数学八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形教学课件ppt

这是一份数学八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形教学课件ppt，共16页。PPT课件主要包含了情境导入，再由AC⊥BD，证明方法倍长法，∵AC⊥BD，∴∠B60º，证明方法截半法，∵∠A30º，∴AEEC，∴AEBEBC，推导格式等内容，欢迎下载使用。
【问题1】如图,将两个相同的含30º角的三角尺摆放在一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
在直角三角形中,如果一个锐角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图,△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD,∠BAD=2×30º=60º，
从而△ABD是一个等边三角形.
你还能用其他方法证明吗?
证明1：在△ABC中,
∵∠C=90º,∠A=30º,
延长BC到D,使BD=AB,连接AD,
则△ABD是等边三角形.
证明2：在BA上截取BE=BC,连接EC.
∵∠B=60º,BE=BC.
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC=60º,BE=EC.
∴∠ECA=∠BEC-∠A=60º-30º=30º.
∴AB=AE+BE=2BC.
∵在Rt△ABC中,∠C=90º,∠A=30º,　　
含30º角的直角三角形的性质
判断下列说法是否正确：(1)直角三角形中30º角所对的直角边等于另一直角边的一半( ) (2)三角形中30º角所对的边等于最长边的一半 ( ) (3)直角三角形中较短的直角边是斜边的一半 ( ) (4)直角三角形的斜边是30º角所对直角边的2倍 ( )
【例1-1】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,∠B=30º,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是(　　) A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm
注意：运用含30º角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形．
解析：在Rt△ABC中, ∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90º,∴∠ACD=∠B=30º. 在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm, 在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm. ∴AB的长度是12cm.故选D.
【例1-2】如图,∠AOP=∠BOP=15º,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于(　　) A.3 B.2 C.1.5 D.1
解析：如图,过点P作PE⊥OB于E， ∵PC∥OA,∴∠AOP=∠CPO, ∴∠PCE=∠BOP+∠CPO =∠BOP+∠AOP=∠AOB=30º. ∵PC=3,∴PE=1.5. ∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA， ∴PD=PE=1.5.故选C.
方法总结：含30º角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
【例1-3】如图,在△ABC中,∠C=90º,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90º.
∵DE是∠ADB的平分线,∴∠ADE=∠BDE.
∵DE=DE,∴△AED≌△BED(ASA)，
∴AD=BD,∠DAE=∠B.
在Rt△ACD中,∵∠CAD=30º,
∴∠BAD=∠CAD=∠B.
∵∠BAD+∠CAD+∠B=90º，
∴∠B=∠BAD=∠CAD=30º.
方法总结：含30º角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质．
【例1-4】如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4cm,∠A=30º,立柱BC、DE要多长?
解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30º,
答：立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
【例1-5】已知:等腰三角形的底角为15º,腰长为20.求腰上的高.
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15º∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15º+15º=30º.
方法总结:在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30º角的直角三角形来解决本.题的关键是作高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出30º角,利用含30º角的直角三角形的性质解决问题.
1.在△ABC中,∠C=90º,∠B=15º,DE是AB的垂直平分线,BE=5,则求AC的长.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠EAB=∠B=15º，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30º．
2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120º,D是BC的中点,DE⊥AB于E点,求证：BE=3EA.
证明：∵AB=AC,∠BAC=120º,
∴∠B=∠C=30º.
∴∠ADC=90º,∠BAD=∠DAC=60º.
3.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,求证：BP=2PQ.
∴△ADC≌△BEA.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60º，
∴∠CAD=∠ABE.
∵∠BAP+∠CAD=60º，
∴∠ABE+∠BAP=60º.