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2020-2021学年江西省上饶市高一（上）12月考数学试卷北师大版
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这是一份2020-2021学年江西省上饶市高一（上）12月考数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合A=x|−1≤x≤2，B=−1,0,1,2，则A∩B=( )
A.x|−1≤x≤2B.−1,0,1,2C.−1,2D.0,1
2. 已知a=lg1516，b=lg13π3，c=3−13，则a，b，c的大小关系是( )
A.b
3. 函数fx=x−6+lnx的零点所在区间应是（ ）
A.2,3B.3,4C.4,5D.5,6
4. 下列函数中，与函数y=x+1是同一个函数的是( )
A.y=(x+1)2B.y=x2x+1C.y=3x3+1D.y=x2+1
5. 已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为( )
A.833πcm3B.433πcm3C.432πcm2D.832πcm3
6. 如图，边长为1的正方形O′A′B′C′是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则图形OABC的面积是( )
A.24B.22C. 2 D. 22
7. 设α，β是互不重合的平面，l，m，n是互不重合的直线，下列命题正确的是( )
A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B.若l⊥n，m⊥n，则l//m
C.若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n
D.若l⊥α，l//β，则α⊥β
8. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
9. 求函数fx=x2−3x−4单调递增区间( )
A.4,+∞B.−∞,32C.−∞,4D.32,+∞
10. 若函数(2−a)x−a2(x<1)， lgax(x≥1)，在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.(1, 2)B.(1,43]C.[43,2)D.(0, 1)
11. 已知函数fx=−x2−4x+1,x≤0,2−2−x,x>0,若关于x的方程[f(x)−2][f(x)−m]=0恰有5个不同的实根，则m的取值范围为( )
A.1,2B.[2,5)∪{1}C.1,5D.2,5∪1
12. 已知函数f(x)=|lg2x|,0A.(2, 3)B.(2, 4)C.(4, 6)D.(3, 6)
二、填空题
在三棱锥A−SBC中， AB=10，∠ASC=∠BSC=π4， AC=AS，BC=BS，若该三棱锥的体积为153，则棱锥S−ABC外接球的表面积为________.
三、解答题
已知集合A={x|x≤−3或x≥2}，B={x|1(1)求A∩B；
(2)若B∩C=C，求实数m的取值范围．
如图在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘．平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，M是棱PC上一点，且PM=13PC．
(1)证明：PQ⊥ 平面ABCD；
(2)求四棱锥M−BCDQ的体积．
已知函数f(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)．
1若a=b=1，求f(x)在[t, t+1]上的最大值；
2若f(x)在区间[2, 4]上的最大值为9，且最小值为1，求实数a，b的值．
已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−x−1．
1求函数f(x)的解析式；
2求不等式f(x)<1的解集．
在四棱锥S−ABCD中， SA⊥AD，平面SAD⊥平面ABCD，∠ADC=∠BCD=90∘，AD=DC=SA=12BC=2，点E，G分别是线段SA，AD的中点，F为棱BC上一点，且CF=1.
(1)证明：平面SCD//平面EFC；
(2)求三棱锥A−EDF的体积．
已知函数fx=1−4x1+4x+lg31−x1+x，
(1)求f(lg20212020)+f(lg202112020)的值；
(2)若对于区间−12,12内的每一个x，都有fx>4x+m恒成立，求实数m的范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一（上）12月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵ A=x|−1≤x≤2，B={−1,0,1,2}，
∴ A∩B={−1,0,1,2}.
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用指数对数函数的单调性分别与0，1比较，即可得出结论．
【解答】
解：∵ a>lg1515=1，b∴ b故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
由f(x)=x−6+lnx，计算可知f(5)，f(4)，判断正负，则由零点判定定理可知答案.
【解答】
解：由题意，f(x)=x−6+lnx，
计算可知f(5)=5−6+ln5=ln5−1>0，
f(4)=4−6+ln4=ln4−2=ln4e2<0，
则由零点判定定理可知f(x)=x−6+lnx的零点在区间(4,5)内.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断是同一函数．
【解答】
解：A，函数y=(x+1)2=x+1的定义域为{x|x≥−1}，
和y=x+1(x∈R)的定义域不同，不是同一函数，故错误；
B，函数y=x2x+1=x+1的定义域为{x|x≠0}，
和y=x+1的定义域不同，不是同一函数，故错误；
C，函数y=3x3+1=x+1的定义域为R，
和y=x+1的定义域相同，对应法则也相同，
是同一函数，故正确；
D，函数y=x2+1=|x|+1的定义域为R，
和y=x+1的定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数，故错误．
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
【解答】
解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，
∵ 侧面展开图是一个半圆，
∴ πl=2πr，
解得l=2r.
