2020-2021学年江西省九江市高一（下）5月月考数学试卷北师大版

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这是一份2020-2021学年江西省九江市高一（下）5月月考数学试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知a<0，−1A.−aab>0C.a>ab>ab2D.ab>a>ab2

2. 不等式1x−1A.{x|x>−3}B.{x|43C.{x|x>1}D.{x|x>2或−2
3. 若不等式ax2+bx+c>0的解集为x|−2A.{x|x<−3或x>3}B.x|−31}

4. 当x>0时，不等式x2−mx+9>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.(−∞, 6)B.(−∞, 6]C.[6, +∞)D.(6, +∞)

5. 已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是( )
A.1x+yB.14(1x+1y)C.12(x2+y2)D.12xy

6. 在R上定义运算x∗y=x1−y．若关于x的不等式x∗x−a>0的解集是集合x|−1≤x≤1的子集，则实数a的取值范围是（）
A.0≤a≤2B.−2≤a<−1或−1C.0≤a<1或1
7. 设x表示不超过x的最大整数（例如：5.5=5，−5.5=−6），则不等式x2−5x+6≤0的解集为（）
A.x|2
8. 已知x>0，y>0，8x+2y−xy=0，则x+y的最小值为（）
A.12B.14C.16D.18

9. 设等差数列{an}的公差为2，前10项和为490，等差数列{bn}的公差为4，前10项和为240，以ak，bk为邻边的矩形内的最大圆的面积记为Sk，若k≤18，那么Sk=( )
A.π(2k+1)2B.π(2k+3)2C.π(k+1)2D.π(k+18)2

10. 直线l过点A1,2且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是（）
A.0,2B.0,1C.0,12D.0,12

11. 若a>0，b>0且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）
A.1ab>12B.1a+1b≤1C.ab≥2D.1a2+b2≤18

12. 某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x(x∈N∗)为二次函数关系（如图所示），若要使其营运的年平均利润最大，则每辆客车需营运( )

A.3年B.4年C.5年D.6年
二、填空题

一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α0∘<α<90∘，则其倾斜角为________．

已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn 表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是________.

为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg⋅L−1)随时间t(单位：ℎ)的变化关系为C=20tt2+4，则经过________ℎ后池水中该药品的浓度达到最大．

对于任意a∈[−1, 1]，函数f(x)=x2+(a−4)x+4−2a的值恒大于零，则x的取值范围是________.
三、解答题

(1)−4x2+18x−814≥0；

(2)−2x2+3x−2<0．

已知△ABC的三个顶点在第一象限，A1,1，B5,1，A=45∘，B=45∘，求：
(1)AB所在直线的方程；

(2)AC边和BC边所在直线的方程．

(1)已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，求x+y的最大值；

(2)已知0
(3)已知x>−1，求y=x2+3x+4x+1的最小值．

已知数列an满足a1=76，Sn是an的前n项和，点(2Sn+an,Sn+1)在fx=12x+13的图象上．
(1)求数列an的通项公式；

(2)若cn=an−23n，Tn为cn的前n项和，n∈N∗，求Tn．

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mm+a；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为an+a．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为ℎ1和ℎ2，则他对这两种交易的综合满意度为ℎ1ℎ2．
现假设甲生产A，B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为ℎ甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为ℎ乙．
(1)求ℎ甲和ℎ乙关于mA，mB的表达式；当mA=35mB时，求证：ℎ甲=ℎ乙；

(2)设mA=35mB，当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

(3)记(2)中最大的综合满意度为ℎ0，试问能否适当选取mA，mB的值，使得ℎ甲≥ℎ0和ℎ乙≥ℎ0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．

