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吉林省长春市汽开区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案）
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这是一份吉林省长春市汽开区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案），共24页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，点P，计算等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥3
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学成绩的平均数都是108分，方差如下表，则这四名学生成绩最稳定的是（ ）
学生
甲
乙
丙
丁
方差（s2）
86
51.5
63.5
19.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在▱ABCD中，AC＝5cm．若△ACD的周长为14cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．18cm B．19cm C．28cm D．38cm
6．如图，在菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F．若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
8．如图，反比例函数y＝的图象经过点A（8，2），当y＜2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0或x＞8 B．0＜x＜8 C．x＞8 D．x＜8
二、填空（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．计算：+＝ ．
10．小明在参加岗位应聘中，专业知识、工作经验、仪表形象三项的得分分别为：18分、15分、16分．若这三项的重要性之比为5：3：2，则他最终的得分是 分．
11．已知反比例函数的图象经过点（2，4），那么这个反比例函数的表达式是 ．
12．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为 度．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝ ．
14．如图，点E是矩形纸片ABCD的边BC上的一动点，沿直线AE折叠纸片，点B落在点B′位置，连结CB′．若AB＝3，BC＝6，则线段CB′长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）点A、B、C在平面直角坐标系中的位置如图所示，请分别写出点A、B、C的坐标．
16．（6分）一次函数的图象经过点（2，0）和点（0，﹣6），求这个函数的表达式．
17．（6分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
（2）在图②中，画出一个菱形（不能是正方形），使其面积为4．
18．（7分）如图，点E，F分别是▱ABCD对角线AC上两点，AF＝CE．
求证：∠DEC＝∠BFA．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的图象交于点P、点Q．
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值．
20．（7分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市举行．为了调查学生对冬奥知识的了解情况，某校对七、八年级全体学生进行了相关知识测试，然后从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
Ⅰ．七年级20名学生成绩的频数分布表如下：
七年级学生样本成绩频数分布表
成绩m（分）
频数（人数）
50≤m＜60
1
60≤m＜70
2
70≤m＜80
3
80≤m＜90
8
90≤m≤100
6
合计
20
Ⅱ．七年级20名学生成绩在80≤m＜90这一组的具体成绩是：
87 88 88 88 89 89 89 89
Ⅲ．七、八年级学生样本成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数
中位数
众数
七年级
84
n
89
八年级
84.2
85
85
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表中n的值为 ．
（2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级，并说明理由．
（3）七年级共有学生180名，若将不低于80分的成绩定为优秀，请估计七年级成绩优秀的学生人数．
21．（8分）甲、乙两个工程队共同开凿一条隧道，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从隧道的另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队调离一部分工人去完成其他任务，工作效率降低．当隧道打通时，甲队工作了40天，设甲，乙两队各自开凿隧道的长度为y（米），甲队的工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲队的工作效率．
（2）求乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式
（3）求这条隧道的总长度．
22．（9分）【教材呈现】如下是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
把一张矩形纸片如图1那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
上述操作的理由是有一组 是正方形．
【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD（AD＞AB），将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边BC上．
（1）求证：四边形ABEF是菱形．
（2）连结BF，若AE＝6，BF＝8，CE＝2，则▱ABCD的面积为 ．
23．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝15，BC＝27，AE⊥BC于点E，且BE＝9．点P从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点Q从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止，连结PQ．设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求AE的长；
