2020-2021学年江西省九江市高一（下）3月调研考试数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省九江市高一（下）3月调研考试数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知向量a→=(−1, 2)，b→=(1, 0)，则3a→+b→=（ ）
A.(−2, 6)B.(−2, −6)C.(2, 6)D.(2, −6)

2. 若|AB→|=|AD→|且BA→=CD→，则四边形ABCD的形状为（ ）
A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

3. 已知向量a→与b→满足|a→|=3，|b→|=2，a→与b→的夹角为3π4，则a→⋅b→=( )
A.−6B.6C.−32D.32

4. 若AB→=3,5，AC→=−1,2，则CB→等于（ ）
A.4,3B.−4,−3C.−4,3D.4,−3

5. 已知向量a→=2,1，b→=m,m+1，当a→+b→与a→垂直时，实数m=( )
A.2B.1C.−1D.−2

6. 已知平面向量a→=1,2，b→=−2,k，若a→与b→共线，则|3a→+b→|=（ ）
A.3B.4C.5D.5

7. 数列−1，3，−7，15，⋯的一个通项公式可以是（ ）
A.an=−1n⋅2n−1B.an=−1n⋅2n−1
C.an=−1n+1⋅2n−1D.an=−1n+1⋅2n−1

8. tan17π6的值为（ ）
A.33B.−33C.3D.−3

9. 已知等差数列an的公差是3，且a6+a8=16，则a10=( )
A.16B.17C.18D.20

10. 如图，在△ABC中，MC=14BC，设AB→=a→，AC→=b→，则AM→=（ ）

A.14a→−34b→B.34a→−14b→C.14a→+34b→D.34a→+14b→

11. 圣•索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(153−15)m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15∘和60∘，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30∘，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）

A.20mB.30mC.203mD.303m

12. 如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE→=λAB→+μAD→（λ，μ为实数），则λ2+μ2=（ ）

A.58B.14C.1D.516
二、填空题

已知△ABC是边长为6的正三角形，求AB→⋅BC→=________．

已知向量a→=(2, 0)，b→=(−1, 3)，则其夹角=________．

向量a→=3,1在b→=2,−1方向上的射影为________．

已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则PC→⋅PB→+PD→的最小值为________．
三、解答题

已知向量a→=(1, k)，b→=(k, 4)．
(1)若a→ // b→，求k的值；

(2)若(a→+b→)⊥(4a→+b→)，求k的值．

已知向量a→=1,−1，|b→|=2，且2a→+b→⋅b→=4，
(1)求向量a→与b→的夹角；

(2)求|a→+b→|的值．

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bcsA=c−32a.
(1)求角B；

(2)若△ABC的面积为23，BC边上的高AH=1，求b，c．


(1)已知a→=2,1，b→=1,−3，c→=3,5，把a→，b→作为一组基底，试用a→，b→表示c→.

(2)在直角坐标系xy内，已知点A(−1, −1)，B(1, 3)，C(2, 5)，证明A，B，C三点共线.

已知csα=55，sin(α−β)=1010，其中α，β∈(0,π2)．求：
(1)求cs(2α−β)的值；

(2)求β的值．

在平面直角坐标系中，已知点A(1, 0)和点B(−1, 0)，|OC→|=1，且∠AOC=x，其中O为坐标原点．
(1)若x=34π，设点D为线段OA上的动点，求|OC→+OD→|的最小值；