已知二次函数fx=ax2+bx+c，且f−1=0，是否存在常数a，b，c，使得不等式x≤fx≤12x2+1对一切实数x恒成立？并求出a，b，c的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省九江市高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
不等式比较两数大小
【解析】
无
【解答】
解：∵ a<0，−1∴ ab>0，a0，
−a>ab，a故A，C，D都不正确，正确答案为B．
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
分式不等式的解法
【解析】
直接利用x−1>0转化不等式为二次不等式，求出x的范围；利用x−1<0，化简不等式求出解集，然后求并集即可．
【解答】
解：原不等式可以变形为1−x2−1x−1<0，即x2−2x−1>0，
故原不等式的解集为{x|x>2或−2故选D．
3.
【答案】
D
【考点】
根与系数的关系
一元二次不等式的解法
【解析】
无
【解答】
解：由已知得方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=−2，x2=1，
且a<0，
∴ ba=1，ca=−2．
∴ 不等式ax2+a+bx+c−a<0可化为x2+1+bax+ca−1>0，
即x2+2x−3>0，
解得x<−3或x>1．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
不等式恒成立的问题
不等式恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为当x>0 时，不等式 x2−mx+9>0恒成立，
所以当 x>0 时，不等式 m所以当x>0时，m<(x+9x)min即可.
因为当x>0时，x+9x≥2x⋅9x=6(当且仅当 x=3 时，等号成立)，
所以(x+9x)min=6，
所以m<6.
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
不等式比较两数大小
【解析】
利用基本不等式x+y≥2xy，结合不等式的倒数法则，可得A项小于D项；利用作差比较大小的方法，通过讨论差的符号，得到A项小于B项；最后利用不等式x2+y2≥2xy，再结合两边取倒数和两边开方等变形，可得C项小于A项．
【解答】
解：∵ x>0，y>0，x≠y，
∴ x+y>2xy>0，
两边取倒数，得0<1x+y<12xy，排除D；
又∵ 14(1x+1y)=x+y4xy=14xyx+y>1(x+y)2x+y=1x+y，
∴ 排除B；
∵ (x+y)2=x2+y2+2xy<2(x2+y2)，
∴ 1x+y>12(x2+y2)，排除A.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
一元二次不等式的解法
子集与真子集
【解析】
无
【解答】
解：由题意，得
x∗x−a=x1−x−a=xa+1−x，
所以x∗x−a>0，
即xx−a+1<0．
当a=−1时，不等式的解集为空集，符合题意；
当a>−1时，不等式的解集为x|0又因为解集为x|−1≤x≤1的子集，
所以a+1≤1，得−1当a<−1时，不等式的解集为x|a+1又因为解集为x|−1≤x≤1的子集，
所以a+1≥−1，得−2≤a<−1．
综上所述，a的取值范围是−2≤a≤0．
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
无
【解答】
解：不等式x2−5x+6≤0可化为([x]−2)⋅([x]−3)≤0，
解得2≤x≤3，
根据[x]表示不超过x的最大整数得不等式的解集为x|2≤x<4．
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
【解答】
解：当x>0，y>0时，8x+2y−xy=0⇔2x+8y=1，
∴ x+y=x+y2x+8y=10+8xy+2yx≥10+2×4=18，
当且仅当2yx=8xy,x+y=18,
即x=6，y=12时，x+y取得最小值18．
故选D．
9.
【答案】
A
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
首先由等差数列的前n项和公式，分别求出a1和b1的值，进而可得an和bn的通项公式；由上可得当k≤18时，2k+38≥4k+2，则以a和bk为邻边的矩形内的最大圆的半径为2k+1，据此可得答案．
【解答】
解：由10a1+10×(10−1)2×2=490，得a1=40，
所以an=40+2(n−1)=2n+38.
由10b1+10×(10−1)2×4=240，得b1=6，
所以bn=6+4(n−1)=4n+2.
因为ak−bk=(2k+38)−(4k+2)=36−2k，
所以当k≤18时，36−2k≥0，即2k+38≥4k+2.
所以以ak和bk为邻边的矩形内的最大圆的半径为2k+1，
则该最大圆的面积Sk=π(2k+1)2.
故选A．
10.
【答案】
A
【考点】