∵ 圆锥的表面积为12π，
∴ πr2+πrl=3πr2=12π，
∴ r=2，
∴ 圆锥的高为ℎ=l2−r2=42−22=23，
∴ 圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×22×23=833(cm3)．
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 正方形O′A′B′C′的边长为1，是OABC的直观图，
∴ OB=2，对应原图形平行四边形的高为22，
∴ 原图形OABC的面积为1×22=22.
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据空间中直线与平面之间的位置关系、空间中直线与直线的位置关系以及命题的真假判断来解即可.
【解答】
解：A，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则当直线m与n不平行时， l⊥α；
当m//n时，则l与α可能平行、相交或l⊂α，故此项错误；
B，若l⊥n，m⊥n，则在空间中l与m可能平行、相交或异面，故此项错误；
C，若m//α，n//β，α⊥β，则直线m与n可能平行、相交或异面，故此项错误；
D，若l⊥α，l//β，则存在l1⊂β且l1⊥α，则α⊥β，故此项正确.
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
棱锥的结构特征
由三视图还原实物图
平面与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定
【解析】
画出满足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥正方形ABCD，进而可得可得△PAB和△PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了两个直角三角形△PCB和△PCD，由此可得直角三角形的个数．
【解答】
解：满足条件的四棱锥的底面为正方形，且一条侧棱与底面垂直，
画出满足条件的直观图如图四棱锥P−ABCD所示.
不妨令PA⊥正方形ABCD，
则PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，
故△PAB和△PAD都是直角三角形．
∵ CB⊥AB，CD⊥AD，
∴ CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA，AB，
CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA，AD.
由线面垂直的判定定理，得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，
∴ CB⊥PB，CD⊥PD，
∴ △PCB和△PCD都是直角三角形．
∴ 直角三角形有△PAB，△PAD，△PBC，△PCD共4个．
故选D．
9.
【答案】
A
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
本题主要考查复合函数的单调区间，属于基础题.利用复合函数单调性的规律，同增异减，并结合二次函数的性质以及二次根式的性质，即可求解.
【解答】
解：∵ x2−3x−4≥0，
即(x−4)(x+1)≥0，
解得x≥4，x≤−1，
∴ 函数fx的定义域为{x|x≥4或x≤−1}.
又∵ 函数y=x2−3x−4在4,+∞上单调递增，
∴ fx=x2−3x−4的单调递增区间为4,+∞.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
根据函数f(x)=(2−a)x−a2，(x<1)lgax (x≥1)在(−∞, +∞)上单调递增，可得a>12−a>02−a−a2≤lga1=0，由此求得a的范围．
【解答】
解：∵ 函数f(x)在R上单调递增，
∴ a>1,2−a>0,2−a−a2≤lga1=0,
解得43≤a<2.
故选C.
11.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
根的存在性及根的个数判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由[f(x)−2][f(x)−m]=0，
得fx=2或fx=m，
作出y=fx的图象，如图所示，
由图可知，
方程fx=2有3个实根，
故方程fx=m有2个实根，
故由图象可得m的取值范围为[2,5)∪{1}.
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
【解析】
由所给的函数画出大致图象，数形结合可得ab＝1，c∈(4, 6)，进而求出abc 的取值范围．
【解答】
解：如图所示：
∵ f(a)=f(b)=f(c)，
∴ f(a)=f(b)=f(c)∈(0, 2].
∵ af(b)=lg2b，f(a)=f(b)，
∴ ab=1，
∴ 4∴ abc=c∈(4, 6).
故选C．
二、填空题
【答案】
12π
【考点】
球内接多面体
棱锥的结构特征
【解析】
【解答】
解：如图，设SC的中点为O，AB的中点为D，
连接OA，OB，OD.
因为∠ASC=∠BSC=π4， AC=AS，BC=BS，
所以∠SAC=∠SBC=90∘，
所以OA=OB=OC=OS，
所以O为棱锥S−ABC外接球的球心.
设半径为R，
又OD⊥AB，且AB=10，
所以AD=DB=102 ，OD=R2−52，
则S△OAB=12⋅AB⋅OD=1210R2−25.
又由SC⊥OA， SC⊥OB且OA∩OB=O，
所以SC⊥平面OAB，
所以VA−SBC=13⋅1210R2−25⋅2R=153，
解得R=3，
所以外接球的表面积S=4π32=12π.
故答案为：12π.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ A={x|x≤−3或x≥2}，
B={x|1∴ A∩B={x|2≤x<5}，
(2)∵ B∩C=C，∴ C⊆B，
①当C=⌀时，∴ m−1>2m⇒m<−1；
②当C≠⌀时，∴ m−1≤2m，m−1>1，2m<5，⇒2综上m的取值范围是(−∞, −1)∪(2, 52)．
【考点】
交集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
（1）根据定义，进行集合的交、并、补集运算，可得答案；
（2）分集合C=⌀和C≠⌀两种情况讨论m满足的条件，再综合．
【解答】
解：(1)∵ A={x|x≤−3或x≥2}，
B={x|1∴ A∩B={x|2≤x<5}，
(2)∵ B∩C=C，∴ C⊆B，
①当C=⌀时，∴ m−1>2m⇒m<−1；
②当C≠⌀时，∴ m−1≤2m，m−1>1，2m<5，⇒2综上m的取值范围是(−∞, −1)∪(2, 52)．
【答案】
(1)证明：∵ PA=PD，Q为AD的中点，
∴ PQ⊥AD.
