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暑假一日一练2020年七年级数学上册第4章几何图形初步4.4课题学习设计制作长方形形状的包装纸盒习题新版新人教版
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这是一份暑假一日一练2020年七年级数学上册第4章几何图形初步4.4课题学习设计制作长方形形状的包装纸盒习题新版新人教版，共15页。试卷主要包含了中，用直尺作出这个大正方形，在数学课上，老师提出如下问题等内容，欢迎下载使用。
1．（2018•河南二模）如图：有一块三角形状的土地平均分给四户人家，现有四种不同的分法，（如图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点），其中正确的分法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
2．（2017•太原三模）四座城市A，B，C，D分别位于一个边长为100km的大正方形的四个顶点，由于各城市之间的商业往来日益频繁，于是政府决定修建公路网连接它们，根据实际，公路总长设计得越短越好，公开招标的信息发布后，一个又一个方案被提交上来，经过初审后，拟从下面四个方案中选定一个再进一步论证，其中符合要求的方案是（ ）
A．B．C．D．
3．（2016•故城县校级三模）某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路）
在上述四个方案中最短的道路系统是方案（ ）
A．一B．二C．三D．四
4．（2016•太原二模）有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边△ABC的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连结这三个村庄的天然气管道．设计人员给出了如图四个设计方案（点D为BC边的中点，点O为△ABC的中心，实线表示天然气管道），其中天然气管道总长最短的是（ ）
A．方案1B．方案2C．方案3D．方案4
5．（2016•南京二模）将一块长为a米，宽为b米的矩形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条入口宽均为x米的小道，其中一条小道两边分别经过矩形一组对角顶点，剩余的地方种植花草，现有从左至右三种设计方案如图所示，种植花草的面积分别为S1，S2和S3，则它们的大小关系为（ ）
A．S3＜S1＜S2B．S1＜S2＜S3C．S2＜S1＜S3D．S1=S2=S3
6．（2015秋•房山区期末）如图，直线m表示一条河，点M、N表示两个村庄，计划在m上的某处修建一个水泵向两个村庄供水．在下面四种铺设管道的方案中，所需管道最短的方案是（图中实线表示铺设的管道）（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共7小题）
7．（2018•河西区一模）在每个小正方形的边长为1的网格中，有以AB为直径的半圆和线段AP，AB组成的一个封闭图形，点A，B，P都在网格点上．
（Ⅰ）计算这个图形的面积为 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一条能够将这个图形的面积平分的直线，并简要说明这条直线是如何找到的（不要求证明） ．
8．（2017•自贡）如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．
9．（2017春•东城区期末）在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．
小军同学的作法如下：
①连接AB；
②过点A作AC⊥直线l于点C；
则折线段B﹣A﹣C为所求．
老师说：小军同学的方案是正确的．
请回答：该方案最节省材料的依据是 ．
10．（2017春•尚志市期末）如图是一个5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都是1，请在此网格中画出一个顶点都在格点且面积为17的正方形．
11．（2016•河西区二模）如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均落在格点上．
（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．
12．（2015秋•顺义区期末）在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用30平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为10米，请你给出设计方案．同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长．请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为 ．
13．（2015秋•朝阳区期末）阅读下面材料：
在数学课上，教师出示了一个如图1所示的六角星，并给出了得到与之形状完全相同（大小忽略不计）的六角星的两种方法．
方法一：如图2，任意画一个圆，并以圆心为顶点，连续画相等的角，与圆相交于6点，连接每隔一点的两个点，擦去多余的线即可得到符合要求的六角星．
方法二：按照图3所示折一个六角星．
请回答：∠α与∠β之间的数量关系为 ．
三．解答题（共4小题）
14．（2018•金华）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．
15．（2018•龙岩二模）如图，在每个小正方形是边长为1的网格中，A，B，C均为格点．
（Ⅰ）仅用不带刻度的直尺作BD⊥AC，垂足为D，并简要说明道理；
