2020-2021学年江西省九江市高一（上）9月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省九江市高一（上）9月月考数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合M=x|x≥4，a=22，则下列关系中正确的是( )
A.a∈MB.a∉MC.a∈MD.a∉M

2. 若全集A={x∈Z|0≤x≤2}，则集合A的真子集共有( )
A.3个B.5个C.7个D.8个

3. 已知集合A={0, m, m2−3m+2}，且2∈A，则实数m的值为( )
A.3B.2C.0或3D.0或2或3

4. 设集合A={x|0A.a|a≤0B.a|0
5. 若集合A=1,m,B=m2,m+1，且A=B，则m=( )
A.0B.1C.±1D.0或1

6. 函数y=2−x+1x+1的定义域是( )
A.(−1,2]B.[−1,2]C.(−1,2)D.[−1,2)

7. 已知全集I={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则(∁IA)∩(∁IB)=( )
A.7,8B.{3,4}C.{3,4,7,8}D.{5,6}

8. 设全集为R，集合A={x|0A.A={x|0
9. 下列各项表示相等函数的是( )
A.f(x)=x2−1x−1与g(x)=x+1B.f(x)=x2−1与g(x)=x−1
C.f(t)=1+t1−t与g(x)=1+x1−xD.f(x)=1与g(x)=x⋅1x

10. 已知全集U=R，集合P={x∈N∗|x<7}，Q={x|x−3>0}，那么图中阴影部分表示的集合是( )

A.{1, 2, 3, 4, 5, 6}B.{x|x>3}C.{4, 5, 6}D.{x|3
11. 设集合A＝{1, 2}，B＝{x|x2+mx−3＝0}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝( )
A.{−3, 1, 2}B.{1, 2}C.{−3, 1}D.{1, 2, 3}

12. 函数f(x)=x2+2x(x∈[−2, 1])的值域是( )
A.[0, 3]B.[−1, 3]C.[−1, 0]D.[−1, +∞)
二、填空题

集合A={(x, y)|xy=2且x+y=3, x∈R, y∈R}的所有子集为________个．

已知f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)=________.

函数y=ax2−2x+2有最小值−2，则实数a的值为________.

函数f(x)=−x2+2x+3的单调增区间为________.
三、解答题

已知函数f(x)=x+mx，且此函数图象过点(1, 5)．
(1)求实数m的值；

(2)判断函数f(x)在[2, +∞)上的单调性？并证明你的结论．

求下列函数的值域．
(1)y=x−3x−2；

(2)y=2x−1x+1，x∈3,5.