又∵ 平面PAD ⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊂平面PAD，
∴ PQ⊥ 平面ABCD．
(2)解：连接BD，
∵ 底面ABCD是菱形，且∠BAD=60∘，
∴ △BAD是等边三角形，
∴ BQ⊥AD.
又∵ PQ⊥平面ABCD，
∴ PQ⊥AD.
过M作PQ的平行线交QC于O点，
∵ PM=13PC，
∴ MC=23PC，
∴ MO=23PQ.
∵ PA=PD=AD=2，
∴ PQ=BQ=3，MO=23PQ=233，
∴ 直角梯形DQBC的面积为
12(QD+BC)⋅BQ=12(1+2)⋅3=332，
∴ 四棱锥的体积为VM−BCDQ =13SBCDQ ⋅MO=1．
【考点】
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：∵ PA=PD，Q为AD的中点，
∴ PQ⊥AD.
又∵ 平面PAD ⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊂平面PAD，
∴ PQ⊥ 平面ABCD．
(2)解：连接BD，
∵ 底面ABCD是菱形，且∠BAD=60∘，
∴ △BAD是等边三角形，
∴ BQ⊥AD.
又∵ PQ⊥平面ABCD，
∴ PQ⊥AD.
过M作PQ的平行线交QC于O点，
∵ PM=13PC，
∴ MC=23PC，
∴ MO=23PQ.
∵ PA=PD=AD=2，
∴ PQ=BQ=3，MO=23PQ=233，
∴ 直角梯形DQBC的面积为
12(QD+BC)⋅BQ=12(1+2)⋅3=332，
∴ 四棱锥的体积为VM−BCDQ =13SBCDQ ⋅MO=1．
【答案】
解：1由题意，得f(x)=x2−2x+2，x∈[t, t+1].
易知对称轴x=1.
因为t+t+12=t+12，
①当t+12≤1，即t≤12时，最大值f(t)=t2−2t+2；
②当t+12>1，即t>12时，最大值f(t+1)=t2+1；
综合可知，当t≤12时，最大值为t2−2t+2；
当t>12时，最大值为t2+1.
2因为函数f(x)图象的开口方向向上，且对称轴方程为x=1，
所以函数f(x)在区间[2, 4]上单调递增.
又因为函y=fx在区间2,4上的最大值为9，最小值为1，
所以f2=b+1=1，f4=8a+b+1=9，
解得a=1，b=0.
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
（1）对称轴定，区间动，分类讨论，利用对称轴与区间的位置关系，解出函数在区间的最值；
（2）由函数解析式可知函数在区间[2, 4]上单调递增，可解出a，b的值．
【解答】
解：1由题意，得f(x)=x2−2x+2，x∈[t, t+1].
易知对称轴x=1.
因为t+t+12=t+12，
①当t+12≤1，即t≤12时，最大值f(t)=t2−2t+2；
②当t+12>1，即t>12时，最大值f(t+1)=t2+1；
综合可知，当t≤12时，最大值为t2−2t+2；
当t>12时，最大值为t2+1.
2因为函数f(x)图象的开口方向向上，且对称轴方程为x=1，
所以函数f(x)在区间[2, 4]上单调递增.
又因为函y=fx在区间2,4上的最大值为9，最小值为1，
所以f2=b+1=1，f4=8a+b+1=9，
解得a=1，b=0.
【答案】
解：1∵ f(x)是定义在R上的奇函数，
当x>0时，f(x)=x2−x−1，
∴ f(0)=0；
当x<0时，−x>0，
∴ f(−x)=x2+x−1=−f(x)，
∴ f(x)=−x2−x+1，
∴ f(x)= −x2−x+1，x<0，0,x=0，x2−x−1，x>0.
2当x>0时，f(x)=x2−x−1<1，
解得0当x=0时，f(0)=0<1，符合题意；
当x<0时，f(x)=−x2−x+1<1，
解得x<−1.
综上所述，不等式f(x)<1的解集为(−∞, −1)∪[0, 2).
