2020-2021学年江西省高一（上）10月月考数学试卷北师大版

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这是一份2020-2021学年江西省高一（上）10月月考数学试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={−2，0，1，3}，B={x|−52A.4B.8C.16D.32

2. 给定映射f:x→y，其中x∈{a,b,c} ，y∈{1,2}，则fa=1时不同的映射f的个数是( )
A.2B.3C.4D.5

3. 在下列四组函数中， fx与gx表示同一函数的是( )
A.fx=x−1，gx=x2−1x+1
B.fx=|x+1|，gx=x+1，x≥−1，−x−1，x<−1
C.fx=x2−9，gx=x−3⋅x+3
D.fx=x，gx=x2

4. 满足关系1⊆B⊆1,2,3,4的集合B的个数( )
A.5个B.6个C.7个D.8个

5. 已知函数fx=1x+1，x<1，x−1，x>1，则f2等于( )
A.0B.13C.1D.2

6. 已知函数f2x+1 的定义域为0,2，则y=fx的定义域为( )
A.1,5B.−12,12C.0,2D.−1,1

7. 函数f(x)=2x−x2，(0A.RB.[−9, +∞)C.[−8, 1]D.[−9, 1]

8. 定义差集A−B={x|x∈A, 且x∉B}，现有三个集合A、B、C分别用圆表示，则集合C−(A−B)可表示下列图中阴影部分的为( )
A.B.C.D.

9. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数fx=ex1−x2e=2.71828⋯的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.

10. 函数y=x−5x−a−2在(−1, +∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A.a=−3B.a<3C.a≤−3D.a≥−3

11. 已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(−∞,0]上单调递减，则满足f(3x+1)A.(−12,−16)B.[−12,−16) C.(−13,−16)D. [−13,−16)

12. 非空集合A中的元素个数用(A)表示，定义(A−B)=(A)−(B)，(A)≥(B)，(B)−(A)，(A)<(B)．若A={−1,0}，B={x||x2−2x−3|=a}，且(A−B)≤1，则实数a的取值范围为( )
A.{a|a≥4}B.{a|a>4或a=0}C.{a|0≤a≤4}D.{a|a≥4或a=0}
二、填空题

幂函数fx=2m2+mxm在[0,+∞)上为单调递增的，则m=__________.

若函数f(x)满足 f(3x+2)=9x+8，则f(x)=________.

若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”．对于集合A=−1,12,1，B=x|ax2=1,a≥0，若两个集合构成“全食”或“偏食”，则a的值为________．

设集合A={x|0≤x<1}，B={x|1≤x≤2} ，函数fx=2x， x∈A,4−2x， x∈B， x0∈A且ffx0∈A，则x0的取值范围是________.
三、解答题

已知全集U=R，集合A=x|22}，C=x|a−1≤x<2a−1,a∈R，
(1)求A∩B；

(2)若C⊆∁UA∪B，求实数a的取值范围．

已知函数fx+1定义域为−3,1，函数gx=f2x−1+f2−x.
(1)求函数gx的定义域；

(2)若fx是奇函数，且在定义域内单调递减，求不等式gx≤0的解集．

已知集合A=x|x2−5x+6=0，B=x|x2+ax+6=0.
(1)若B=⌀，求a的取值范围；

(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．

已知函数fx=2x2x2+1．
(1)求f2+f12，f3+f13的值；

(2)求证：fx+f1x是定值；

(3)求f1+f2+f12+f3+f13+⋯ f2019+f12019的值．

已知函数y=fx的定义域为R．且满足：①f1=3．②对于任意的u， v∈R，总有fu+v=fu+fv−1．③对于任意的u，v∈R，u−v≠0，u−vfu−fv>0.
请分析解决以下问题：
(1)求f0及f−1的值；

(2)求证：函数y=fx−1为奇函数；

(3)若f12m2−2fm−12>−2，求实数m的取值范围．

对于函数fx=ax2+1+bx+b−1a≠0，若存在实数x0，使fx0=mx0成立，则称x0为fx关于参数m的不动点．
(1)当a=1，b=−2时，求fx关于参数1的不动点；