（Ⅱ）连接AB，求△ABC的周长．
16．（2018•莲湖区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，请用尺规过点C作直线l，使其将Rt△ABC分割成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
17．（2018•鹿城区模拟）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点A（1，2），B（3，4），请在所给网格上按要求画整点四边形．
（1）在图1中画一个四边形OABP，使得点P的横、纵坐标之和等于5．
（2）在图2中画一个四边形OABQ，使得点Q的横、纵坐标的平方和等于20．
2018年暑假七年级数学一日一练： 4.4 课题学习设计制作长方形形状的包装纸盒
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．
【解答】解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴在图①中，DE=AC，EF=AB，DF=BC，
∴△ADF，△BDE，△DEF，△EFC是同底同高，
∴根据三角形面积公式可得△ADF，△BDE，△DEF，△EFC面积相等．
同理可得图②，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点．
同理可得图③，图④中4个三角形面积相等，所以四种分法都正确．
故选：D．
2．
【解答】解：因为正方形的边长为100km，
则方案A需用线200km，
方案B需用线（200+100）km，方案C需用线300km，
方案D如图所示：∵AD=100km，
∴AG=50km，AE=km，GE=km，
∴EF=100﹣2GE=（100﹣）km，
∴方案D需用线×4+（100﹣）=（1+）×100=（100+100）km，
所以方案D最省钱．
故选：D．
3．
【解答】解：设正方形边长为a，则方案①需用线3a，方案②需用线2a，方案③需用线2a+a，
如图所示：
∵AD=a，
∴AG=，AE=a，GE=a，
∴EF=a﹣2GE=a﹣a，
∴方案④需用线a×4+（a﹣a×2）=（+1）a．
∴方案④最省钱．
故选：D．
4．
【解答】解：设等边三角形的边长为a，
方案1：铺设路线的长为AB+AC=2a，
方案2：△ABC中的高线=AB•sin60°=a，故铺设路线的长度为AB+AD+DC=a+a；
方案3：△ABC中的高线=AB•sin60°=a，故铺设路线的长度为BC+a=a+a；
方案4：如图所示：过点O作OD⊥BC于点D，
∵BD=，
则BO==a，
铺设路线的长为AO+BO+CO=3×a=a；
因为a+a＞2a＞a+a＞a，所以方案4铺设路线最短．
故选：D．
5．
【解答】解：∵矩形的长为a米，宽为b米，小路的宽为x米，
∴S1=ab﹣（a+b）x+S4；S2=ab﹣（a+b）x+S5；S3=ab﹣（a+b）x+S6．
∵S4=x•x=x2，S5=x•sin60°•x•sin60°=x2，S6=x•sin60°•=x2，
∴S2＜S1＜S3．
故选：C．
6．
【解答】解：作点M关于直线m的对称点M′，连接NM′交直线m于Q．
根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，则所需管道最短．
故选：D．
二．填空题（共7小题）
7．
【解答】解：（Ⅰ）这个图形的面积为=•π•42+×5×8=20+8π；
故答案为20+8π．
（Ⅱ）如图取格点O、H，连接PO，OH，PH，取格点F，作直线OF交PB于点E，再作直线HE，直线HE即为所求．
故答案为：如图取格点O、H，连接PO，OH，PH，取格点F，作直线OF交PB于点E，再作直线HE，直线HE即为所求．
8．
【解答】 解：如图所示：所画正方形即为所求．
9．
【解答】解：由于两点之间距离最短，故连接AB，
由于垂线段最短可知，过点A作AC⊥直线l于点C，此时AC最短，
故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短
10．
【解答】解：如图所示：
∵42+12=17，
∴AB=．
∴正方形ABCD的面积为17．
11．
【解答】解：（1）∵AD2=32+12=10，DC2=32+12=10，CB2=12+12=2，
∴AD2+DC2+CB2=10+10=2=22，
故答案为：22；
（2）如图，以AB为边做正方形ABGH，再作平行四边形HMNG，直线MN交AH于点Q，交GB于点P，矩形ABPQ即为所求．
理由是：∵S▱HMNG=2×6﹣2×（+1+×5×1）=4，
∴S矩形HQNG=S▱HMNG=4，
∵S正方形ABGH=（）2=26，
∴S矩形ABPQ=26﹣4=22，
所以画出的矩形ABPQ的面积等于AD2+DC2+CB2．
12．
【解答】解：①如图1中，当底BC=10 米时，作AD⊥BC垂足为D，
∵•BC•AD=30，
∴AD=6，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=5，
∵AB=AC==．
②如图②当AB=AC=10时，
作BD⊥AC，垂足为D，
∵，
∴BD=6，
∴AD==8，BC==6．
综上所述这个等腰三角形的另外两边分别为和或10和6．
故答案为为和或10和6．
13．
【解答】解：∠α==60°，
∠β==30°，
则∠α和∠β之间的关系是∠α=2∠β．
故答案是：∠α=2∠β．
三．解答题（共4小题）
14．
【解答】解：符合条件的图形如图所示：
15．
【解答】解：（Ⅰ）取线段AC的中点为格点D，则有DC=AD．
连BD，则BD⊥AC，
理由：由图可知BC=5，连接AB，则AB=5，
∴BC=AB，
又CD=AD，
∴BD⊥AC．
（Ⅱ）由图易得AB=5，
AC==2，BC==5，