【考点】
函数奇偶性的性质
函数解析式的求解及常用方法
一元二次不等式的解法
【解析】
（1）由f(x)是定义在R上的奇函数，可得：f(0)=0；当x<0时，−x>0，结合x>0时，f(x)=x2−x−1，及f(−x)=−f(x)可得x<0时，函数的解析式，最后综合讨论结果，可得函数f(x)的解析式；
（2）分当x>0时，当x=0时，和当x<0时三种情况，求解不等式f(x)<1，最后综合讨论结果，可得不等式f(x)<1的解集．
【解答】
解：1∵ f(x)是定义在R上的奇函数，
当x>0时，f(x)=x2−x−1，
∴ f(0)=0；
当x<0时，−x>0，
∴ f(−x)=x2+x−1=−f(x)，
∴ f(x)=−x2−x+1，
∴ f(x)= −x2−x+1，x<0，0,x=0，x2−x−1，x>0.
2当x>0时，f(x)=x2−x−1<1，
解得0当x=0时，f(0)=0<1，符合题意；
当x<0时，f(x)=−x2−x+1<1，
解得x<−1.
综上所述，不等式f(x)<1的解集为(−∞, −1)∪[0, 2).
【答案】
(1)证明：因为点E，G分别在线段SA，AD上，
且SE=AE，AG=GD，
所以EG//SD.
又EG⊄平面SCD，SD⊂平面SCD，
所以EG//平面SCD.
因为∠ADC=∠BCD=90∘，
所以AD//BC.
因为GD=FC=1，
所以四边形GDCF为平行四边形，
所以GF//CD.
又GF⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
所以GF//平面SCD.
因为GF⊂面EFG，EG⊂平面EFG，EG∩FG=G，
所以平面SCD//平面EFG.
(2)由已知可得，S△ADF=2，
所以VA−EDF=VE−ADF=13S△ADF ⋅ℎ
=13×12×2×2=23.
【考点】
平面与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
解：（1）因为点E．G分别在线段SA,AD上，且SE=AE,AG=GD故EG//SD，又EG∉平面SCD，SD∈平面SCD， 故EG//平面SCD；因为∠ADC=∠BCD=90∘．故AD//BC，因为GD=FC=1,故四边形GDCF为平行四边形，故GF//CD;又GF∉平面SCD,CD∈平面SCD．故GF//平面SCD因为GF∈面EFG,EG⊊平面EFG,EG∩FG=G,所以平面SCD//平面EFG
解：（2）由已知可得，S△ABP=2由VA−EDF=VE−ADF=13S△ADF⋅ℎ=13×12×2×2=23.
【解答】
(1)证明：因为点E，G分别在线段SA，AD上，
且SE=AE，AG=GD，
所以EG//SD.
又EG⊄平面SCD，SD⊂平面SCD，
所以EG//平面SCD.
因为∠ADC=∠BCD=90∘，
所以AD//BC.
因为GD=FC=1，
所以四边形GDCF为平行四边形，
所以GF//CD.
又GF⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
所以GF//平面SCD.
因为GF⊂面EFG，EG⊂平面EFG，EG∩FG=G，
所以平面SCD//平面EFG.
(2)由已知可得，S△ADF=2，
所以VA−EDF=VE−ADF=13S△ADF ⋅ℎ
=13×12×2×2=23.
【答案】
解：(1)根据题意可知1−x1+x>0，解得−1∴ 函数fx的定义域为−1,1．
f−x=1−4−x1+4−x+lg31+x1−x=4x(1−4−x)4x(1+4−x)+lg31−x1+x−1=4x−14x+1−lg31−x1+x=−fx，
∵ 0因此，flg20212020+flg202112020
=flg20212020+f−lg20212020=0．
(2)由于不等式fx>4x+m在区−12,12上恒成立，
即不等式m令gx=fx−4x，
则m易知函数y=1−4x1+4x=2−1+4x1+4x=−1+21+4x为−12,12上的减函数，
对于函数y=lg31−x1+x=lg32−1+x1+x=lg3−1+21+x，
由于内层函数u=21+x−1为−12,12上的减函数，外层函数y=lg3u为增函数，
所以，函数y=lg3−1+21+x为−12,12上的减函数，
所以，函数gx=fx−4x为−12,12上的减函数，
所以，当x∈−12,12时，gxmin=g12=1−21+2+lg31−121+12−2=−103，
∴ m<−103．
因此，实数m的取值范围是−∞,−103．
【考点】
对数的运算性质
函数奇偶性的判断
函数奇偶性的性质
复合函数的单调性
函数恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)根据题意可知1−x1+x>0，解得−1∴ 函数fx的定义域为−1,1．
f−x=1−4−x1+4−x+lg31+x1−x=4x(1−4−x)4x(1+4−x)+lg31−x1+x−1=4x−14x+1−lg31−x1+x=−fx，
∵ 0因此，flg20212020+flg202112020
=flg20212020+f−lg20212020=0．
(2)由于不等式fx>4x+m在区−12,12上恒成立，
即不等式m令gx=fx−4x，
则m易知函数y=1−4x1+4x=2−1+4x1+4x=−1+21+4x为−12,12上的减函数，
对于函数y=lg31−x1+x=lg32−1+x1+x=lg3−1+21+x，
由于内层函数u=21+x−1为−12,12上的减函数，外层函数y=lg3u为增函数，
所以，函数y=lg3−1+21+x为−12,12上的减函数，
所以，函数gx=fx−4x为−12,12上的减函数，
所以，当x∈−12,12时，gxmin=g12=1−21+2+lg31−121+12−2=−103，
∴ m<−103．
因此，实数m的取值范围是−∞,−103．
1. 若集合A=x|−1≤x≤2，B=−1,0,1,2，则A∩B=( )
A.x|−1≤x≤2B.−1,0,1,2C.−1,2D.0,1
2. 已知a=lg1516，b=lg13π3，c=3−13，则a，b，c的大小关系是( )
