2020-2021学年江西省九江市高一（上）12月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省九江市高一（上）12月月考数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. cs135∘cs15∘−sin135∘sin15∘=( )
A.32B.−32C.12D.−12

2. sin45∘cs15∘+cs45∘sin15∘的值为( )
A.−32B.−12C.12D.32

3. 若tanα=12，则 tan(α+π4)的值为( )
A.1B.3C.5D.7

4. cs660∘=( )
A.12B.−12C.32D.−32

5. 已知角α的终边与单位圆交于点P(−32, y)，则sinα=( )
A.−36B.±33C.±12D.±32

6. 下列函数中，周期是π，又是偶函数的是( )
A.y=sinxB.y=csxC.y=sin2xD.y=cs2x

7. 若α是第三象限角，则点tan3π−α,csπ+α在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8. 将函数y=sin(x−π4)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π6个单位，则所得图象对应的解析式为( )
A.y=sin(2x+π12)B.y=sin(2x−π12)C.y=sin(x2−π6)D.y=sin(x2−π12)

9. 已知函数fx=fx−4, x≥0,3−x，x<0,则f99=( )
A.13B.9C.3D.19

10. 已知sinπ6+α=−35，则cs4π3−α=( )
A.45B.35C.−45D.−35

11. 已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，且此函数的图像如图所示(两横坐标分别为3π8，7π8)，则此函数的解析式可以是( )

A.y=sin(2x+π4)B.y=sin(2x+π8)
C.y=sin(12x−π4)D.y=sin(12x+π4)

12. 已知函数fx=3sinωx+csωxω>0在−π3,π3上单调递增，且x=−3π4为函数fx图象的一条对称轴，则ω=( )
A.13B.56C.89D.23
二、填空题

若csα−β=12，csα+β=−35，则csαcsβ=__________.

已知sinθ=−23，θ∈π,3π2，则tanθ=________.

已知3sinα+csα=0，则sinα+2csα5csα−sinα=________.

下列关于函数fx=2sin2x+π6+1的描述，正确的是________（填序号）
①fxmax=3，fxmin=−3；
②x0=π2是fx的一个零点；
③π6,2π3是fx的一个单调递增区间；
④若x1+x2=kπ+π3，k∈Z，则f(x1)=f(x2).
三、解答题

化简或求值：
(1)计算： sin49∘−sin19∘cs30∘cs19∘；

(2)化简： sinα−π2⋅cs3π2+α⋅tanπ−αtan−α−π⋅sinα−π.

已知sinα=−1213，且tanα<0.
(1)求tanα；

(2)求2sinπ+α+cs2π−αcsα−π2−sin3π2+α的值．

已知角θ的终边与单位圆x2+y2=1在第四象限交于点P，且点P的坐标为12,y.
(1)求tanθ的值；

(2)求csπ2−θ+csθ−2πsinθ+csπ+θ的值．

已知sinπ−α=437，csα−β=1314，0<β<α<π2.
(1)求sinα+π3的值；

(2)求角β的大小．

如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足y=Asin(ωt+φ)+b，(A>0, ω>0, φ∈[−π, π])，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.

(1)根据条件写出y关于t的函数解析式；

(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过85米?