直线的斜率
【解析】
无
【解答】
解：如图，当k=0时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限．
∴ 由kOA=2−01−0=2，
知k∈0,2．
故选A．
11.
【答案】
D
【考点】
由基本不等式证明不等关系
不等式性质的应用
【解析】
利用基本不等式进行排除即可得到正确答案.
【解答】
解：∵ a>0，b>0，a+b=4，
∴ ab≤a+b2=2，
∴ ab≤4，
∴ 1ab≥14，
∴ 1a+1b=a+bab=4ab≥1，
1a2+b2=1(a+b)2−2ab=142−2ab=116−2ab≤18，
故A，B，C均错误，D正确．
故选D．
12.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
二次函数的应用
【解析】
可设y=ax−62+11，又曲线过4,7，求出a=−1，再利用yx=12−x+25x≤12−225=2，即可得到答案.
【解答】
解：设二次函数为y=ax−62+11．
又图象过点4,7，代入得7=a4−62+11，
解得a=−1，
∴ y=−x2+12x−25，
设年平均利润为m，则m=yx=−x−25x+12≤2，
当且仅当x=25x，即x=5时取等号．
故选C．
二、填空题
【答案】
90∘+α或90∘−α
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
无
【解答】
解：如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90∘+α；
当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90∘−α．
故答案为：90∘+α或90∘−α．
【答案】
20
【考点】
等差数列的前n项和
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．
【解答】
解：∵ a2−a1+a4−a3+a6−a5=3d，
∴ 99−105=3d，∴ d=−2，
又∵ a1+a3+a5=3a1+6d=105，∴ a1=39，
∴ Sn=na1+nn−12d=−n2+40n=−n−202+400，
∴ 当n=20时，Sn有最大值．
故答案为：20．
【答案】
2
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：C=20tt2+4=20t+4t，
因为t>0，
所以t+4t≥2t⋅4t=4(当且仅当t=4t，即t=2时，等号成立)．
所以C=20t+4t≤204=5，
即当t=2时，C取得最大值．
故答案为：2．
【答案】
x<1或x>3
【考点】
一元二次不等式的解法
不等式恒成立问题
【解析】
把二次函数的恒成立问题转化为y=a(x−2)+x2−4x+4>0在a∈[−1, 1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．
【解答】
解：设ga=x−2a+x2−4x+4，
ga>0恒成立且a∈−1,1
⇔g1=x2−3x+2>0,g−1=x2−5x+6>0
⇔x<1或x>2,x<2或x>3
⇔x<1或x>3.
故答案为：x<1或x>3.
三、解答题
【答案】
解：(1)原不等式可化为2x−922≤0，
所以原不等式的解集为x|x=94．
(2)原不等式可化为2x2−3x+2>0，
因为Δ=9−4×2×2=−7<0，
所以原不等式的解集为R．
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)原不等式可化为2x−922≤0，
所以原不等式的解集为x|x=94．
(2)原不等式可化为2x2−3x+2>0，
因为Δ=9−4×2×2=−7<0，
所以原不等式的解集为R．
【答案】
解：根据已知条件，画出示意图如图．
(1)由题意知，直线AB平行于x轴，
由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y=1．
(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于角A，
所以kAC=tan45∘=1，
又点A1,1，
所以直线AC的方程为y−1=1⋅x−1，
即y=x．
同理可知，直线BC的倾斜角等于180∘−B=135∘，
所以kBC=tan135∘=−1，
又点B5,1，
所以直线BC的方程为y−1=−1⋅x−5，
即y=−x+6．
【考点】
直线的一般式方程
直线的点斜式方程
直线的斜率
【解析】
无
无
【解答】
解：根据已知条件，画出示意图如图．
(1)由题意知，直线AB平行于x轴，
由A，B两点的坐标知，直线AB的方程为y=1．
(2)由题意知，直线AC的倾斜角等于角A，
所以kAC=tan45∘=1，
又点A1,1，
所以直线AC的方程为y−1=1⋅x−1，
即y=x．
同理可知，直线BC的倾斜角等于180∘−B=135∘，
所以kBC=tan135∘=−1，
又点B5,1，
所以直线BC的方程为y−1=−1⋅x−5，