A.b
3. 函数fx=x−6+lnx的零点所在区间应是（ ）
A.2,3B.3,4C.4,5D.5,6
4. 下列函数中，与函数y=x+1是同一个函数的是( )
A.y=(x+1)2B.y=x2x+1C.y=3x3+1D.y=x2+1
5. 已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为( )
A.833πcm3B.433πcm3C.432πcm2D.832πcm3
6. 如图，边长为1的正方形O′A′B′C′是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则图形OABC的面积是( )
A.24B.22C. 2 D. 22
7. 设α，β是互不重合的平面，l，m，n是互不重合的直线，下列命题正确的是( )
A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B.若l⊥n，m⊥n，则l//m
C.若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n
D.若l⊥α，l//β，则α⊥β
8. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
9. 求函数fx=x2−3x−4单调递增区间( )
A.4,+∞B.−∞,32C.−∞,4D.32,+∞
10. 若函数(2−a)x−a2(x<1)， lgax(x≥1)，在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.(1, 2)B.(1,43]C.[43,2)D.(0, 1)
11. 已知函数fx=−x2−4x+1,x≤0,2−2−x,x>0,若关于x的方程[f(x)−2][f(x)−m]=0恰有5个不同的实根，则m的取值范围为( )
A.1,2B.[2,5)∪{1}C.1,5D.2,5∪1
12. 已知函数f(x)=|lg2x|,0
二、填空题
在三棱锥A−SBC中， AB=10，∠ASC=∠BSC=π4， AC=AS，BC=BS，若该三棱锥的体积为153，则棱锥S−ABC外接球的表面积为________.
三、解答题
已知集合A={x|x≤−3或x≥2}，B={x|1
(2)若B∩C=C，求实数m的取值范围．
如图在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘．平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，M是棱PC上一点，且PM=13PC．
(1)证明：PQ⊥ 平面ABCD；
(2)求四棱锥M−BCDQ的体积．
已知函数f(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)．
1若a=b=1，求f(x)在[t, t+1]上的最大值；
2若f(x)在区间[2, 4]上的最大值为9，且最小值为1，求实数a，b的值．
已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2−x−1．
1求函数f(x)的解析式；
2求不等式f(x)<1的解集．
在四棱锥S−ABCD中， SA⊥AD，平面SAD⊥平面ABCD，∠ADC=∠BCD=90∘，AD=DC=SA=12BC=2，点E，G分别是线段SA，AD的中点，F为棱BC上一点，且CF=1.
(1)证明：平面SCD//平面EFC；
(2)求三棱锥A−EDF的体积．
已知函数fx=1−4x1+4x+lg31−x1+x，
(1)求f(lg20212020)+f(lg202112020)的值；
(2)若对于区间−12,12内的每一个x，都有fx>4x+m恒成立，求实数m的范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一（上）12月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
进行交集的运算即可．
【解答】
解：∵ A=x|−1≤x≤2，B={−1,0,1,2}，
∴ A∩B={−1,0,1,2}.
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
利用指数对数函数的单调性分别与0，1比较，即可得出结论．
【解答】
解：∵ a>lg1515=1，b
3.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
由f(x)=x−6+lnx，计算可知f(5)，f(4)，判断正负，则由零点判定定理可知答案.
【解答】
解：由题意，f(x)=x−6+lnx，
计算可知f(5)=5−6+ln5=ln5−1>0，
f(4)=4−6+ln4=ln4−2=ln4e2<0，
则由零点判定定理可知f(x)=x−6+lnx的零点在区间(4,5)内.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断是同一函数．
【解答】
解：A，函数y=(x+1)2=x+1的定义域为{x|x≥−1}，
和y=x+1(x∈R)的定义域不同，不是同一函数，故错误；
B，函数y=x2x+1=x+1的定义域为{x|x≠0}，
和y=x+1的定义域不同，不是同一函数，故错误；
C，函数y=3x3+1=x+1的定义域为R，
和y=x+1的定义域相同，对应法则也相同，
是同一函数，故正确；
D，函数y=x2+1=|x|+1的定义域为R，
和y=x+1的定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数，故错误．
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
【解答】
解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，
∵ 侧面展开图是一个半圆，
∴ πl=2πr，
解得l=2r.