(2)若x∈[0,π2]，向量m→=BC→，n→=(1−csx,sinx−2csx)，求m→⋅n→的最小值及对应的x值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省九江市高一（下）3月调研考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
按照向量数乘的坐标运算 及和运算，直接计算即可．
【解答】
解：3a→+b→=3(−1, 2)+(1, 0)=(−2, 6).
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
相等向量与相反向量
【解析】
由向量相等，得出四边形ABCD是平行四边形；由模长相等，得出平行四边形ABCD是菱形．
【解答】
解：四边形ABCD中，∵ BA→=CD→，
∴ BA // CD，且BA=CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
又|AB→|=|AD→|，
∴ 平行四边形ABCD是菱形.
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
由向量数量积的运算公式，计算得答案．
【解答】
解：由向量数量积的运算公式可知
a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅cs3π4=3×2×−22=−32.
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
由CB→=AB→−AC→计算即可得出结果．
【解答】
解：CB→=AB→−AC→=3,5−−1,2=4,3．
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
无
【解答】
解：由题知，a→+b→=m+2,m+2，
要使a→+b→与a→垂直，则2m+4+m+2=0，解得m=−2．
故选D．
6.
【答案】
C
【考点】
平面向量的坐标运算
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 向量a→=(1, 2)，b→=(−2, k)，且a→与b→共线，
∴ k−2×(−2)=0，
解得k=−4，
∴ b→=(−2, −4)；
∴ 3a→+b→=(3×1−2, 3×2−4)=(1,2)，
∴ |3a→+b→|=12+22=5．
故选C．
7.
【答案】
A
【考点】
数列的概念及简单表示法
【解析】
根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用−1n来控制各项的符号，再由数列1，3，7，15，…可表示为{2n−1}，由此可得数列的通项公式．
【解答】
解：数列1，3，7，15，⋯可表示为(2n−1)，
又数列所有的奇数项为负，偶数项为正，
故可用−1n来控制各项的符号，
故数列的一个通项公式为an=−1n⋅2n−1.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
三角函数的化简求值
【解析】
利用三角函数的诱导公式求解．
【解答】
解：tan17π6=tan3π−π6=−tanπ6=−33．
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的性质
【解析】
由等差数列的性质求出a7，再根据等差数列的定义求得a10
【解答】
解：∵an是等差数列，
∴ a6+a8=2a7=16，即a7=8，
故a10=a7+3d=8+3×3=17.
故选B．
10.
【答案】
C
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
根据平面向量基本定理将AM→=AC→+14AB→−AC→，再用AB→=a→，AC→=b→表示可得答案．
【解答】
解：因为MC=14BC，AB→=a→，AC→=b→，
所以AM→=AC→+CM→=AC→+14CB→=AC→+14AB→−AC→
=b→+14a→−b→=14a→+34b→．
故选C．
11.
【答案】
D
【考点】
正弦定理的应用
解三角形的实际应用
【解析】
求得AM，再在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算可得所求值．
【解答】
解：在直角三角形ABM中，AM=ABsin15∘．
在△ACM中，∠CAM=30∘+15∘=45∘，
故∠ACM=180∘−45∘−105∘=30∘，
由正弦定理，AMsin∠ACM=CMsin∠CAM，
故CM=AMsin∠CAMsin∠ACM=2×ABsin15∘．
在直角三角形CDM中，
CD=CMsin60∘=2×ABsin15∘×32
=62×153−156−24=303．
故选D.
12.
【答案】
A
【考点】
向量的加法及其几何意义
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
由向量的线性运算得DE→=12DA→+12DO→=14AB→−34AD→．即可．
【解答】
解：DE→=12DA→+12DO→=12DA→+14DB→
=12DA→+14(DA→+DC→)
=14AB→−34AD→，