(2)若对于任意实数b，函数fx恒有关于参数1两个不动点，求a的取值范围；

(3)当a=1，b=2时，函数fx在x∈(0,2]上存在两个关于参数m的不动点，试求参数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省高一（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
子集与真子集的个数问题
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为A∩B={−2，0，1}，
所以集合A∩B子集的个数为23=8.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
映射
【解析】
给每一个原象找到对应的象，即为一个映射，通过列举可求得当a的象为1 的映射个数.
【解答】
解：根据映射的概念得已知a的象为1时，
若b的象为1时，则c的象为1或2；
若b的象为2时，则c的象为1或2；
故则f(a)=1时不同的映射个数是4个.
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
利用函数的定义域，对应关系是否相同判定是否为同一函数.
【解答】
解：对于A，f(x) 定义域为R，g(x)定义域为x|x≠−1，故不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域为R，且g(x)=x+1，x≥−1，−x−1，x<−1=x+1，表示同一函数；
对于C，由x2−9≥0，得x∈(−∞,−3]∪[3,+∞)，
而g(x)需满足x−3≥0，x+3≥0，解得x≥3，可得两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于D，g(x)=x2=x，故不是同一函数.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
集合的包含关系判断及应用
子集与真子集
【解析】
利用题设B中肯定含元素1，分B中元素个数讨论得解.
【解答】
解：由题设得集合B必须包含元素1，
则集合B可能是1，1,2，1,3，1,4，1,2,3，1,2,4，1,3,4，1,2,3,4，共8个.
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
【解析】
因为2>1，所以套x>1时的解析式，求得f(2)的值.
【解答】
解：∵ 2>1，
∴ f(2)=2−1=1．
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据题意可知0≤x≤2，求2x+1的范围，即可得所求函数的定义域．
【解答】
解：函数f2x+1的定义域为0,2，
则0≤x≤2 ，
∴1≤2x+1≤5，
∴ 函数y=fx的定义域是1,5.
故选A .
7.
【答案】
C
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
分两段分别求出二次函数的对称轴，求出两段函数的最大值，最小值，选出最大值和最小值，即得到函数的值域．
【解答】
解：当0f(x)=2x−x2，其对称轴为x=1，
所以当x=1时函数有最大值为1，当x=3时函数有最小值−3.
当−2≤x≤0时，
f(x)=x2+6x，其对称轴为x=−3，
所以当x=−2时函数有最小值为−8，当x=0时函数有最大值为0.
综上所述，f(x)的最大值为1，最小值为−8，
所以函数f(x)的值域是[−8, 1].
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
利用题中对A−B的定义知，首先得出A−B，然后再由差集定义得出C−(A−B)．
【解答】
解：∵ A−B={x|x∈A, 且x∉B}，
即A−B是集合A中的元素去掉A∩B ，记作集合D，
如图所示，
∴ 集合C−(A−B)就是C中的元素去掉集合C∩D.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
由函数的奇偶性，以及当x∈(0,1)时，fx>0；当x∈1,+∞时，fx<0，结合选项只有C符合.
【解答】
解：fx的定义域为−∞,−1∪−1,1∪1,+∞，
∵ f−x=−ex1−x2=−fx，
∴ f(x)为奇函数，