（2）分别求AQ和PE的长（用含t的代数式表示）；
（3）当线段PQ最短时，求t的值；
（4）在整个运动过程中，当以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
24．（12分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．
列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
1
2
1
0
1
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）观察描出的这些点的分布，请你连线，在所给平面直角坐标系中作出此分段函数的图象．
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①求此函数与y轴的交点坐标．
②点A（﹣5，y1）、B（﹣，y2）在函数图象上，则y1 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
③点C（x1，5）、B（x2，）也在函数图象上，则x1 x2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
④当函数值y＝3时，自变量x的值为 ．
⑤若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，则a的取值范围为 ．
2020-2021学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥3
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点P（﹣3，﹣5）所在的象限是第三象限．
故选：C．
3．甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学成绩的平均数都是108分，方差如下表，则这四名学生成绩最稳定的是（ ）
学生
甲
乙
丙
丁
方差（s2）
86
51.5
63.5
19.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：由表格知丁的方差最小，
所以这四名学生成绩最稳定的是丁，
故选：D．
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先把各选项中的二次根式化简，然后根据同类二次根式的定义进行判断．
【解答】解：＝2，＝2，＝2，＝3，
所以与是同类二次根式．
故选：B．
5．如图，在▱ABCD中，AC＝5cm．若△ACD的周长为14cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．18cm B．19cm C．28cm D．38cm
【分析】先根据AC＝5cm，△ACD的周长为14cm得出AD+CD＝9cm，再结合四边形ABCD是平行四边形知AB＝CD、BC＝AD，从而得出答案．
【解答】解：∵△ACD的周长为14cm，即AD+CD+AC＝14cm，且AC＝5cm，
∴AD+CD＝9cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD、BC＝AD，
则▱ABCD的周长为AB+BC+AD+CD＝9+9＝18（cm），
故选：A．
6．如图，在菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由菱形的性质得到DA＝DC，∠DAC＝∠1，由等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝∠1，根据三角形的内角和定理求出∠DAC，即可得到∠1．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，
在△ABD中，
∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：B．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F．若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；
∵S△BCD＝BC•CD＝12，故S阴影＝12．
故选：C．
8．如图，反比例函数y＝的图象经过点A（8，2），当y＜2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0或x＞8 B．0＜x＜8 C．x＞8 D．x＜8
【分析】求得函数值为2时的x的值，根据反比例函数的图象即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（8，2），
即，当y＝2时，x＝8，
结合图象，所以当y＜2时，x＜0或x＞8．
故选：A．
二、填空（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．计算：+＝ 2 ．
【分析】两个相加的二次根式的被开方数相同，可利用二次根式的加法法则直接求和．．
【解答】解：原式＝（1+1）
＝2．
故答案为：2．
10．小明在参加岗位应聘中，专业知识、工作经验、仪表形象三项的得分分别为：18分、15分、16分．若这三项的重要性之比为5：3：2，则他最终的得分是 16.7 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：他最终的得分是：18×+15×+16×＝16.7（分）．
故答案为：16.7．
11．已知反比例函数的图象经过点（2，4），那么这个反比例函数的表达式是 y＝ ．
【分析】将此点坐标代入函数解析式y＝（k≠0）即可求得k的值．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
∵函数的图象经过点（2，4），
∴4＝，得k＝8，
∴反比例函数解析式为y＝．
故答案为：y＝．
12．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为 70 度．
【分析】根据正方形的对称性可知，△ABE与△ADE关于直线AC对称，得到∠AED＝∠AEB，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和可解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且AC为正方ABCD的对角线，
∴△ABE与△ADE关于直线AC对称，∠ACB＝45°，
∴∠AED＝∠AEB，
∵∠AEB为△EBC的外角，
∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝25°+45°＝70°，
∴∠AED＝70°，
故答案为70．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝ 5 ．
【分析】两直线的交点坐标横坐标为方程x+2＝ax+b的解．
【解答】解：把y＝7代入y＝x+2得，7＝x+2，
解得x＝5，
∴P点的横坐标为5，