已知函数fx=3sinx+π6−sinx−π3.
(1)求fπ6的值；

(2)若x∈0,2π，求fx的单调递减区间．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省九江市高一（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的余弦公式
【解析】
直接利用两角和的余弦公式求解即可.
【解答】
解： cs135∘cs15∘−sin135∘sin15∘
=cs(135∘+15∘)
=cs150∘
=−cs30∘
=−32.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
两角和与差的正弦公式
【解析】
利用两角和与差的正弦公式求得答案．
【解答】
解：sin45∘cs15∘+cs45∘sin15∘
=sin(45∘+15∘)=sin60∘=32.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意tan(α+π4)=tanα+11−tanα，
又tanα=12，
∴ tan(α+π4)=12+11−12=3.
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
利用诱导公式化简即可．
【解答】
解：∵ cs660∘=cs(2×360∘−60∘)
=cs(−60∘)=cs60∘=12．
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
先计算|OP|，再利用正弦函数的定义即可得到结论．
【解答】
解：由题意，|OP|=1，
∵ 角α的终边与单位圆相交于点P(−32,y)，
∴ csα=−32，∴ sinα=±1−cs2α=±12.
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
三角函数的周期性及其求法
函数奇偶性的判断
【解析】
根据三角函数的图象及性质依次即可．
【解答】
解：A，y=sinx，是奇函数，故A错误；
B，y=csx，是偶函数，周期T=2π，故B错误；
C，y=sin2x，是奇函数，故C错误；
D，y=cs2x，是偶函数，周期T=2π2=π，故D正确.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
诱导公式
三角函数值的符号
象限角、轴线角
【解析】
本题考查三角函数的诱导公式．
【解答】
解：因为α是第三象限角，
所以tan3π−α=−tan α<0，csπ+α=−cs α>0，
所以点tan3π−a,csπ+α在第二象限．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得所得函数的解析式，再化简可得结果．
【解答】
解：将函数y=sin(x−π4)的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得函数y=sin(12x−π4)的图象，
再向左平移π6个单位长度，
则所得的函数图象对应的解析式为：
y=sin[12(x+π6)−π4]=sin(x2−π6).
故选C.
9.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当x≥0时，f(x)=f(x−4)，
∴ 当x≥0时，函数f(x)的周期为4，∴ f(99)=f(−1),
∴ f(−1)=31=3.
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为sinπ6+α=−35，
所以cs4π3−α
=−csπ3−α
=−sinπ2−π3−α
=−sinπ6+α=35.
故选B．
11.
【答案】
A
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】
解：由函数的图象可得T2=7π8−3π8=π2，
∴ T=π，
∴ ω=2πT=2．
函数图象经过点(3π8,0)，
∴ 2×3π8+φ=kπ(k∈Z)，
φ=kπ−3π4(k∈Z)，
∵ |φ|<π2，
∴ φ=π4，
∴ 此函数的解析式是y=sin(2x+π4).
故选A．
12.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的图象
两角和与差的正弦公式
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=3sinωx+csωx=2sinωx+π6，
且x=−3π4为函数fx图象的一条对称轴，
所以f−3π4=2sin−3π4ω+π6=±2，
故−3π4ω+π6=kπ+π2,k∈Z，
解得ω=−4k3−49,k∈Z.
又函数在−π3,π3上单调递增，
故T≥2π3+π3=4π3，
所以ω=2πT≤32，
又ω>0，可得−3524≤k<−13，
又k∈Z，所以k=−1，
此时ω=89.(经检验满足在−π3,π3上单调递增)
故选C.
二、填空题
【答案】
−120
【考点】
两角和与差的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为csα−β=12，
所以csαcsβ+sinαsinβ=12．
因为cs(α+β)=−35，
所以csαcsβ−sinαsinβ=−35，
所以csαcsβ=1212−35=−120．
故答案为：−120.
【答案】
255
【考点】
同角三角函数间的基本关系
三角函数值的符号
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为sinθ=−23，θ∈π,3π2，
所以csθ<0，
csθ=−1−sin2θ=−1−−232=−53，
所以tanθ=sinθcsθ=255.
故答案为： 255.
【答案】
516
【考点】
三角函数的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 3sinα+csα=0，∴ tanα=−13，
∴ sinα+2csα5csα−sinα=tanα+25−tanα=516.
故答案为：516.
【答案】
②④
【考点】
正弦函数的定义域和值域
正弦函数的单调性
正弦函数的对称性
正弦函数的周期性
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①， 易得fxmax=3，fxmin=−1，所以该结论错误；
②， fx0=fπ2=2sinπ+π6+1=2×−12+1=0，
所以x0=π2是fx的一个零点，所以该结论正确；
③，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
∴ kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
当k=0时，函数的增区间为−π3,π6，
当k=1时，函数的增区间为2π3,7π6，
所以π6,2π3不是fx的一个单调递增区间，所以该结论错误；
④，由x1+x2=kπ+π3，k∈Z，得x1=kπ+π3−x2，