∴△ABC的周长=5+5+2=10+2．
16．
【解答】解如图所示：
，
△ACD和△CDB即为所求．
17．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
1．（2018•河南二模）如图：有一块三角形状的土地平均分给四户人家，现有四种不同的分法，（如图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点），其中正确的分法有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
2．（2017•太原三模）四座城市A，B，C，D分别位于一个边长为100km的大正方形的四个顶点，由于各城市之间的商业往来日益频繁，于是政府决定修建公路网连接它们，根据实际，公路总长设计得越短越好，公开招标的信息发布后，一个又一个方案被提交上来，经过初审后，拟从下面四个方案中选定一个再进一步论证，其中符合要求的方案是（ ）
A．B．C．D．
3．（2016•故城县校级三模）某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路）
在上述四个方案中最短的道路系统是方案（ ）
A．一B．二C．三D．四
4．（2016•太原二模）有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边△ABC的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连结这三个村庄的天然气管道．设计人员给出了如图四个设计方案（点D为BC边的中点，点O为△ABC的中心，实线表示天然气管道），其中天然气管道总长最短的是（ ）
A．方案1B．方案2C．方案3D．方案4
5．（2016•南京二模）将一块长为a米，宽为b米的矩形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条入口宽均为x米的小道，其中一条小道两边分别经过矩形一组对角顶点，剩余的地方种植花草，现有从左至右三种设计方案如图所示，种植花草的面积分别为S1，S2和S3，则它们的大小关系为（ ）
A．S3＜S1＜S2B．S1＜S2＜S3C．S2＜S1＜S3D．S1=S2=S3
6．（2015秋•房山区期末）如图，直线m表示一条河，点M、N表示两个村庄，计划在m上的某处修建一个水泵向两个村庄供水．在下面四种铺设管道的方案中，所需管道最短的方案是（图中实线表示铺设的管道）（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共7小题）
7．（2018•河西区一模）在每个小正方形的边长为1的网格中，有以AB为直径的半圆和线段AP，AB组成的一个封闭图形，点A，B，P都在网格点上．
（Ⅰ）计算这个图形的面积为 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一条能够将这个图形的面积平分的直线，并简要说明这条直线是如何找到的（不要求证明） ．
8．（2017•自贡）如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．
9．（2017春•东城区期末）在数学课上，老师提出如下问题：
如图1，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．
小军同学的作法如下：
①连接AB；
②过点A作AC⊥直线l于点C；
则折线段B﹣A﹣C为所求．
老师说：小军同学的方案是正确的．
请回答：该方案最节省材料的依据是 ．
10．（2017春•尚志市期末）如图是一个5×5的正方形网格，每个小正方形的边长都是1，请在此网格中画出一个顶点都在格点且面积为17的正方形．
11．（2016•河西区二模）如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均落在格点上．
（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．
12．（2015秋•顺义区期末）在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用30平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为10米，请你给出设计方案．同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长．请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为 ．
13．（2015秋•朝阳区期末）阅读下面材料：
在数学课上，教师出示了一个如图1所示的六角星，并给出了得到与之形状完全相同（大小忽略不计）的六角星的两种方法．
方法一：如图2，任意画一个圆，并以圆心为顶点，连续画相等的角，与圆相交于6点，连接每隔一点的两个点，擦去多余的线即可得到符合要求的六角星．
方法二：按照图3所示折一个六角星．
请回答：∠α与∠β之间的数量关系为 ．
三．解答题（共4小题）
14．（2018•金华）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．
15．（2018•龙岩二模）如图，在每个小正方形是边长为1的网格中，A，B，C均为格点．
（Ⅰ）仅用不带刻度的直尺作BD⊥AC，垂足为D，并简要说明道理；
（Ⅱ）连接AB，求△ABC的周长．
16．（2018•莲湖区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，请用尺规过点C作直线l，使其将Rt△ABC分割成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