∵直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P，
∴方程x+2＝ax+b的解是x＝5．
故答案为5．
14．如图，点E是矩形纸片ABCD的边BC上的一动点，沿直线AE折叠纸片，点B落在点B′位置，连结CB′．若AB＝3，BC＝6，则线段CB′长度的最小值为 3﹣3 ．
【分析】连接AC．当A、B′、C共线时，CB′的值最小，进而解答即可．
【解答】解：如图，连接AC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝，
∵CB′≥AC﹣AB′，
∴当A、B′、C共线时，CB′的值最小为：3﹣3，
故答案为：3﹣3．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）点A、B、C在平面直角坐标系中的位置如图所示，请分别写出点A、B、C的坐标．
【分析】直接根据图形可得三个点的坐标．
【解答】解：由题意可知，点A的坐标为（3，3）；点B的坐标为（﹣3，4）；点C的坐标为（5，﹣2）．
16．（6分）一次函数的图象经过点（2，0）和点（0，﹣6），求这个函数的表达式．
【分析】设出函数解析式为y＝kx+b，再将点（2，0）和（0，﹣6）代入可得出方程组，解出即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．
【解答】解：设所求函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（2，0）、（0，﹣6）代入，得，
解得，
∴所求函数表达式为y＝3x﹣6．
17．（6分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
（2）在图②中，画出一个菱形（不能是正方形），使其面积为4．
【分析】（1）画出底为3，高为2的平行四边形即可；
（2）画出对角线分别为4，2的菱形即可．
【解答】解：（1）如图①中，平行四边形ABCD即为所求；
（2）如图②中，菱形EFGH即为所求．
18．（7分）如图，点E，F分别是▱ABCD对角线AC上两点，AF＝CE．
求证：∠DEC＝∠BFA．
【分析】用SAS证明△BAF≌△DCE即可说明∠DEC＝∠BFA．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
又CE＝AF，
∴△BAF≌△DCE（SAS）．
∴∠DEC＝∠BFA．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的图象交于点P、点Q．
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值．
【分析】（1）由于PQ∥x轴，则点P的纵坐标为2，然后把y＝2代入y＝得到对应的自变量的值，从而得到P点坐标；
（2）由于S△POQ＝S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数k的几何意义得到|k|+×|6|＝8，然后解方程得到满足条件的k的值．
【解答】解：（1）∵PQ∥x轴，
∴点P的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝得x＝3，
∴P点坐标为（3，2）；
（2）∵S△POQ＝S△OMQ+S△OMP，
∴|k|+×|6|＝8，
∴|k|＝10，
而k＜0，
∴k＝﹣10．
20．（7分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市举行．为了调查学生对冬奥知识的了解情况，某校对七、八年级全体学生进行了相关知识测试，然后从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
Ⅰ．七年级20名学生成绩的频数分布表如下：
七年级学生样本成绩频数分布表
成绩m（分）
频数（人数）
50≤m＜60
1
60≤m＜70
2
70≤m＜80
3
80≤m＜90
8
90≤m≤100
6
合计
20
Ⅱ．七年级20名学生成绩在80≤m＜90这一组的具体成绩是：
87 88 88 88 89 89 89 89
Ⅲ．七、八年级学生样本成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数
中位数
众数
七年级
84
n
89
八年级
84.2
85
85
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表中n的值为 88.5 ．
（2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级，并说明理由．
（3）七年级共有学生180名，若将不低于80分的成绩定为优秀，请估计七年级成绩优秀的学生人数．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以求得n的值；
（2）根据表格中的数据，可以判断该生所在的年级，然后根据表格中的数据，即可说明理由；
（3）根据表格中的数据，可以计算出七年级成绩优秀的学生人数．
【解答】解：（1）由表格中的数据可得，
n＝（88+89）÷2＝88.5，
故答案为：88.5；
（2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级是八年级，
理由：∵七年级中位数是88.5，87＜88.5，
∴如果该学生在七年级，排名是后10名，不合题意；
∵八年级中位数是85，85＜87，
∴如果该学生在八年级，排名是前10名，符合题意；
由上可得，在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级是八年级；
（3）180×＝126（人），
答：七年级成绩优秀的学生有126人．
21．（8分）甲、乙两个工程队共同开凿一条隧道，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从隧道的另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队调离一部分工人去完成其他任务，工作效率降低．当隧道打通时，甲队工作了40天，设甲，乙两队各自开凿隧道的长度为y（米），甲队的工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲队的工作效率．
（2）求乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式
（3）求这条隧道的总长度．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲的工作效率；
（2）根据函数图象中的数据可以求得乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式；
（3）将x＝40代入（2）中的函数解析式可以求得乙开凿的隧道的长度，再根据甲的工作效率和工作时间可以求得甲开凿的隧道的长度，从而可以求得这条隧道的总长度．
【解答】解：（1）甲队的工作效率是：750÷25＝30米/天；
（2）设乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