∵ 圆锥的表面积为12π，
∴ πr2+πrl=3πr2=12π，
∴ r=2，
∴ 圆锥的高为ℎ=l2−r2=42−22=23，
∴ 圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×22×23=833(cm3)．
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 正方形O′A′B′C′的边长为1，是OABC的直观图，
∴ OB=2，对应原图形平行四边形的高为22，
∴ 原图形OABC的面积为1×22=22.
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据空间中直线与平面之间的位置关系、空间中直线与直线的位置关系以及命题的真假判断来解即可.
【解答】
解：A，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则当直线m与n不平行时， l⊥α；
当m//n时，则l与α可能平行、相交或l⊂α，故此项错误；
B，若l⊥n，m⊥n，则在空间中l与m可能平行、相交或异面，故此项错误；
C，若m//α，n//β，α⊥β，则直线m与n可能平行、相交或异面，故此项错误；
D，若l⊥α，l//β，则存在l1⊂β且l1⊥α，则α⊥β，故此项正确.
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
棱锥的结构特征
由三视图还原实物图
平面与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定
【解析】
画出满足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥正方形ABCD，进而可得可得△PAB和△PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了两个直角三角形△PCB和△PCD，由此可得直角三角形的个数．
【解答】
解：满足条件的四棱锥的底面为正方形，且一条侧棱与底面垂直，
画出满足条件的直观图如图四棱锥P−ABCD所示.
不妨令PA⊥正方形ABCD，
则PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，
故△PAB和△PAD都是直角三角形．
∵ CB⊥AB，CD⊥AD，
∴ CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA，AB，
CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA，AD.
由线面垂直的判定定理，得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，
∴ CB⊥PB，CD⊥PD，
∴ △PCB和△PCD都是直角三角形．
∴ 直角三角形有△PAB，△PAD，△PBC，△PCD共4个．
故选D．
9.
【答案】
A
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
本题主要考查复合函数的单调区间，属于基础题.利用复合函数单调性的规律，同增异减，并结合二次函数的性质以及二次根式的性质，即可求解.
【解答】
解：∵ x2−3x−4≥0，
即(x−4)(x+1)≥0，
解得x≥4，x≤−1，
∴ 函数fx的定义域为{x|x≥4或x≤−1}.
又∵ 函数y=x2−3x−4在4,+∞上单调递增，
∴ fx=x2−3x−4的单调递增区间为4,+∞.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
根据函数f(x)=(2−a)x−a2，(x<1)lgax (x≥1)在(−∞, +∞)上单调递增，可得a>12−a>02−a−a2≤lga1=0，由此求得a的范围．
【解答】
解：∵ 函数f(x)在R上单调递增，
∴ a>1,2−a>0,2−a−a2≤lga1=0,
解得43≤a<2.
故选C.
11.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
根的存在性及根的个数判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由[f(x)−2][f(x)−m]=0，
得fx=2或fx=m，
作出y=fx的图象，如图所示，
由图可知，
方程fx=2有3个实根，
故方程fx=m有2个实根，
故由图象可得m的取值范围为[2,5)∪{1}.
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
【解析】
由所给的函数画出大致图象，数形结合可得ab＝1，c∈(4, 6)，进而求出abc 的取值范围．
【解答】
解：如图所示：
∵ f(a)=f(b)=f(c)，
∴ f(a)=f(b)=f(c)∈(0, 2].
∵ a
∴ ab=1，
∴ 4
故选C．
二、填空题
【答案】
12π
【考点】
球内接多面体
棱锥的结构特征
【解析】
【解答】
解：如图，设SC的中点为O，AB的中点为D，
连接OA，OB，OD.
因为∠ASC=∠BSC=π4， AC=AS，BC=BS，
所以∠SAC=∠SBC=90∘，
所以OA=OB=OC=OS，
所以O为棱锥S−ABC外接球的球心.
设半径为R，
又OD⊥AB，且AB=10，
所以AD=DB=102 ，OD=R2−52，
则S△OAB=12⋅AB⋅OD=1210R2−25.
又由SC⊥OA， SC⊥OB且OA∩OB=O，
所以SC⊥平面OAB，
所以VA−SBC=13⋅1210R2−25⋅2R=153，
解得R=3，
所以外接球的表面积S=4π32=12π.
