得x2+x＝﹣3，

配方，得x2+x+＝﹣3+，

∴（x+）2＝﹣．

∴h＝，k＝﹣．

故答案为：﹣．

13．解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，

∴a≠0且Δ＝22﹣4×a×（﹣1）＜0，

解得a＜﹣1，

∴a的取值范围是a＜﹣1．

故答案为：a＜﹣1．

14．解：∵mx+x2+2＝0，

∴x2+mx+2＝0，

a＝1，b＝m，c＝2，

∵方程有两个相等的实数根，

∴b2﹣4ac＝0，

∴m2﹣4×1×2＝0，

即m2＝8，

∴m＝．

故答案为：．

15．解：设菱形的两条对角线的长为m、n，

根据题意得mn＝56，

所以菱形的面积＝mn＝×56＝28．

故答案为28．

16．解：设要邀请x支球队参加比赛，由题意，得

x（x﹣1）＝28

解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去）．

答：应邀请8支球队参加比赛．

故答案为：8．

17．解：

∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，

∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，

∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝（﹣2）2﹣2×（﹣6）＝4+12＝16，

故答案为：16．

18．解：利用新方程有两个根为12和4构造1个一元二次方程为：x2﹣（12+4）x+12×4＝0 即x2﹣16x+48＝0，与ax2+bx+c＝0对应．于是得到：b＝﹣16k，c＝48k．（其中k是不为0的整数．）

从而原方程为：kx2﹣16kx+48k＝0（方程从无根变有根，只能是改变系数a或c）．同样再由另一个新方程的两个根﹣2和6，构造一个方程：

x2﹣（﹣2+6）x+（﹣2）×6＝0，

即x2﹣4x﹣12＝0．

此方程两边同乘以4k，得 4kx2﹣16kx﹣48k＝0，

它与ax2﹣16kx+48k＝0对应，得 a＝4k，从而原方程就是：4kx2﹣16kx+48k＝0，所以＝＝8．

故答案为8．

三．解答题（共6小题，满分46分）

19．解：（1）x2﹣4x+3＝0，

分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）＝0，

可得x﹣1＝0或x﹣3＝0，

解得：x1＝1，x2＝3；

（2）方程整理得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，

分解因式得：（x﹣3）（2﹣3x）＝0，

可得x﹣3＝0或2﹣3x＝0，

解得：x1＝3，x2＝；

20．解：（1）∵方程没有实数根，

∴b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4m2＝8m+4＜0，

∴m＜﹣，

∴当m＜﹣时，原方程没有实数根；

（2）由（1）可知，当m≥﹣时，方程有实数根，

当m＝1时，原方程变为x2﹣4x+1＝0，

设此时方程的两根分别为x1，x2，

解得x1＝2+，x2＝2﹣．

21．（1）证明：Δ＝（2k﹣4）2﹣4（k2﹣4k）

＝16＞0，

所以方程有两个不相等的实数根；

（2）解：由于AB与AC不相等，则AB＝BC＝6或AC＝BC＝6，

把x＝6代入方程得36﹣6（2k﹣4）+k2﹣4k＝0，

整理得k2﹣16k+60＝0，解得k1＝10，k2＝6，

当k＝10时，方程化为x2﹣8x+60＝0，方程的另一个根为10；

当k＝6时，方程化为x2﹣8x+12＝0，方程的另一个根为2；

所以k的值为10或6．

22．解：（1）依题意得：800﹣50＝750（元）．

故答案是：750元/部；

（2）设国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价为（1200﹣40x）元/部，

由题意得：，

解得x＝4或6，为了能让顾客尽可能得到实惠，

所以x＝6，1200﹣40×6＝960

答：国庆期间超市确定的A型智能手机的销售单价960元/部．

23．解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得

20000（1+x）2＝24200

解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，

答：口罩日产量的月平均增长率为10%．

（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．

答：预计4月份平均日产量为26620个．

24．解：（1）设x秒后，△BPQ的面积为4cm2，此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，

由BP×BQ＝4，得（5﹣x）×2x＝4，

整理得：x2﹣5x+4＝0，

解得：x＝1或x＝4（舍去）．

当x＝4时，2x＝8＞7，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去．

答：1秒后△BPQ的面积为4cm2．

（2）由BP2+BQ2＝52，得（5﹣x）2+（2x）2＝52，

整理得x2﹣2x＝0，

解方程得：x＝0（舍去），x＝2．

所以2秒后PQ的长度等于5cm；

（3）不可能．

设（5﹣x）×2x＝7，整理得x2﹣5x+7＝0，

∵b2﹣4ac＝﹣3＜0，

∴方程没有实数根，

所以△BPQ的面积不可能等于7cm2．