，得，
即乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式是y＝25x+125；
（3）将x＝40代入y＝25x+125，得
y＝25×40+125＝1125，
则这条隧道的总长度是：30×40+1125＝1200+1125＝2325（米），
答：这条隧道的总长度是2325米．
22．（9分）【教材呈现】如下是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
把一张矩形纸片如图1那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
上述操作的理由是有一组 邻边相等的矩形 是正方形．
【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD（AD＞AB），将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边BC上．
（1）求证：四边形ABEF是菱形．
（2）连结BF，若AE＝6，BF＝8，CE＝2，则▱ABCD的面积为 ．
【分析】（1）首先证明ABEF是平行四边形，再根据平行四边形邻边相等证明是菱形；
（2）由（1）知，四边形ABEF是菱形，根据勾股定理求出BE的长，在菱形ABEF中利用等面积法表示出AH，进而求解．
【解答】解：【教材呈现】根据定义：有一组邻边相等的矩形是正方形可得；
故答案为邻边相等的矩形；
【问题拓展】（1）由折叠，得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE．
∴∠BEA＝∠FAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝BE．
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴▱ABEF是菱形；
（2）如图，过点A作AH⊥BE于点H，BF交AE于点O，
由（1）知四边形ABEF是菱形，
∴OB＝BF＝4，OE＝AE＝3，
在Rt△OBE中，BE＝＝5，
∴S菱形ABEF＝BE×AH＝＝＝24，
∴AH＝＝，
∴S平行四边形ABCD＝（BE+CE）×AH＝（5+2）×＝；
故答案为，
23．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝15，BC＝27，AE⊥BC于点E，且BE＝9．点P从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点Q从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止，连结PQ．设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求AE的长；
（2）分别求AQ和PE的长（用含t的代数式表示）；
（3）当线段PQ最短时，求t的值；
（4）在整个运动过程中，当以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【分析】（1）在Rt△ABE中，利用勾股定理可解；
（2）利用时间乘以速度等于路程可解，其中AQ＝AD﹣DQ，PE的长需要分类讨论；
（3）当PQ最短时，四边形AQPE为矩形，AQ＝PE进行求解；
（4）需要分类讨论，点P在E点左侧还是右侧时，分别进行求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝15，BE＝9，
∴AE＝＝12；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝27，
当P点运动到点E时，t＝＝3，当点P运动到点C时，t＝＝9，
①当0＜t≤3时，PE＝BE﹣BP＝9﹣3t；
②当3＜t≤9时，PE＝BP﹣BE＝3t﹣9；
AQ＝AD﹣DQ＝27﹣2t （0＜t≤9），
（3）当线段PQ最短时，四边形AQPE为矩形，AQ＝PE，此时t＞3，
∴3t﹣9＝27﹣2t，
解得t＝（s），
（4）以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，
①当四边形PEDQ为平行四边形时，0＜t≤3，PE＝DQ，
∴9﹣3t＝2t，
解得t＝，
②当四边形EPDQ为平行四边形时，3＜t≤9，EP＝DQ，
∴3t﹣9＝2t，
解得t＝9，
综合上述，当t＝或9时，以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．
24．（12分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．
列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
1
2
1
0
1
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）观察描出的这些点的分布，请你连线，在所给平面直角坐标系中作出此分段函数的图象．
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①求此函数与y轴的交点坐标．
②点A（﹣5，y1）、B（﹣，y2）在函数图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
③点C（x1，5）、B（x2，）也在函数图象上，则x1 ＞ x2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
④当函数值y＝3时，自变量x的值为 4 ．
⑤若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，则a的取值范围为 0＜a＜2 ．
【分析】（1）连接图中的点即可解决；
（2）①分段讨论，令x＝0，求出每段函数对应的y值，即可求解；
②根据图象可得，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，又﹣5＜，所以y1＜y2；
③根据图象可得当x≤1时，y的最大值为2，由于2＜＜5，所以x1和x2均大于1，根据图象的性质即可判定x1和x2的大小；
④由于x≤1时，y的最大值为2，所以x＞1时，y＝x﹣1，令y＝3，即可求解出x；
⑤由函数图象即可得到a的取值范围．
【解答】解：（1）如图，
（2）①当x≤﹣1时，y＝，
∵x≤﹣1
∴此时函数与y轴无交点，
当x＞﹣1时，y＝|x﹣1|，
令x＝0，则y＝1，
∴函数与y轴交点为（0，1），
即函数与y轴交点为（0，1）；
②由图象可得，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，
∵﹣5＜﹣＜﹣1，
∴y1＜y2，
故答案为：＜；
③令x＝﹣1，则y＝﹣＝2，
由图象可得，当x≤1时，y的最大值为2，
∵，
∴x1＞1，x2＞1，
由图象可得，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴x1＞x2，
故答案为：＞；
④由图象可得，当x≤1时，y的最大值为2，