已知A={x|x2+3x−4=0}，B={x|ax−1+a=0}，且B⊆A，求所有a的值所构成的集合M．

已知集合A=x|a−1(1)若a=12，求A∪B；A∩∁UB；

(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．

已知函数fx=2x+1x+1.
(1)用定义证明函数fx在区间 −1,+∞上的单调性；

(2)求fx在区间2,5上的最大值和最小值．

已知函数fx=x2−2ax+2a2+2.
(1)若a=1，求函数fx的单调区间；

(2)求函数fx在区间−32,32的最小值；

(3)关于x的方程fx=2a2有解，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省九江市高一（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
本题考查元素与集合的关系．
【解答】
解：因为4>22，
所以a∉M，
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
子集与真子集的个数问题
【解析】
本题主要考查了集合的真子集个数问题．
【解答】
解：全集A={x∈Z|0≤x≤2}={0,1,2}，
则集合A的真子集为23−1=7个．
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
【解析】
根据元素2∈A，得到m=2或m2−3m+2=2，解方程即可．
【解答】
解：∵ A={0, m, m2−3m+2}，且2∈A，
∴ m=2或m2−3m+2=2，
解得m=2或m=0或m=3．
当m=0时，集合A={0, 0, 2}不成立．
当m=2时，集合A={0, 0, 2}不成立．
当m=3时，集合A={0, 3, 2}成立．
故m=3．
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
集合关系中的参数取值问题
【解析】
本题考查集合得包含关系．
【解答】
解：在数轴上表示A和B的关系，如图所示：
可知：a≥2019．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
集合的相等
集合的确定性、互异性、无序性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ m≠m+1 ，
∴ m=m2，
∴ m=0或1，
显然m≠1，
∴ m=0.
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意有2−x≥0，x+1>0，
解得−1故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
( ∁IA)∩( ∁IB)=5,6,7,8∩1,2,7,8=7,8,
故选A.
【解答】
解：( ∁IA)∩( ∁IB)=5,6,7,8∩1,2,7,8=7,8,
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
根据集合的基本运算即可求∁RB，A∩(∁RB)．
【解答】
解：因为B={x|x≤1}，
所以∁RB={x|x>1}，
所以A∩(∁RB)={x|1故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
逐一分析四个答案中所给两个函数的定义域和解析式是否均一致，进而可由两个函数表示同一函数的定义得到答案．
【解答】
解：A中，f(x)=x2−1x−1=x+1(x≠1)，与g(x)=x+1两个函数的定义域不同，故不表示相等函数；
B中，f(x)=x2−1=|x|−1，与g(x)=x−1两个函数的解析式不同，故不表示相等函数；
C中，f(t)=1+t1−t与g(x)=1+x1−x定义域与解析式均相同，故表示相等函数；
D中，f(x)=1与g(x)=x⋅1x=1(x≠0)，两个函数的定义域不同，故不表示相等函数.
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
交集及其运算
【解析】
图中阴影部分表示的集合是A∩B，用列举法写出集合P={1, 2, 3, 4, 5, 6}，能求出P∩Q．
【解答】
解：阴影部分表示的集合是P∩Q，
∵ 集合P={1, 2, 3, 4, 5, 6}，Q={x|x>3}，
∴ P∩Q={4, 5, 6}．
故选C．
11.
【答案】
A
【考点】
集合关系中的参数取值问题
并集及其运算
【解析】
由A∩B＝{1}，可得1∈B，代入B求得m＝2，进一步求得B，则A∪B可求．
【解答】
解：∵ A∩B＝{1}，
∴ 1∈B，则12+m−3＝0，解得m＝2．
∴ B＝{x|x2+mx−3＝0}＝{x|x2+2x−3＝0}={−3, 1}，
又A＝{1, 2}，
∴ A∪B＝{−3, 1, 2}．
故选A.
12.
【答案】
B
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
函数的值域及其求法
【解析】
根据函数f(x)=(x+1)2−1，再利用二次函数的性质求得函数的值域．
【解答】
解：∵ 函数f(x)=x2+2x=(x+1)2−1，该函数开口向上，对称轴为直线x=−1，
∴ 函数fx在区间[−2,−1)上单调递减，在区间[−1,1]上单调递增，
∴ 最小值为f(−1)=−1；
最大值为f−2与f(1)中的较大的一个，
∵ f−2=0，f1=3，
∴ 最大值为3，
故函数f(x)=x2+2x(x∈[−2, 1])的值域为[−1, 3]．
故选B．
二、填空题
【答案】
4