∴ λ=14，μ=−34，λ2+μ2=58.
故选A．
二、填空题
【答案】
−18
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
【解析】
由题意可得AB→与BC→的夹角为120∘，模长|AB→|=|BC→|=6，由数量积的定义可得答案．
【解答】
解：由题意可得AB→与BC→的夹角为120∘，且|AB→|=|BC→|=6，
由数量积的定义可得
AB→⋅BC→=|AB→|×|BC→|×cs120∘
=6×6×(−12)=−18.
故答案为：−18.
【答案】
2π3
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
由平面向量的数量积计算两向量的模长与夹角．
【解答】
解：向量a→= (2, 0)，b→= (−1, 3)，
所以a→⋅b→ = 2×(−1)+0 × 3 = − 2，
|a→|=2，|b→| = ( − 1)2 + (3)2 = 2，
所以cs =a→⋅b→|a→||b→|= − 22 × 2 = − 12.
又 ∈[0, π]，
所以 = 2π3．
故答案为： 2π3.
【答案】
5
【考点】
向量的投影
【解析】
由题意首先求得向量的数量积，然后利用射影的定义即可确定向量的射影．
【解答】
解：由题意可知：a→⋅b→=3×2+1×(−1)=5，且|b→|=4+1=5，
据此可得向量a→=3,1在b→=2,−1方向上的射影为a→⋅b→|b→|=55=5．
故答案为：5．
【答案】
−1
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
【解析】
建立平面直角坐标系，设Px,y，写出各点坐标，利用平面向量数量积的坐标公式表示出PC→⋅PB→+PD→，结合配方法得出最小值即可．
【解答】
解：建立如图所示坐标系，
设Px,y，则A0,0，B2,0，C2,2，D0,2，
∴ PC→=2−x,2−y，
PB→+PD→=2−x,−y+−x,2−y
=2−2x,2−2y，
∴ PC→⋅PB→+PD→
=2−x2−2x+2−y2−2y
=2x−322−12+2y−322−12
=2x−322+2y−322−1．
∴ 当x=y=32时，PC→⋅PB→+PD→的最小值为−1．
故答案为：−1．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 向量a→=(1, k)，b→=(k, 4)，a→ // b→，
∴ 4−k2=0，解得k=±2．
(2)a→+b→=(1+k, k+4)，
4a→+b→=(4, 4k)+(k, 4)=(4+k, 4k+4).
∵ (a→+b→)⊥(4a→+b→)，
∴ (a→+b→)⋅(4a→+b→)
=(1+k)(4+k)+(k+4)(4k+4)=0，
解得k=−1或k=−4．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
（1）利用向量平行的性质直接求解．
（2）利用平面向量坐标运算法则先分别求出a→+b→，4a→+b→，再由(a→+b→)⊥(4a→+b→)，能求出k的值．
【解答】
解：(1)∵ 向量a→=(1, k)，b→=(k, 4)，a→ // b→，
∴ 4−k2=0，解得k=±2．
(2)a→+b→=(1+k, k+4)，
4a→+b→=(4, 4k)+(k, 4)=(4+k, 4k+4).
∵ (a→+b→)⊥(4a→+b→)，
∴ (a→+b→)⋅(4a→+b→)
=(1+k)(4+k)+(k+4)(4k+4)=0，
解得k=−1或k=−4．
【答案】
解：(1)由a→=(1,−1)得|a→|=2，
∵ |b→|=2，
(2a→+b→)⋅b→=2a→⋅b→+b→2
=2|a→||b→|cs+2
=4cs+2=4，
∴cs=12，
∴向量a→与b→的夹角为60∘.
(2)|a→+b→|=(a→+b→)2
=a→2+2a→⋅b→+b→2
=|a→|2+2|a→||b→|cs+|b→|2=6.
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由a→=(1,−1)得|a→|=2，
∵ |b→|=2，
(2a→+b→)⋅b→=2a→⋅b→+b→2
=2|a→||b→|cs+2
=4cs+2=4，
∴cs=12，
∴向量a→与b→的夹角为60∘.
(2)|a→+b→|=(a→+b→)2
=a→2+2a→⋅b→+b→2
=|a→|2+2|a→||b→|cs+|b→|2=6.
【答案】
解：(1)因为bcsA=c−32a，
所以b⋅b2+c2−a22bc=c−32a，
所以b2+c2−a2=2c2−3ac，即c2+a2−b2=3ac.
由余弦定理可得csB=c2+a2−b22ac=32.
因为B∈0,π，所以B=π6．
(2)由正弦定理可得c=AHsin∠AHBsinB=AHsinπ2sinπ6=2.
因为△ABC的面积为23，
所以12acsinB=23，解得a=43.
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB
=48+4−2×2×43×32=28，
则b=27.
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】