又当x∈(0,1)时，1−x2>0，fx>0；
当x∈1,+∞时，1−x2<0，fx<0，
结合选项只有C符合.
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
函数单调性的性质
函数的单调性及单调区间
【解析】
由题意可得，当x>−1时，y′=3−a(x−a−2)2≥0，可得3−a≥0a+2≤−1，由此求得a的范围．
【解答】
解：y=x−a−2+a−3x−a−2=1+a−3x−a−2
∵当a<3时，函数y在a+2，+∞上单调递增，
又函数y在−1,+∞上单调递增，
∴ a+2≤−1，即a≤−3，
∴ a的取值范围是：(−∞,−3].
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
函数的对称性
函数单调性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x)的图象关于y轴对称，且在区间 (−∞,0] 单调递减，则 f(x)在[0,+∞)单调递增；
再由f(3x+1)故选A.
12.
【答案】
D
【考点】
根的存在性及根的个数判断
集合中元素个数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为A={−1,0}，所以集合A中有2个元素，即(A)=2．
因为B={x||x2−2x−3|=a}，
所以(B)就是函数f(x)=|x2−2x−3|的图象与直线y=a的交点个数，
作出函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，(B)=0或(B)=2或(B)=3或(B)=4．
①当(A)≥(B)时，又(A−B)≤1，则(B)≥(A)−1，
所以(B)≥1，又(A)≥(B)，所以1≤(B)≤2，所以(B)=2，
由图可知，a=0或a>4；
②当(A)<(B)时，又(A−B)≤1，则(B)≤(A)+1，即(B)≤3，
又(A)<(B)，所以2<(B)≤3，所以(B)=3，
由图可知，a=4．
综上所述，a=0或a≥4．
故选D．
二、填空题
【答案】
12
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
根据幂函数的图象与性质，列方程求出m的值，再验证是否满足题意即可．
【解答】
解：由幂函数f(x)=(2m2+m)xm在[0,+∞)上为单调递增的，
所以2m2+m=1，m>0，
解得m=12．
故答案为：12．
【答案】
3x+2
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设t=3x+2，则x=t−23，
∴ 函数解析式转化为f(t)=3(t−2)+8=3t+2 ，
∴ 函数f(x)的解析式为f(x)=3x+2．
故答案为：3x+2.
【答案】
0或1或4
【考点】
集合新定义问题
子集与真子集
集合的确定性、互异性、无序性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ B={x|ax2=1, a≥0}，
∴ 若a=0，则B=⌀，满足B⊊A，此时A与B构成“全食”．
若a>0，则B={x|x2=1a, a≥0}={1a，−1a}，
若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，
则1a=1或1a=12，
解得a=1或a=4．
综上：a=1或a=4或a=0．
故a的取值集合为{0, 1, 4}．
故答案为：0或1或4.
【答案】
[0,14)∪(34,1)
【考点】
分段函数的应用
元素与集合关系的判断
【解析】
利用当x0∈A，且f[f(x0)]∈A，列出不等式，解出x0的取值范围．
【解答】
解：∵0≤x0<1，
∴f(x0)=2x0∈[0, 2)，
当2x0∈[0,1)，即x0∈[0,12)时，
f[f(x0)]=4x0，
∵f[f(x0)]∈A，
∴0≤4x0<1，
∴0≤x0<14；
当2x0∈[1,2)，即x0∈[12,1)时，
∴f[f(x0)]=f(2x0)=4−4x0.
∵f[f(x0)]∈A，
∴0≤4−4x0<1 ，
∴34∵12≤x0<1，
∴34故答案为：[0,14)∪(34,1).
三、解答题
【答案】
解：(1)A=x|22}，
A∩B=x|2(2) A∪B={x|x<−4或x>2}，∁UA∪B=x|−4≤x≤2，