【考点】
子集与真子集的个数问题
【解析】
通过解方程组求得集合A中的元素，再写出集合的所有子集．
【解答】
解：解方程组xy=2，x+y=3得x=2，y=1，或x=1，y=2，
∴ A={(2, 1), (1, 2)}，
∴ A集合的子集有：⌀，{(2, 1)}，{(1, 2)}，{(2, 1), (1, 2)}．
故答案为：4.
【答案】
2x−1
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得g(x+2)=2x+3，
令t=x+2，则x=t−2，
代入g(x+2)=2x+3中，
则有g(t)=2(t−2)+3=2t−1，
所以g(x)=2x−1.
故答案为：2x−1.
【答案】
14
【考点】
函数最值的应用
【解析】
本题考查了二次函数的性质．
【解答】
解：由函数y=ax2−2x+2有最小值−2，知a>0，
且当x=1a时，ymin=−2，
则a⋅1a2−2a+2=−2，解得a=14．
故答案为：14．
【答案】
[−1, 1]
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
令t=−x2+2x+3≥0 求得函数f(x)的定义域．利用复合函数的单调性可得，本题即求函数t在定义域上
的增区间，再利用二次函数的性质求得函数t在定义域上的增区间．
【解答】
解：由−x2+2x+3≥0，得−1≤x≤3，
所以函数fx的定义域为[−1,3]，
函数f(x)=−x2+2x+3可看作由y=t，t=−x2+2x+3复合而成的，y=t单调递增，
要求函数f(x)=−x2+2x+3的单调增区间，只需求t=−x2+2x+3的增区间即可，
t=−x2+2x+3在[−1,3]上的单调增区间为[−1,1]，
所以函数f(x)=−x2+2x+3的单调增区间为[−1,1].
故答案为：[−1,1].
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ f(x)过点(1, 5)，
∴ 1+m=5，解得m=4．
(2)f(x)在[2, +∞)上单调递增．
证明：设x1，x2∈[2, +∞)且x1则f(x1)−f(x2)=x1+4x1−x2−4x2
=(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2
=(x1−x2)(x1x2−4)x1x2．
∵ x1，x2∈[2, +∞)且x1∴ x1−x2<0，x1x2>4，x1x2−4>0，
∴ f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴ f(x)在[2, +∞)上单调递增．
【考点】
函数的求值
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）把点(1, 5)代入f(x)=x+mx即可解得；
（2）f(x)在[2, +∞)是单调递增．利用单调递增函数的定义即可证明．
【解答】
解：(1)∵ f(x)过点(1, 5)，
∴ 1+m=5，解得m=4．
(2)f(x)在[2, +∞)上单调递增．
证明：设x1，x2∈[2, +∞)且x1则f(x1)−f(x2)=x1+4x1−x2−4x2
=(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2
=(x1−x2)(x1x2−4)x1x2．
∵ x1，x2∈[2, +∞)且x1∴ x1−x2<0，x1x2>4，x1x2−4>0，
∴ f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴ f(x)在[2, +∞)上单调递增．
【答案】
解：(1)（换元法）设t=3x−2，t≥0，
则x=13t2+23，
则y=13t2+23−t=13t−322−112，
该二次函数开口向上，对称轴为t=32，单调递增区间为[32,+∞)，
当t=32时，y有最小值−112 ，
故所求函数的值域为−112,+∞．
(2)（分离常数法）
由y=2x−1x+1=2x+2−3x+1=2(x+1)−3x+1=2−3x+1，
易得函数在[3,5]上是增函数，
所以当x=3时有最小值，最小值为ymin=54；
当x=5时有最大值，最大值为ymax=32，
故所求函数的值域是54,32．
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
本题主要考查了换元法、分离常数法求解函数值域的问题，属于基础题．
本题主要考查了换元法、分离常数法求解函数值域的问题，属于基础题．
【解答】
解：(1)（换元法）设t=3x−2，t≥0，
则x=13t2+23，
则y=13t2+23−t=13t−322−112，
该二次函数开口向上，对称轴为t=32，单调递增区间为[32,+∞)，
当t=32时，y有最小值−112 ，
故所求函数的值域为−112,+∞．
(2)（分离常数法）
由y=2x−1x+1=2x+2−3x+1=2(x+1)−3x+1=2−3x+1，
易得函数在[3,5]上是增函数，
所以当x=3时有最小值，最小值为ymin=54；
当x=5时有最大值，最大值为ymax=32，
故所求函数的值域是54,32．
【答案】
解：由已知得：A={x|x2+3x−4=0}
A={x|(x+4)(x−1)=0}
A=−4,1，
∵ B⊆A，
当B=⌀时，a=0；
当B=−4时，a=−13；
当B={1}时，a=12．
∴ M0,−13,12．
【考点】
集合关系中的参数取值问题
集合的含义与表示
【解析】
本题考查集合的子集关系．
【解答】
解：由已知得：A={x|x2+3x−4=0}
A={x|(x+4)(x−1)=0}