∴当x＞1时，y＝|x﹣1|＝x﹣1，
令y＝3，则x﹣1＝3，
∴x＝4，
故答案为：4；
⑤由图象可得，当a＝2时，直线y＝a与函数图象有两个交点，
当0＜a＜2时，直线y＝a与函数图象有三个交点，
∴a的取值范围为0＜a＜2，
故答案为：0＜a＜2．
2020-2021学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥3
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学成绩的平均数都是108分，方差如下表，则这四名学生成绩最稳定的是（ ）
学生
甲
乙
丙
丁
方差（s2）
86
51.5
63.5
19.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在▱ABCD中，AC＝5cm．若△ACD的周长为14cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．18cm B．19cm C．28cm D．38cm
6．如图，在菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F．若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
8．如图，反比例函数y＝的图象经过点A（8，2），当y＜2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0或x＞8 B．0＜x＜8 C．x＞8 D．x＜8
二、填空（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．计算：+＝ ．
10．小明在参加岗位应聘中，专业知识、工作经验、仪表形象三项的得分分别为：18分、15分、16分．若这三项的重要性之比为5：3：2，则他最终的得分是 分．
11．已知反比例函数的图象经过点（2，4），那么这个反比例函数的表达式是 ．
12．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为 度．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝ ．
14．如图，点E是矩形纸片ABCD的边BC上的一动点，沿直线AE折叠纸片，点B落在点B′位置，连结CB′．若AB＝3，BC＝6，则线段CB′长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）点A、B、C在平面直角坐标系中的位置如图所示，请分别写出点A、B、C的坐标．
16．（6分）一次函数的图象经过点（2，0）和点（0，﹣6），求这个函数的表达式．
17．（6分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
（2）在图②中，画出一个菱形（不能是正方形），使其面积为4．
18．（7分）如图，点E，F分别是▱ABCD对角线AC上两点，AF＝CE．
求证：∠DEC＝∠BFA．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的图象交于点P、点Q．
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值．
20．（7分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市举行．为了调查学生对冬奥知识的了解情况，某校对七、八年级全体学生进行了相关知识测试，然后从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
Ⅰ．七年级20名学生成绩的频数分布表如下：
七年级学生样本成绩频数分布表
成绩m（分）
频数（人数）
50≤m＜60
1
60≤m＜70
2
70≤m＜80
3
80≤m＜90
8
90≤m≤100
6
合计
20
Ⅱ．七年级20名学生成绩在80≤m＜90这一组的具体成绩是：
87 88 88 88 89 89 89 89
Ⅲ．七、八年级学生样本成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数
中位数
众数
七年级
84
n
89
八年级
84.2
85
85
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表中n的值为 ．
（2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级，并说明理由．
（3）七年级共有学生180名，若将不低于80分的成绩定为优秀，请估计七年级成绩优秀的学生人数．
21．（8分）甲、乙两个工程队共同开凿一条隧道，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从隧道的另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队调离一部分工人去完成其他任务，工作效率降低．当隧道打通时，甲队工作了40天，设甲，乙两队各自开凿隧道的长度为y（米），甲队的工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲队的工作效率．
（2）求乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式
（3）求这条隧道的总长度．
22．（9分）【教材呈现】如下是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
把一张矩形纸片如图1那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
上述操作的理由是有一组 是正方形．
【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD（AD＞AB），将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边BC上．
（1）求证：四边形ABEF是菱形．
（2）连结BF，若AE＝6，BF＝8，CE＝2，则▱ABCD的面积为 ．
23．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝15，BC＝27，AE⊥BC于点E，且BE＝9．点P从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点Q从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止，连结PQ．设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求AE的长；
（2）分别求AQ和PE的长（用含t的代数式表示）；
（3）当线段PQ最短时，求t的值；
（4）在整个运动过程中，当以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
24．（12分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．