∴ fx1=fkπ+π3−x2
=2sin2kπ+2π3−2x2+π6+1
=2sinπ−2x2−π6+1=2sin2x2+π6+1=fx2，
所以fx1=fx2．故该结论正确．
故答案为：②④．
三、解答题
【答案】
解：(1)sin49∘−sin19∘cs30∘cs19∘
=sin19∘+30∘−sin19∘cs30∘cs19∘
=cs19∘sin30∘cs19∘=sin30∘=12.
(2)原式=−csα⋅sinα⋅(−tanα)−tanα⋅(−sinα)=csα.
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
两角和与差的正弦公式
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)sin49∘−sin19∘cs30∘cs19∘
=sin19∘+30∘−sin19∘cs30∘cs19∘
=cs19∘sin30∘cs19∘=sin30∘=12.
(2)原式=−csα⋅sinα⋅(−tanα)−tanα⋅(−sinα)=csα.
【答案】
解：(1)∵ sinα=−1213，且 tanα<0 ，
∴ α是第四象限角，
由同角三角函数的基本关系式得，
csα=1−sin2α=1−−12132=513，
∴ tanα=sinαcsα
=−1213513
=−125.
(2)2sin(π+α)+cs(2π−α)cs(α−π2)−sin(3π2+α)
=−2sinα+csαsinα+csα=1−2tanα1+tanα
=1+2×1251−125
=−297．
【考点】
同角三角函数间的基本关系
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ sinα=−1213，且 tanα<0 ，
∴ α是第四象限角，
由同角三角函数的基本关系式得，
csα=1−sin2α=1−−12132=513，
∴ tanα=sinαcsα
=−1213513
=−125.
(2)2sin(π+α)+cs(2π−α)cs(α−π2)−sin(3π2+α)
=−2sinα+csαsinα+csα=1−2tanα1+tanα
=1+2×1251−125
=−297．
【答案】
解：(1)将P12,y代入圆的方程x2+y2=1得：
y=±32．
∵ P12,y在第四象限，∴ y=−32，
由任意角三角函数的定义得： tanθ=yx=−3.
(2) csπ2−θ+csθ−2πsinθ+csπ+θ=sinθ+csθsinθ−csθ，
由任意角三角函数的定义得： sinθ=−32，csθ=12，
代入上式得： sinθ+csθsinθ−csθ=−32+12−32−12=3−13+1=2−3.
【考点】
任意角的三角函数
同角三角函数间的基本关系
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)将P12,y代入圆的方程x2+y2=1得：
y=±32．
∵ P12,y在第四象限，∴ y=−32，
由任意角三角函数的定义得： tanθ=yx=−3.
(2) csπ2−θ+csθ−2πsinθ+csπ+θ=sinθ+csθsinθ−csθ，
由任意角三角函数的定义得： sinθ=−32，csθ=12，
代入上式得： sinθ+csθsinθ−csθ=−32+12−32−12=3−13+1=2−3.
【答案】
解：(1)因为sinπ−α=437，所以sinα=437.
因为0<α<π2，所以csα=1−sin2α=17，
所以sinα+π3=sinαcsπ3+csαsinπ3
=437×12+17×32=5314.
(2)因为csα−β=1314，且0<β<α<π2，
所以0<α−β<π2，
所以sinα−β=1−cs2α−β=3314，
所以csβ=csα−α−β
=csαcsα−β+sinαsinα−β
=17×1314+437×3314=12.
因为0<β<π2，所以β=π3.
【考点】
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为sinπ−α=437，所以sinα=437.
因为0<α<π2，所以csα=1−sin2α=17，
所以sinα+π3=sinαcsπ3+csαsinπ3
=437×12+17×32=5314.
(2)因为csα−β=1314，且0<β<α<π2，
所以0<α−β<π2，
所以sinα−β=1−cs2α−β=3314，
所以csβ=csα−α−β
=csαcsα−β+sinαsinα−β
=17×1314+437×3314=12.
因为0<β<π2，所以β=π3.
【答案】
解：(1)根据题意：A+b=110，−A+b=10，
故A=50，b=60，T=2πω=3，故ω=2π3.
当t=0时，y=50sinφ+60=10，
即sinφ=−1，φ∈−π,π，故φ=−π2，
y=ft=50sin2π3t−π2+60=−50cs2π3t+60.
(2)y=ft=50sin2π3t−π2+60>85，
故sin2π3t−π2>12，t∈0,3，
解得π6<2π3t−π2<5π6，解得1故有1分钟长的时间点P距离地面的高度超过85米.
【考点】
函数模型的选择与应用
在实际问题中建立三角函数模型
正弦函数的定义域和值域
【解析】
(1)根据题意得到A+b=110,−A+b=10,,T=2πω=3，当t=0时，y=50sinφ+60=10，解得答案
(2)解不等式sin2π3t−π2>12得到答案.
【解答】
解：(1)根据题意：A+b=110，−A+b=10，
故A=50，b=60，T=2πω=3，故ω=2π3.
当t=0时，y=50sinφ+60=10，
即sinφ=−1，φ∈−π,π，故φ=−π2，
y=ft=50sin2π3t−π2+60=−50cs2π3t+60.
(2)y=ft=50sin2π3t−π2+60>85，
故sin2π3t−π2>12，t∈0,3，
解得π6<2π3t−π2<5π6，解得1故有1分钟长的时间点P距离地面的高度超过85米.
【答案】
解：(1)由题意，
函数f(x)=3sin(x+π6)+cs(x+π6)=2sin(x+π3)，
所以f(π6)=2．
(2)因为x∈0,2π，可得x+π3∈π3,7π3，
所以当x+π3∈[π2,3π2]，即x∈[π6,7π6]，函数fx单调递减，
即函数fx的单调递减区间是[π6,7π6]．
【考点】
两角和与差的正弦公式
运用诱导公式化简求值
正弦函数的单调性
【解析】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的化简公式的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
(Ⅱ)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)由题意，
函数f(x)=3sin(x+π6)+cs(x+π6)=2sin(x+π3)，
所以f(π6)=2．
(2)因为x∈0,2π，可得x+π3∈π3,7π3，
所以当x+π3∈[π2,3π2]，即x∈[π6,7π6]，函数fx单调递减，
即函数fx的单调递减区间是[π6,7π6]．