当a≤0时， C=⌀，满足C⊆∁UA∪B，
当C≠⌀时，只需 a>0，a−1≥−4，2a−1≤2，
即0综上可知a∈(−∞，32]．
【考点】
集合关系中的参数取值问题
交集及其运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)A=x|22}，
A∩B=x|2(2) A∪B={x|x<−4或x>2}，∁UA∪B=x|−4≤x≤2，
当a≤0时， C=⌀，满足C⊆∁UA∪B，
当C≠⌀时，只需 a>0，a−1≥−4，2a−1≤2，
即0综上可知a∈(−∞，32]．
【答案】
解：(1)∵ fx+1的定义域为−3,1，
∴ fx的定义域为−2,2，
∴ f2x−1的定义域为−12,32，f2−x的定义域为0,4，
∴ gx=f2x−1+f2−x的定义域为0,32．
(2) ∵fx是奇函数，且在定义域内单调递减，
∴ gx=f2x−1+f2−x≤0⇒f2x−1≤−f2−x=fx−2，
∴ 2x−1≥x−2，−2<2x−1<2，−2解得0故不等式gx≤0的解集为0,32．
【考点】
函数的单调性及单调区间
函数的定义域及其求法
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ fx+1的定义域为−3,1，
∴ fx的定义域为−2,2，
∴ f2x−1的定义域为−12,32，f2−x的定义域为0,4，
∴ gx=f2x−1+f2−x的定义域为0,32．
(2) ∵fx是奇函数，且在定义域内单调递减，
∴ gx=f2x−1+f2−x≤0⇒f2x−1≤−f2−x=fx−2，
∴ 2x−1≥x−2，−2<2x−1<2，−2解得0故不等式gx≤0的解集为0,32．
【答案】
解：(1)若B=⌀，则Δ=a2−4×6<0，
解得−26(2)由集合A=x|x2−5x+6=0，
∴ A=2,3， B=x|x2+ax+6=0，B为方程x2+ax+6=0的解集，
所以分类讨论得：
①若B≠⌀，由B⊆A ，
∴ B=2或B=3或B=2,3，
当B=2时，方程x2+ax+6=0有两个相等实根，
即x1=x2=2，x1x2=4≠6，
∴ 不合题意．
同理B≠3．
同理当B=2,3时， a=−5，合题意．
②若B=⌀，则Δ=a2−4×6<0，
∴ −26综上所述，实数a的取值范围为{a|a=−5或−26【考点】
空集的定义、性质及运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)若B=⌀，则Δ=a2−4×6<0，
解得−26(2)由集合A=x|x2−5x+6=0，
∴ A=2,3， B=x|x2+ax+6=0，B为方程x2+ax+6=0的解集，
所以分类讨论得：
①若B≠⌀，由B⊆A ，
∴ B=2或B=3或B=2,3，
当B=2时，方程x2+ax+6=0有两个相等实根，
即x1=x2=2，x1x2=4≠6，
∴ 不合题意．
同理B≠3．
同理当B=2,3时， a=−5，合题意．
②若B=⌀，则Δ=a2−4×6<0，
∴ −26综上所述，实数a的取值范围为{a|a=−5或−26【答案】
(1)解：函数fx=2x2x2+1．
当x=2时，f(2)+f12=85+1214+1=2 ，
当x=3时，f3+f13=2×99+1+2×1919+1=2．
(2)证明：因为fx=2x2x2+1，
f1x=21x21x2+1=21+x2，
所以fx+f1x=2x2+21+x2=2．
(3)解：f1+f2+f12+f3+f13+⋯+f2019+f12009
=f1+[f2+f12]+[f3+f13]+⋯+[f2019+f12009]
=f1+2018×2=4037．
【考点】
归纳推理
函数的求值
【解析】
无
无
无
【解答】
(1)解：函数fx=2x2x2+1．
当x=2时，f(2)+f12=85+1214+1=2 ，
当x=3时，f3+f13=2×99+1+2×1919+1=2．
(2)证明：因为fx=2x2x2+1，
f1x=21x21x2+1=21+x2，
所以fx+f1x=2x2+21+x2=2．
(3)解：f1+f2+f12+f3+f13+⋯+f2019+f12009
=f1+[f2+f12]+[f3+f13]+⋯+[f2019+f12009]
=f1+2018×2=4037．
【答案】
(1)解：∵ 对于任意u，v∈R，都有fu+v=fu+fv−1，
∴ 令u=0，v=1，得f1=f0+f1−1，
∴ f0=1 .