列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
1
2
1
0
1
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）观察描出的这些点的分布，请你连线，在所给平面直角坐标系中作出此分段函数的图象．
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①求此函数与y轴的交点坐标．
②点A（﹣5，y1）、B（﹣，y2）在函数图象上，则y1 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
③点C（x1，5）、B（x2，）也在函数图象上，则x1 x2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
④当函数值y＝3时，自变量x的值为 ．
⑤若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，则a的取值范围为 ．
2020-2021学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥3
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：点P（﹣3，﹣5）所在的象限是第三象限．
故选：C．
3．甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学成绩的平均数都是108分，方差如下表，则这四名学生成绩最稳定的是（ ）
学生
甲
乙
丙
丁
方差（s2）
86
51.5
63.5
19.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：由表格知丁的方差最小，
所以这四名学生成绩最稳定的是丁，
故选：D．
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先把各选项中的二次根式化简，然后根据同类二次根式的定义进行判断．
【解答】解：＝2，＝2，＝2，＝3，
所以与是同类二次根式．
故选：B．
5．如图，在▱ABCD中，AC＝5cm．若△ACD的周长为14cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．18cm B．19cm C．28cm D．38cm
【分析】先根据AC＝5cm，△ACD的周长为14cm得出AD+CD＝9cm，再结合四边形ABCD是平行四边形知AB＝CD、BC＝AD，从而得出答案．
【解答】解：∵△ACD的周长为14cm，即AD+CD+AC＝14cm，且AC＝5cm，
∴AD+CD＝9cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD、BC＝AD，
则▱ABCD的周长为AB+BC+AD+CD＝9+9＝18（cm），
故选：A．
6．如图，在菱形ABCD中，∠D＝140°，则∠1的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】由菱形的性质得到DA＝DC，∠DAC＝∠1，由等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝∠1，根据三角形的内角和定理求出∠DAC，即可得到∠1．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，
在△ABD中，
∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，
故选：B．
7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F．若AB＝4，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；
∵S△BCD＝BC•CD＝12，故S阴影＝12．
故选：C．
8．如图，反比例函数y＝的图象经过点A（8，2），当y＜2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜0或x＞8 B．0＜x＜8 C．x＞8 D．x＜8
【分析】求得函数值为2时的x的值，根据反比例函数的图象即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（8，2），
即，当y＝2时，x＝8，
结合图象，所以当y＜2时，x＜0或x＞8．
故选：A．
二、填空（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．计算：+＝ 2 ．
【分析】两个相加的二次根式的被开方数相同，可利用二次根式的加法法则直接求和．．
【解答】解：原式＝（1+1）
＝2．
故答案为：2．
10．小明在参加岗位应聘中，专业知识、工作经验、仪表形象三项的得分分别为：18分、15分、16分．若这三项的重要性之比为5：3：2，则他最终的得分是 16.7 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：他最终的得分是：18×+15×+16×＝16.7（分）．
故答案为：16.7．
11．已知反比例函数的图象经过点（2，4），那么这个反比例函数的表达式是 y＝ ．
【分析】将此点坐标代入函数解析式y＝（k≠0）即可求得k的值．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
∵函数的图象经过点（2，4），
∴4＝，得k＝8，
∴反比例函数解析式为y＝．
故答案为：y＝．
12．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为 70 度．
【分析】根据正方形的对称性可知，△ABE与△ADE关于直线AC对称，得到∠AED＝∠AEB，利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和可解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且AC为正方ABCD的对角线，
∴△ABE与△ADE关于直线AC对称，∠ACB＝45°，
∴∠AED＝∠AEB，
∵∠AEB为△EBC的外角，
∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝25°+45°＝70°，
∴∠AED＝70°，
故答案为70．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝ 5 ．
【分析】两直线的交点坐标横坐标为方程x+2＝ax+b的解．
【解答】解：把y＝7代入y＝x+2得，7＝x+2，
解得x＝5，
∴P点的横坐标为5，
∵直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P，
∴方程x+2＝ax+b的解是x＝5．
故答案为5．
14．如图，点E是矩形纸片ABCD的边BC上的一动点，沿直线AE折叠纸片，点B落在点B′位置，连结CB′．若AB＝3，BC＝6，则线段CB′长度的最小值为 3﹣3 ．