即y=−x+6．
【答案】
解：(1)∵ 1=x2+y2+xy=x+y2−xy≥x+y2−x+y22，
∴ x+y2≤43，
即x+y≤233，
当且仅当x=y>0且x2+y2+xy=1，
即x=y=33时，等号成立，x+y的最大值为233．
(2)∵ 0∴ 1−3x>0，
y=x1−3x=13⋅3x⋅1−3x
≤133x+1−3x22=112．
当且仅当3x=1−3x，即x=16时，取等号，
∴ 当x=16时，函数取得最大值112．
(3)∵ x>−1，
∴ x+1>0，
y=x2+3x+4x+1
=x+12+x+1+2x+1
=x+1+2x+1+1
≥22+1，
当且仅当x+1=2x+1时，
即x=2−1时，函数y的最小值为22+1．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)∵ 1=x2+y2+xy=x+y2−xy≥x+y2−x+y22，
∴ x+y2≤43，
即x+y≤233，
当且仅当x=y>0且x2+y2+xy=1，
即x=y=33时，等号成立，x+y的最大值为233．
(2)∵ 0∴ 1−3x>0，
y=x1−3x=13⋅3x⋅1−3x
≤133x+1−3x22=112．
当且仅当3x=1−3x，即x=16时，取等号，
∴ 当x=16时，函数取得最大值112．
(3)∵ x>−1，
∴ x+1>0，
y=x2+3x+4x+1
=x+12+x+1+2x+1
=x+1+2x+1+1
≥22+1，
当且仅当x+1=2x+1时，
即x=2−1时，函数y的最小值为22+1．
【答案】
解：(1)∵ 点2Sn+an,Sn+1在fx=12x+13的图象上，
∴ Sn+1=12×2Sn+an+13，
∴ an+1=12an+13．
∵ an+1−23=12an−23，
∴ 数列an−23是以a1−23=76−23=12为首项，以12为公比的等比数列，
∴ an−23=12×12n−1，
即an=23+12n．
(2)∵ cn=an−23n=n2n，
∴ Tn=12+2×122+3×123+⋯+n2n，①
∴ 12Tn=122+2×123+3×124+⋯+n2n+1，②
①−②得12Tn=12+122+123+124+⋯+12n−n2n+1，
∴ Tn=2−2+n2n．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ 点2Sn+an,Sn+1在fx=12x+13的图象上，
∴ Sn+1=12×2Sn+an+13，
∴ an+1=12an+13．
∵ an+1−23=12an−23，
∴ 数列an−23是以a1−23=76−23=12为首项，以12为公比的等比数列，
∴ an−23=12×12n−1，
即an=23+12n．
(2)∵ cn=an−23n=n2n，
∴ Tn=12+2×122+3×123+⋯+n2n，①
∴ 12Tn=122+2×123+3×124+⋯+n2n+1，②
①−②得12Tn=12+122+123+124+⋯+12n−n2n+1，
∴ Tn=2−2+n2n．
【答案】
解：设mA=x，mB=y．
(1)甲买进产品A的满意度：ℎ2甲=12x+12；
甲卖出产品B的满意度：ℎ1甲=yy+5；
甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：
ℎ甲=12x+12⋅yy+5；
同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：
ℎ乙=xx+3⋅20y+20．
当x=35y时，ℎ甲=12x+12⋅yy+5
=1235y+12⋅yy+5=20yy+20y+5，
ℎ乙=xx+3⋅20y+20=35y35y+3⋅20y+20
=20yy+20y+5，
故ℎ甲=ℎ乙．
(2)当x=35y时，
由(1)知ℎ甲=ℎ乙=20yy+20y+5，
因为20yy+20y+5=20y+100y+25≤49，
当且仅当y=10时，等号成立．
当y=10时，x=6．
因此，当mA=6，mB=10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为23．
(3)由(2)知ℎ0=23．
因为ℎ甲ℎ乙=12x+12⋅yy+5⋅xx+3⋅20y+20
=12x+36x+15⋅20y+100y+25≤49，
所以，当ℎ甲≥23，ℎ乙≥23时，有ℎ甲=ℎ乙=23．
因此，不能取到mA，mB的值，使得ℎ甲≥ℎ0和ℎ乙≥ℎ0同时成立，但等号不同时成立．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
(1)表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件mA=35mB时，表示出要证明的相等的两个式子，得到两个式子相等．
(2)在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．
(3)先写出结论：不能由(2)知ℎ0＝ℎ0=23．因为ℎ甲ℎ乙≤49，不能取到mA，mB的值，使得ℎ甲≥ℎ0和ℎ乙≥ℎ0同时成立，但等号不同时成立．