A=−4,1，
∵ B⊆A，
当B=⌀时，a=0；
当B=−4时，a=−13；
当B={1}时，a=12．
∴ M0,−13,12．
【答案】
解：(1)当a=12时，A=x−12∴ A∪B=x−12∵ ∁UB={x|x≤0或x>3}
∴ A∩(∁UB)=−12(2)∵ A∩B=⌀，
∴ ①当A=⌀时，2a+1≤a−1，
解得a≤−2；
②当A≠⌀时，a>−2，
∴ a>−2，2a+1≤0，或a>−2，a−1≥3，
∴ 解得−2综上所述，a≤−12或a≥4.
【考点】
集合关系中的参数取值问题
交、并、补集的混合运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当a=12时，A=x−12∴ A∪B=x−12∵ ∁UB={x|x≤0或x>3}
∴ A∩(∁UB)=−12(2)∵ A∩B=⌀，
∴ ①当A=⌀时，2a+1≤a−1，
解得a≤−2；
②当A≠⌀时，a>−2，
∴ a>−2，2a+1≤0，或a>−2，a−1≥3，
∴ 解得−2综上所述，a≤−12或a≥4.
【答案】
解：(1)f(x)在区间(−1,+∞)上单调递增，证明如下：
设−1则f(x1)−f(x2)=2x1+1x1+1−2x2+1x2+1
=2x1+2−1x1+1−2x2+2−1x2+1
=2(x1+1)−1x1+1−2(x2+1)−1x2+1
=2−1x1+1−2+1x2+1
=1x2+1−1x1+1
=x1−x2(x1+1)(x2+1)，
因为−1故x1+1>0 ，x2+1>0，且x1−x2<0，
故x1−x2(x1+1)(x2+1)<0，即f(x1)−f(x2)<0，
故函数f(x)在区间(−1,+∞)上单调递增．
(2)由(1)得f(x)在区间[2,5]上单调递增，
故fmin(x)=f(2)=4+12+1=53，
fmax(x)=f(5)=10+15+1=116，
故f(x)在区间[2,5]上的最大值为116，最小值53.
【考点】
函数的最值及其几何意义
函数单调性的判断与证明
【解析】
(1)在定义域内取−1(2)根据(1)中求得的单调性，判断f(x)在区间[2,5]上的最值即可 ．
【解答】
解：(1)f(x)在区间(−1,+∞)上单调递增，证明如下：
设−1则f(x1)−f(x2)=2x1+1x1+1−2x2+1x2+1
=2x1+2−1x1+1−2x2+2−1x2+1
=2(x1+1)−1x1+1−2(x2+1)−1x2+1
=2−1x1+1−2+1x2+1
=1x2+1−1x1+1
=x1−x2(x1+1)(x2+1)，
因为−1故x1+1>0 ，x2+1>0，且x1−x2<0，故x1−x2(x1+1)(x2+1)<0，即f(x1)−f(x2)<0，
故函数f(x)在区间(−1,+∞)上单调递增．
(2)由(1)得f(x)在区间[2,5]上单调递增，
故fmin(x)=f(2)=4+12+1=53，
fmax(x)=f(5)=10+15+1=116，
故f(x)在区间[2,5]上的最大值为116，最小值53.
【答案】
解：(1)当a=1时，f(x)=x2−2x+4，
化为二次函数的顶点式为f(x)=(x−1)2+3，
则对称轴为x=1，开口向上，
所以函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞)，单调递减区间为(−∞,1]．
(2)由题可知：f(x)=x2−2ax+2a2+2，
对称轴为x=a，开口向上，
x∈−32,32，
①当a≤−32时，函数在−32,32上单调递增，
所以fmin(x)=f−32=2a2+3a+174；
②当−32所以fmin(x)=f(a)=a2+2；
③当a≥32时，函数在−32,32上单调递减，
所以fmin(x)=f32=2a2−3a+174.
则函数在区间−32,32的最小值为：
fmin(x)=2a2+3a+174,a≤−32，a2+2,−32(3)f(x)=2a2，即x2−2ax+2a2+2=2a2，
则x2−2ax+2=0，
因为关于x的方程f(x)=2a2有解，
所以x2−2ax+2=0有解，
所以Δ=(−2a)2−4×2≥0⇒a≤−2或a≥2，
则a∈(−∞,−2]∪[2,+∞)．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
根的存在性及根的个数判断
函数的最值及其几何意义
函数的单调性及单调区间
【解析】
把a=1代入式子，计算二次函数的对称轴，简单判断可得结果．
按a≤−32，−32依题意化简可得x2−2ax+2=0有解，利用Δ≥0，简单计算可得结果．
【解答】
解：(1)当a=1时，f(x)=x2−2x+4，
化为二次函数的顶点式为f(x)=(x−1)2+3，
则对称轴为x=1，开口向上，
所以函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞)，单调递减区间为(−∞,1]．
(2)由题可知：f(x)=x2−2ax+2a2+2，
对称轴为x=a，开口向上，
x∈−32,32，
①当a≤−32时，函数在−32,32上单调递增，
所以fmin(x)=f−32=2a2+3a+174；
②当−32所以fmin(x)=f(a)=a2+2；
③当a≥32时，函数在−32,32上单调递减，
所以fmin(x)=f32=2a2−3a+174.
则函数在区间−32,32的最小值为：
fmin(x)=2a2+3a+174,a≤−32，a2+2,−32(3)f(x)=2a2，即x2−2ax+2a2+2=2a2，
则x2−2ax+2=0，
因为关于x的方程f(x)=2a2有解，
所以x2−2ax+2=0有解，
所以Δ=(−2a)2−4×2≥0⇒a≤−2或a≥2，
则a∈(−∞,−2]∪[2,+∞)．