故答案为：12π.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ A={x|x≤−3或x≥2}，
B={x|1
(2)∵ B∩C=C，∴ C⊆B，
①当C=⌀时，∴ m−1>2m⇒m<−1；
②当C≠⌀时，∴ m−1≤2m，m−1>1，2m<5，⇒2
【考点】
交集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
（1）根据定义，进行集合的交、并、补集运算，可得答案；
（2）分集合C=⌀和C≠⌀两种情况讨论m满足的条件，再综合．
【解答】
解：(1)∵ A={x|x≤−3或x≥2}，
B={x|1
(2)∵ B∩C=C，∴ C⊆B，
①当C=⌀时，∴ m−1>2m⇒m<−1；
②当C≠⌀时，∴ m−1≤2m，m−1>1，2m<5，⇒2
【答案】
(1)证明：∵ PA=PD，Q为AD的中点，
∴ PQ⊥AD.
又∵ 平面PAD ⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊂平面PAD，
∴ PQ⊥ 平面ABCD．
(2)解：连接BD，
∵ 底面ABCD是菱形，且∠BAD=60∘，
∴ △BAD是等边三角形，
∴ BQ⊥AD.
又∵ PQ⊥平面ABCD，
∴ PQ⊥AD.
过M作PQ的平行线交QC于O点，
∵ PM=13PC，
∴ MC=23PC，
∴ MO=23PQ.
∵ PA=PD=AD=2，
∴ PQ=BQ=3，MO=23PQ=233，
∴ 直角梯形DQBC的面积为
12(QD+BC)⋅BQ=12(1+2)⋅3=332，
∴ 四棱锥的体积为VM−BCDQ =13SBCDQ ⋅MO=1．
【考点】
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：∵ PA=PD，Q为AD的中点，
∴ PQ⊥AD.
又∵ 平面PAD ⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊂平面PAD，
∴ PQ⊥ 平面ABCD．
(2)解：连接BD，
∵ 底面ABCD是菱形，且∠BAD=60∘，
∴ △BAD是等边三角形，
∴ BQ⊥AD.
又∵ PQ⊥平面ABCD，
∴ PQ⊥AD.
过M作PQ的平行线交QC于O点，
∵ PM=13PC，
∴ MC=23PC，
∴ MO=23PQ.
∵ PA=PD=AD=2，
∴ PQ=BQ=3，MO=23PQ=233，
∴ 直角梯形DQBC的面积为
12(QD+BC)⋅BQ=12(1+2)⋅3=332，
∴ 四棱锥的体积为VM−BCDQ =13SBCDQ ⋅MO=1．
【答案】
解：1由题意，得f(x)=x2−2x+2，x∈[t, t+1].
易知对称轴x=1.
因为t+t+12=t+12，
①当t+12≤1，即t≤12时，最大值f(t)=t2−2t+2；
②当t+12>1，即t>12时，最大值f(t+1)=t2+1；
综合可知，当t≤12时，最大值为t2−2t+2；
当t>12时，最大值为t2+1.
2因为函数f(x)图象的开口方向向上，且对称轴方程为x=1，
所以函数f(x)在区间[2, 4]上单调递增.
又因为函y=fx在区间2,4上的最大值为9，最小值为1，
所以f2=b+1=1，f4=8a+b+1=9，
解得a=1，b=0.
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
（1）对称轴定，区间动，分类讨论，利用对称轴与区间的位置关系，解出函数在区间的最值；
（2）由函数解析式可知函数在区间[2, 4]上单调递增，可解出a，b的值．
【解答】
解：1由题意，得f(x)=x2−2x+2，x∈[t, t+1].
易知对称轴x=1.
因为t+t+12=t+12，
①当t+12≤1，即t≤12时，最大值f(t)=t2−2t+2；
②当t+12>1，即t>12时，最大值f(t+1)=t2+1；
综合可知，当t≤12时，最大值为t2−2t+2；
当t>12时，最大值为t2+1.
2因为函数f(x)图象的开口方向向上，且对称轴方程为x=1，
所以函数f(x)在区间[2, 4]上单调递增.
又因为函y=fx在区间2,4上的最大值为9，最小值为1，
所以f2=b+1=1，f4=8a+b+1=9，
解得a=1，b=0.
【答案】
解：1∵ f(x)是定义在R上的奇函数，
当x>0时，f(x)=x2−x−1，
∴ f(0)=0；
当x<0时，−x>0，
∴ f(−x)=x2+x−1=−f(x)，
∴ f(x)=−x2−x+1，
∴ f(x)= −x2−x+1，x<0，0,x=0，x2−x−1，x>0.
2当x>0时，f(x)=x2−x−1<1，
解得0
当x<0时，f(x)=−x2−x+1<1，
解得x<−1.
综上所述，不等式f(x)<1的解集为(−∞, −1)∪[0, 2).