【解答】
解：(1)因为bcsA=c−32a，
所以b⋅b2+c2−a22bc=c−32a，
所以b2+c2−a2=2c2−3ac，即c2+a2−b2=3ac.
由余弦定理可得csB=c2+a2−b22ac=32.
因为B∈0,π，所以B=π6．
(2)由正弦定理可得c=AHsin∠AHBsinB=AHsinπ2sinπ6=2.
因为△ABC的面积为23，
所以12acsinB=23，解得a=43.
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB
=48+4−2×2×43×32=28，
则b=27.
【答案】
(1)解：设c→=λa→+μb→
由a→=2,1，b→=1,−3，c→=3,5，
可得3,5=λ2,1+μ1,−3，
即2λ+μ=3,λ−3μ=5,解得λ=2,μ=−1,
即c→=2a→−b→.
(2)证明：点A(−1, −1)，B(1, 3)，C(2, 5)，
则AB→=2,4，AC→=3,6，
故AB→=23AC→，
又AB→，AC→有公共点A，
所以A，B，C三点共线．
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
平面向量的正交分解及坐标表示
向量的共线定理
【解析】
（1）设c→=λa→+μb→，由平面向量基本定理可得2λ+μ=3λ−3μ=5，解方程即可得解；
（2）由题意用坐标表示平面向量AB→=2,4，AC→=3,6，进而可得AB→=23AC→，即可得证．
【解答】
(1)解：设c→=λa→+μb→
由a→=2,1，b→=1,−3，c→=3,5，
可得3,5=λ2,1+μ1,−3，
即2λ+μ=3,λ−3μ=5,解得λ=2,μ=−1,
即c→=2a→−b→.
(2)证明：点A(−1, −1)，B(1, 3)，C(2, 5)，
则AB→=2,4，AC→=3,6，
故AB→=23AC→，
又AB→，AC→有公共点A，
所以A，B，C三点共线．
【答案】
解：(1)∵ α，β∈(0,π2)，
∴ α−β∈(−π2, π2)，
∵ csα=55，sin(α−β)=1010，
∴ sinα=1−cs2α=255，
cs(α−β)=1−sin2(α−β)=31010，
∴ cs(2α−β)=cs[(α−β)+α]
=cs(α−β)csα−sin(α−β)sinα
=31010×55−1010×255=210.
(2)由(1)可知，sinα=255，cs(α−β)=31010，
∵ csα=55，sin(α−β)=1010，
∴ csβ=cs[α−(α−β)]
=cs(α−β)csα+sin(α−β)sinα
=55×31010+255×1010=22，
又β∈(0,π2)，
∴ β=π4．
【考点】
两角和与差的余弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由α，β的范围求出α−β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cs(α−β)，由两角和的余弦公式求出cs(2α−β)=cs[(α−β)+α]的值；
（2）由两角差的余弦公式求出csβ=cs[α−(α−β)]的值，再由β的范围求出β的值．
【解答】
解：(1)∵ α，β∈(0,π2)，
∴ α−β∈(−π2, π2)，
∵ csα=55，sin(α−β)=1010，
∴ sinα=1−cs2α=255，
cs(α−β)=1−sin2(α−β)=31010，
∴ cs(2α−β)=cs[(α−β)+α]
=cs(α−β)csα−sin(α−β)sinα
=31010×55−1010×255=210.
(2)由(1)可知，sinα=255，cs(α−β)=31010，
∵ csα=55，sin(α−β)=1010，
∴ csβ=cs[α−(α−β)]
=cs(α−β)csα+sin(α−β)sinα
=55×31010+255×1010=22，
又β∈(0,π2)，
∴ β=π4．
【答案】
解：(1)设D(t, 0)(0≤t≤1)，由题易知C(−22, 22)，
所以OC→+OD→=(−22+t, 22)，
所以|OC→+OD→|2=(t−22)2+12(0≤t≤1)，
所以当t=22时，|OC→+OD→|最小，为22．
(2)由题意，得C(csx, sinx)，m→=BC→=(csx+1, sinx)，
则m→⋅n→
=1−cs2x+sin2x−2sin xcs x
=1−cs 2x−sin 2x
=1−2sin(2x+π4).
因为x∈[0, π2]，所以π4≤2x+π4≤5π4，
所以当2x+π4=π2，即x=π8时，sin(2x+π4)取得最大值1，
所以m→⋅n→的最小值为1−2，此时x=π8．
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
两向量的和或差的模的最值
三角函数的最值
【解析】
（1）设D(t, 0)(0≤t≤1)，利用二次函数的性质求得它的最小值．
（2）由题意得m→⋅n→=1−2sin(2x+π4)，再利用正弦函数的定义域和值域 求出它的最小值．
【解答】
解：(1)设D(t, 0)(0≤t≤1)，由题易知C(−22, 22)，
所以OC→+OD→=(−22+t, 22)，
所以|OC→+OD→|2=(t−22)2+12(0≤t≤1)，
所以当t=22时，|OC→+OD→|最小，为22．
(2)由题意，得C(csx, sinx)，m→=BC→=(csx+1, sinx)，
则m→⋅n→
=1−cs2x+sin2x−2sin xcs x
=1−cs 2x−sin 2x
=1−2sin(2x+π4).
因为x∈[0, π2]，所以π4≤2x+π4≤5π4，
所以当2x+π4=π2，即x=π8时，sin(2x+π4)取得最大值1，
所以m→⋅n→的最小值为1−2，此时x=π8．