【分析】连接AC．当A、B′、C共线时，CB′的值最小，进而解答即可．
【解答】解：如图，连接AC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝，
∵CB′≥AC﹣AB′，
∴当A、B′、C共线时，CB′的值最小为：3﹣3，
故答案为：3﹣3．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）点A、B、C在平面直角坐标系中的位置如图所示，请分别写出点A、B、C的坐标．
【分析】直接根据图形可得三个点的坐标．
【解答】解：由题意可知，点A的坐标为（3，3）；点B的坐标为（﹣3，4）；点C的坐标为（5，﹣2）．
16．（6分）一次函数的图象经过点（2，0）和点（0，﹣6），求这个函数的表达式．
【分析】设出函数解析式为y＝kx+b，再将点（2，0）和（0，﹣6）代入可得出方程组，解出即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．
【解答】解：设所求函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（2，0）、（0，﹣6）代入，得，
解得，
∴所求函数表达式为y＝3x﹣6．
17．（6分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
（2）在图②中，画出一个菱形（不能是正方形），使其面积为4．
【分析】（1）画出底为3，高为2的平行四边形即可；
（2）画出对角线分别为4，2的菱形即可．
【解答】解：（1）如图①中，平行四边形ABCD即为所求；
（2）如图②中，菱形EFGH即为所求．
18．（7分）如图，点E，F分别是▱ABCD对角线AC上两点，AF＝CE．
求证：∠DEC＝∠BFA．
【分析】用SAS证明△BAF≌△DCE即可说明∠DEC＝∠BFA．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
又CE＝AF，
∴△BAF≌△DCE（SAS）．
∴∠DEC＝∠BFA．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的图象交于点P、点Q．
（1）求点P的坐标；
（2）若△POQ的面积为8，求k的值．
【分析】（1）由于PQ∥x轴，则点P的纵坐标为2，然后把y＝2代入y＝得到对应的自变量的值，从而得到P点坐标；
（2）由于S△POQ＝S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数k的几何意义得到|k|+×|6|＝8，然后解方程得到满足条件的k的值．
【解答】解：（1）∵PQ∥x轴，
∴点P的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝得x＝3，
∴P点坐标为（3，2）；
（2）∵S△POQ＝S△OMQ+S△OMP，
∴|k|+×|6|＝8，
∴|k|＝10，
而k＜0，
∴k＝﹣10．
20．（7分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市举行．为了调查学生对冬奥知识的了解情况，某校对七、八年级全体学生进行了相关知识测试，然后从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
Ⅰ．七年级20名学生成绩的频数分布表如下：
七年级学生样本成绩频数分布表
成绩m（分）
频数（人数）
50≤m＜60
1
60≤m＜70
2
70≤m＜80
3
80≤m＜90
8
90≤m≤100
6
合计
20
Ⅱ．七年级20名学生成绩在80≤m＜90这一组的具体成绩是：
87 88 88 88 89 89 89 89
Ⅲ．七、八年级学生样本成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数
中位数
众数
七年级
84
n
89
八年级
84.2
85
85
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）表中n的值为 88.5 ．
（2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级，并说明理由．
（3）七年级共有学生180名，若将不低于80分的成绩定为优秀，请估计七年级成绩优秀的学生人数．
【分析】（1）根据表格中的数据，可以求得n的值；
（2）根据表格中的数据，可以判断该生所在的年级，然后根据表格中的数据，即可说明理由；
（3）根据表格中的数据，可以计算出七年级成绩优秀的学生人数．
【解答】解：（1）由表格中的数据可得，
n＝（88+89）÷2＝88.5，
故答案为：88.5；
（2）在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级是八年级，
理由：∵七年级中位数是88.5，87＜88.5，
∴如果该学生在七年级，排名是后10名，不合题意；
∵八年级中位数是85，85＜87，
∴如果该学生在八年级，排名是前10名，符合题意；
由上可得，在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级是八年级；
（3）180×＝126（人），
答：七年级成绩优秀的学生有126人．
21．（8分）甲、乙两个工程队共同开凿一条隧道，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从隧道的另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队调离一部分工人去完成其他任务，工作效率降低．当隧道打通时，甲队工作了40天，设甲，乙两队各自开凿隧道的长度为y（米），甲队的工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲队的工作效率．
（2）求乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式
（3）求这条隧道的总长度．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲的工作效率；
（2）根据函数图象中的数据可以求得乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式；
（3）将x＝40代入（2）中的函数解析式可以求得乙开凿的隧道的长度，再根据甲的工作效率和工作时间可以求得甲开凿的隧道的长度，从而可以求得这条隧道的总长度．
【解答】解：（1）甲队的工作效率是：750÷25＝30米/天；
（2）设乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
，得，
即乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式是y＝25x+125；
（3）将x＝40代入y＝25x+125，得
y＝25×40+125＝1125，
则这条隧道的总长度是：30×40+1125＝1200+1125＝2325（米），
答：这条隧道的总长度是2325米．