【考点】
函数奇偶性的性质
函数解析式的求解及常用方法
一元二次不等式的解法
【解析】
（1）由f(x)是定义在R上的奇函数，可得：f(0)=0；当x<0时，−x>0，结合x>0时，f(x)=x2−x−1，及f(−x)=−f(x)可得x<0时，函数的解析式，最后综合讨论结果，可得函数f(x)的解析式；
（2）分当x>0时，当x=0时，和当x<0时三种情况，求解不等式f(x)<1，最后综合讨论结果，可得不等式f(x)<1的解集．
【解答】
解：1∵ f(x)是定义在R上的奇函数，
当x>0时，f(x)=x2−x−1，
∴ f(0)=0；
当x<0时，−x>0，
∴ f(−x)=x2+x−1=−f(x)，
∴ f(x)=−x2−x+1，
∴ f(x)= −x2−x+1，x<0，0,x=0，x2−x−1，x>0.
2当x>0时，f(x)=x2−x−1<1，
解得0
当x<0时，f(x)=−x2−x+1<1，
解得x<−1.
综上所述，不等式f(x)<1的解集为(−∞, −1)∪[0, 2).
【答案】
(1)证明：因为点E，G分别在线段SA，AD上，
且SE=AE，AG=GD，
所以EG//SD.
又EG⊄平面SCD，SD⊂平面SCD，
所以EG//平面SCD.
因为∠ADC=∠BCD=90∘，
所以AD//BC.
因为GD=FC=1，
所以四边形GDCF为平行四边形，
所以GF//CD.
又GF⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
所以GF//平面SCD.
因为GF⊂面EFG，EG⊂平面EFG，EG∩FG=G，
所以平面SCD//平面EFG.
(2)由已知可得，S△ADF=2，
所以VA−EDF=VE−ADF=13S△ADF ⋅ℎ
=13×12×2×2=23.
【考点】
平面与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
解：（1）因为点E．G分别在线段SA,AD上，且SE=AE,AG=GD故EG//SD，又EG∉平面SCD，SD∈平面SCD， 故EG//平面SCD；因为∠ADC=∠BCD=90∘．故AD//BC，因为GD=FC=1,故四边形GDCF为平行四边形，故GF//CD;又GF∉平面SCD,CD∈平面SCD．故GF//平面SCD因为GF∈面EFG,EG⊊平面EFG,EG∩FG=G,所以平面SCD//平面EFG
解：（2）由已知可得，S△ABP=2由VA−EDF=VE−ADF=13S△ADF⋅ℎ=13×12×2×2=23.
【解答】
(1)证明：因为点E，G分别在线段SA，AD上，
且SE=AE，AG=GD，
所以EG//SD.
又EG⊄平面SCD，SD⊂平面SCD，
所以EG//平面SCD.
因为∠ADC=∠BCD=90∘，
所以AD//BC.
因为GD=FC=1，
所以四边形GDCF为平行四边形，
所以GF//CD.
又GF⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
所以GF//平面SCD.
因为GF⊂面EFG，EG⊂平面EFG，EG∩FG=G，
所以平面SCD//平面EFG.
(2)由已知可得，S△ADF=2，
所以VA−EDF=VE−ADF=13S△ADF ⋅ℎ
=13×12×2×2=23.
【答案】
解：(1)根据题意可知1−x1+x>0，解得−1
f−x=1−4−x1+4−x+lg31+x1−x=4x(1−4−x)4x(1+4−x)+lg31−x1+x−1=4x−14x+1−lg31−x1+x=−fx，
∵ 0
=flg20212020+f−lg20212020=0．
(2)由于不等式fx>4x+m在区−12,12上恒成立，
即不等式m
则m
对于函数y=lg31−x1+x=lg32−1+x1+x=lg3−1+21+x，
由于内层函数u=21+x−1为−12,12上的减函数，外层函数y=lg3u为增函数，
所以，函数y=lg3−1+21+x为−12,12上的减函数，
所以，函数gx=fx−4x为−12,12上的减函数，
所以，当x∈−12,12时，gxmin=g12=1−21+2+lg31−121+12−2=−103，
∴ m<−103．
因此，实数m的取值范围是−∞,−103．
【考点】
对数的运算性质
函数奇偶性的判断
函数奇偶性的性质
复合函数的单调性
函数恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)根据题意可知1−x1+x>0，解得−1
f−x=1−4−x1+4−x+lg31+x1−x=4x(1−4−x)4x(1+4−x)+lg31−x1+x−1=4x−14x+1−lg31−x1+x=−fx，
∵ 0
=flg20212020+f−lg20212020=0．
(2)由于不等式fx>4x+m在区−12,12上恒成立，
即不等式m
则m
对于函数y=lg31−x1+x=lg32−1+x1+x=lg3−1+21+x，
由于内层函数u=21+x−1为−12,12上的减函数，外层函数y=lg3u为增函数，
所以，函数y=lg3−1+21+x为−12,12上的减函数，
所以，函数gx=fx−4x为−12,12上的减函数，
所以，当x∈−12,12时，gxmin=g12=1−21+2+lg31−121+12−2=−103，
∴ m<−103．
因此，实数m的取值范围是−∞,−103．
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