17．（2018•鹿城区模拟）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形．如图，已知整点A（1，2），B（3，4），请在所给网格上按要求画整点四边形．
（1）在图1中画一个四边形OABP，使得点P的横、纵坐标之和等于5．
（2）在图2中画一个四边形OABQ，使得点Q的横、纵坐标的平方和等于20．
2018年暑假七年级数学一日一练： 4.4 课题学习设计制作长方形形状的包装纸盒
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．
【解答】解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴在图①中，DE=AC，EF=AB，DF=BC，
∴△ADF，△BDE，△DEF，△EFC是同底同高，
∴根据三角形面积公式可得△ADF，△BDE，△DEF，△EFC面积相等．
同理可得图②，
∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点．
同理可得图③，图④中4个三角形面积相等，所以四种分法都正确．
故选：D．
2．
【解答】解：因为正方形的边长为100km，
则方案A需用线200km，
方案B需用线（200+100）km，方案C需用线300km，
方案D如图所示：∵AD=100km，
∴AG=50km，AE=km，GE=km，
∴EF=100﹣2GE=（100﹣）km，
∴方案D需用线×4+（100﹣）=（1+）×100=（100+100）km，
所以方案D最省钱．
故选：D．
3．
【解答】解：设正方形边长为a，则方案①需用线3a，方案②需用线2a，方案③需用线2a+a，
如图所示：
∵AD=a，
∴AG=，AE=a，GE=a，
∴EF=a﹣2GE=a﹣a，
∴方案④需用线a×4+（a﹣a×2）=（+1）a．
∴方案④最省钱．
故选：D．
4．
【解答】解：设等边三角形的边长为a，
方案1：铺设路线的长为AB+AC=2a，
方案2：△ABC中的高线=AB•sin60°=a，故铺设路线的长度为AB+AD+DC=a+a；
方案3：△ABC中的高线=AB•sin60°=a，故铺设路线的长度为BC+a=a+a；
方案4：如图所示：过点O作OD⊥BC于点D，
∵BD=，
则BO==a，
铺设路线的长为AO+BO+CO=3×a=a；
因为a+a＞2a＞a+a＞a，所以方案4铺设路线最短．
故选：D．
5．
【解答】解：∵矩形的长为a米，宽为b米，小路的宽为x米，
∴S1=ab﹣（a+b）x+S4；S2=ab﹣（a+b）x+S5；S3=ab﹣（a+b）x+S6．
∵S4=x•x=x2，S5=x•sin60°•x•sin60°=x2，S6=x•sin60°•=x2，
∴S2＜S1＜S3．
故选：C．
6．
【解答】解：作点M关于直线m的对称点M′，连接NM′交直线m于Q．
根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，则所需管道最短．
故选：D．
二．填空题（共7小题）
7．
【解答】解：（Ⅰ）这个图形的面积为=•π•42+×5×8=20+8π；
故答案为20+8π．
（Ⅱ）如图取格点O、H，连接PO，OH，PH，取格点F，作直线OF交PB于点E，再作直线HE，直线HE即为所求．
故答案为：如图取格点O、H，连接PO，OH，PH，取格点F，作直线OF交PB于点E，再作直线HE，直线HE即为所求．
8．
【解答】 解：如图所示：所画正方形即为所求．
9．
【解答】解：由于两点之间距离最短，故连接AB，
由于垂线段最短可知，过点A作AC⊥直线l于点C，此时AC最短，
故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短
10．
【解答】解：如图所示：
∵42+12=17，
∴AB=．
∴正方形ABCD的面积为17．
11．
【解答】解：（1）∵AD2=32+12=10，DC2=32+12=10，CB2=12+12=2，
∴AD2+DC2+CB2=10+10=2=22，
故答案为：22；
（2）如图，以AB为边做正方形ABGH，再作平行四边形HMNG，直线MN交AH于点Q，交GB于点P，矩形ABPQ即为所求．
理由是：∵S▱HMNG=2×6﹣2×（+1+×5×1）=4，
∴S矩形HQNG=S▱HMNG=4，
∵S正方形ABGH=（）2=26，
∴S矩形ABPQ=26﹣4=22，
所以画出的矩形ABPQ的面积等于AD2+DC2+CB2．
12．
【解答】解：①如图1中，当底BC=10 米时，作AD⊥BC垂足为D，
∵•BC•AD=30，
∴AD=6，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=5，
∵AB=AC==．
②如图②当AB=AC=10时，
作BD⊥AC，垂足为D，
∵，
∴BD=6，
∴AD==8，BC==6．
综上所述这个等腰三角形的另外两边分别为和或10和6．
故答案为为和或10和6．
13．
【解答】解：∠α==60°，
∠β==30°，
则∠α和∠β之间的关系是∠α=2∠β．
故答案是：∠α=2∠β．
三．解答题（共4小题）
14．
【解答】解：符合条件的图形如图所示：
15．
【解答】解：（Ⅰ）取线段AC的中点为格点D，则有DC=AD．
连BD，则BD⊥AC，
理由：由图可知BC=5，连接AB，则AB=5，
∴BC=AB，
又CD=AD，
∴BD⊥AC．
（Ⅱ）由图易得AB=5，
AC==2，BC==5，
∴△ABC的周长=5+5+2=10+2．
16．
【解答】解如图所示：
，
△ACD和△CDB即为所求．
17．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
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