22．（9分）【教材呈现】如下是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
把一张矩形纸片如图1那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
上述操作的理由是有一组 邻边相等的矩形 是正方形．
【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD（AD＞AB），将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边BC上．
（1）求证：四边形ABEF是菱形．
（2）连结BF，若AE＝6，BF＝8，CE＝2，则▱ABCD的面积为 ．
【分析】（1）首先证明ABEF是平行四边形，再根据平行四边形邻边相等证明是菱形；
（2）由（1）知，四边形ABEF是菱形，根据勾股定理求出BE的长，在菱形ABEF中利用等面积法表示出AH，进而求解．
【解答】解：【教材呈现】根据定义：有一组邻边相等的矩形是正方形可得；
故答案为邻边相等的矩形；
【问题拓展】（1）由折叠，得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥BE．
∴∠BEA＝∠FAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝BE．
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴▱ABEF是菱形；
（2）如图，过点A作AH⊥BE于点H，BF交AE于点O，
由（1）知四边形ABEF是菱形，
∴OB＝BF＝4，OE＝AE＝3，
在Rt△OBE中，BE＝＝5，
∴S菱形ABEF＝BE×AH＝＝＝24，
∴AH＝＝，
∴S平行四边形ABCD＝（BE+CE）×AH＝（5+2）×＝；
故答案为，
23．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝15，BC＝27，AE⊥BC于点E，且BE＝9．点P从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向终点C运动；点Q从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止，连结PQ．设点P运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）求AE的长；
（2）分别求AQ和PE的长（用含t的代数式表示）；
（3）当线段PQ最短时，求t的值；
（4）在整个运动过程中，当以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【分析】（1）在Rt△ABE中，利用勾股定理可解；
（2）利用时间乘以速度等于路程可解，其中AQ＝AD﹣DQ，PE的长需要分类讨论；
（3）当PQ最短时，四边形AQPE为矩形，AQ＝PE进行求解；
（4）需要分类讨论，点P在E点左侧还是右侧时，分别进行求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝15，BE＝9，
∴AE＝＝12；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝27，
当P点运动到点E时，t＝＝3，当点P运动到点C时，t＝＝9，
①当0＜t≤3时，PE＝BE﹣BP＝9﹣3t；
②当3＜t≤9时，PE＝BP﹣BE＝3t﹣9；
AQ＝AD﹣DQ＝27﹣2t （0＜t≤9），
（3）当线段PQ最短时，四边形AQPE为矩形，AQ＝PE，此时t＞3，
∴3t﹣9＝27﹣2t，
解得t＝（s），
（4）以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，
①当四边形PEDQ为平行四边形时，0＜t≤3，PE＝DQ，
∴9﹣3t＝2t，
解得t＝，
②当四边形EPDQ为平行四边形时，3＜t≤9，EP＝DQ，
∴3t﹣9＝2t，
解得t＝9，
综合上述，当t＝或9时，以点E、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．
24．（12分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．
列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
1
2
1
0
1
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）观察描出的这些点的分布，请你连线，在所给平面直角坐标系中作出此分段函数的图象．
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①求此函数与y轴的交点坐标．
②点A（﹣5，y1）、B（﹣，y2）在函数图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
③点C（x1，5）、B（x2，）也在函数图象上，则x1 ＞ x2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
④当函数值y＝3时，自变量x的值为 4 ．
⑤若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，则a的取值范围为 0＜a＜2 ．
【分析】（1）连接图中的点即可解决；
（2）①分段讨论，令x＝0，求出每段函数对应的y值，即可求解；
②根据图象可得，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，又﹣5＜，所以y1＜y2；
③根据图象可得当x≤1时，y的最大值为2，由于2＜＜5，所以x1和x2均大于1，根据图象的性质即可判定x1和x2的大小；
④由于x≤1时，y的最大值为2，所以x＞1时，y＝x﹣1，令y＝3，即可求解出x；
⑤由函数图象即可得到a的取值范围．
【解答】解：（1）如图，
（2）①当x≤﹣1时，y＝，
∵x≤﹣1
∴此时函数与y轴无交点，
当x＞﹣1时，y＝|x﹣1|，
令x＝0，则y＝1，
∴函数与y轴交点为（0，1），
即函数与y轴交点为（0，1）；
②由图象可得，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，
∵﹣5＜﹣＜﹣1，
∴y1＜y2，
故答案为：＜；
③令x＝﹣1，则y＝﹣＝2，
由图象可得，当x≤1时，y的最大值为2，
∵，
∴x1＞1，x2＞1，
由图象可得，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴x1＞x2，
故答案为：＞；
④由图象可得，当x≤1时，y的最大值为2，
∴当x＞1时，y＝|x﹣1|＝x﹣1，
令y＝3，则x﹣1＝3，
∴x＝4，
故答案为：4；
⑤由图象可得，当a＝2时，直线y＝a与函数图象有两个交点，
当0＜a＜2时，直线y＝a与函数图象有三个交点，
∴a的取值范围为0＜a＜2，
故答案为：0＜a＜2．
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