令u=1，v=−1，得f0=f1+f−1−1，
∴ f−1=−1 .
(2)证明：令t=x，v=−x，则有f0=fx+f−x−1，
∴ fx+f−x=2，
令gx=fx−1，则g−x=f−x−1，
∴ gx+g−x=fx+f−x−2=0，
即gx=−g−x .
故y=gx=fx−1为奇函数．
(3)解：∵ 对于任意的u，v∈R，u−v≠0，u−vfu−fv>0，
∴ fx为单调增函数，
∵f−1=f−12+f−12−1=−1，
∴ f−12=0.
∵ f(12m2)−2f(m−12)>−2
⇔f(12m2)−[f(2m−1)+1]>−2
⇔f12m2+2−f2m−1−1>0
⇔f12m2+f1−2m−1>0
⇔f12m2+1−2m>0 .
∴ f12m2+1−2m>f−12，
∴ 12m2+1−2m>−12，即m2−4m+3>0，
解得m<1或m>3 .
故实数m的取值范围是−∞,1∪3,+∞ .
【考点】
函数的求值
函数奇偶性的判断
奇偶性与单调性的综合
已知函数的单调性求参数问题
函数奇偶性的性质
【解析】
（1）∵ 对于任意u，v∈R，都有fu+v=fu+fv−1，
∴ 令u=0，v=1，得f1=f0+f1−1，
∴ f0=1 .
令u=1,v=−1，得f0=f1+f−1−1，
∴ f−1=−1 .
【解答】
(1)解：∵ 对于任意u，v∈R，都有fu+v=fu+fv−1，
∴ 令u=0，v=1，得f1=f0+f1−1，
∴ f0=1 .
令u=1，v=−1，得f0=f1+f−1−1，
∴ f−1=−1 .
(2)证明：令t=x，v=−x，则有f0=fx+f−x−1，
∴ fx+f−x=2，
令gx=fx−1，则g−x=f−x−1，
∴ gx+g−x=fx+f−x−2=0，
即gx=−g−x .
故y=gx=fx−1为奇函数．
(3)解：∵ 对于任意的u，v∈R，u−v≠0，u−vfu−fv>0，
∴ fx为单调增函数，
∵f−1=f−12+f−12−1=−1，
∴ f−12=0.
∵ f(12m2)−2f(m−12)>−2
⇔f(12m2)−[f(2m−1)+1]>−2
⇔f12m2+2−f2m−1−1>0
⇔f12m2+f1−2m−1>0
⇔f12m2+1−2m>0 .
∴ f12m2+1−2m>f−12，
∴ 12m2+1−2m>−12，即m2−4m+3>0，
解得m<1或m>3 .
故实数m的取值范围是−∞,1∪3,+∞ .
【答案】
解：(1)当a=1，b=−2时， fx=x2−x−3，
由题意有x2−x−3=x，即x2−2x−3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
故当a=1，b=−2时，f(x)的关于参数1的两个不动点为−1和3.
(2)∵fx=ax2+b+1x+b−1a≠0恒有两个不动点，
∴ ax2+b+1x+b−1=x，即ax2+bx+b−1=0恒有两个不等实根，
∴ Δ1=b2−4ab+4a>0b∈R恒成立，
于是Δ2=4a2−16a<0，解得0故当b∈R且fx恒有关于参数1的两个相异的不动点时0(3)由已知得x2+3x+1=mx在x∈(0,2]上有两个不同解，
即x2+3−mx+1=0在x∈(0,2]上有两个不同解，
令ℎx=x2+(3−m)x+1，
所以ℎ2=11−2m≥0，Δ=3−m2−4>0，0解得5【考点】
函数新定义问题
函数恒成立问题
函数的零点
函数解析式的求解及常用方法
【解析】

【解答】
解：(1)当a=1，b=−2时， fx=x2−x−3，
由题意有x2−x−3=x，即x2−2x−3=0，
解得：x1=−1，x2=3，
故当a=1，b=−2时，f(x)的关于参数1的两个不动点为−1和3.
(2)∵fx=ax2+b+1x+b−1a≠0恒有两个不动点，
∴ ax2+b+1x+b−1=x，即ax2+bx+b−1=0恒有两个不等实根，
∴ Δ1=b2−4ab+4a>0b∈R恒成立，
于是Δ2=4a2−16a<0，解得0故当b∈R且fx恒有关于参数1的两个相异的不动点时0(3)由已知得x2+3x+1=mx在x∈(0,2]上有两个不同解，
即x2+3−mx+1=0在x∈(0,2]上有两个不同解，
令ℎx=x2+(3−m)x+1，
所以ℎ2=11−2m≥0，Δ=3−m2−4>0，0解得5

2020-2021学年江西省高一（上）10月月考数学试卷北师大版

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