【解答】
解：设mA=x，mB=y．
(1)甲买进产品A的满意度：ℎ2甲=12x+12；
甲卖出产品B的满意度：ℎ1甲=yy+5；
甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：
ℎ甲=12x+12⋅yy+5；
同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：
ℎ乙=xx+3⋅20y+20．
当x=35y时，ℎ甲=12x+12⋅yy+5
=1235y+12⋅yy+5=20yy+20y+5，
ℎ乙=xx+3⋅20y+20=35y35y+3⋅20y+20
=20yy+20y+5，
故ℎ甲=ℎ乙．
(2)当x=35y时，
由(1)知ℎ甲=ℎ乙=20yy+20y+5，
因为20yy+20y+5=20y+100y+25≤49，
当且仅当y=10时，等号成立．
当y=10时，x=6．
因此，当mA=6，mB=10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为23．
(3)由(2)知ℎ0=23．
因为ℎ甲ℎ乙=12x+12⋅yy+5⋅xx+3⋅20y+20
=12x+36x+15⋅20y+100y+25≤49，
所以，当ℎ甲≥23，ℎ乙≥23时，有ℎ甲=ℎ乙=23．
因此，不能取到mA，mB的值，使得ℎ甲≥ℎ0和ℎ乙≥ℎ0同时成立，但等号不同时成立．
【答案】
解：已知f−1=a−b+c=0，①
若存在常数a，b，c，
使得x≤fx≤12x2+1恒成立，
则令x=1，得1≤f1≤1．
∴ f1=a+b+c=1．②
由①②，得b=12，a+c=12，
则fx=ax2+12x+12−a．
∵ x≤fx≤12x2+1对一切实数x都成立，
∴ ax2+12x+12−a≥x,ax2+12x+12−a≤12x2+1恒成立，
即ax2−12x+12−a≥0,a−12x2+12x−a≤0恒成立．
a．对于不等式ax2−12x+12−a≥0恒成立，
则a>0,Δ=4a2−2a+14≤0,
即a>0,a−142≤0,
∴ a=14．
b．对于不等式a−12x2+12x−a≤0恒成立，
则a−12<0,Δ=4a2−2a+14≤0,
即a<12,a−142≤0,
∴ a=14．
∴ a=14时，x≤fx≤12x2+1对一切实数x都成立，
∴ 存在常数a=14，b=12，c=14，
使得不等式x≤fx≤12x2+1对一切实数x都成立．
【考点】
二次函数的性质
不等式恒成立问题
【解析】
无
【解答】
解：已知f−1=a−b+c=0，①
若存在常数a，b，c，
使得x≤fx≤12x2+1恒成立，
则令x=1，得1≤f1≤1．
∴ f1=a+b+c=1．②
由①②，得b=12，a+c=12，
则fx=ax2+12x+12−a．
∵ x≤fx≤12x2+1对一切实数x都成立，
∴ ax2+12x+12−a≥x,ax2+12x+12−a≤12x2+1恒成立，
即ax2−12x+12−a≥0,a−12x2+12x−a≤0恒成立．
a．对于不等式ax2−12x+12−a≥0恒成立，
则a>0,Δ=4a2−2a+14≤0,
即a>0,a−142≤0,
∴ a=14．
b．对于不等式a−12x2+12x−a≤0恒成立，
则a−12<0,Δ=4a2−2a+14≤0,
即a<12,a−142≤0,
∴ a=14．
∴ a=14时，x≤fx≤12x2+1对一切实数x都成立，
∴ 存在常数a=14，b=12，c=14，
使得不等式x≤fx≤12x2+1对一切实数x都成立．

2020-2021学年江西省九江市高一（下）5月月考数学试卷北师大版

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