2020-2021学年吉林省长春市绿园区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年吉林省长春市绿园区八年级（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年吉林省长春市绿园区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）计算3﹣2的结果是（　　）
A．﹣9 B．9 C． D．
2．（3分）华为自主研发的麒麟990芯片晶体管栅极宽度达0.000000007mm，0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣8 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣8 D．0.7×10﹣9
3．（3分）下列各点中，位于直角坐标系第二象限的点是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
4．（3分）分式﹣可变形为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
5．（3分）已知一次函数y＝（1+2m）x﹣3中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣ B．m≥﹣ C．m＜﹣ D．m＞
6．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
7．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝（　　）

A．20° B．40° C．80° D．100°
8．（3分）如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y＝（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（　　）

A． B． C．2 D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是　 　．
10．（3分）将正比例函数y＝3x的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为　 　．
11．（3分）计算（﹣）3的结果是　 　．
12．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的周长为　 　．

13．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为　 　．

14．（3分）如图，直角坐标系中，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线y＝﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．
当点（3，0）在正方形ABCD内部时，t的取值范围是　 　．

三、解答题（共10题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝2021．
16．（6分）反比例函数y＝与一次函数y＝2x﹣4的图象都过A（m，2）．
（1）求A点坐标；
（2）求反比例函数解析式．
17．（6分）图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．按要求在图①、图②中确定点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形．

要求：（1）点D在格点上，且以A、B、C、D为顶点的四边形为中心对称图形；
（2）所画的两个四边形不全等．
18．（7分）为贯彻习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在荒坡上种植2000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务．原计划每天种多少棵树？
19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当∠BAC＝　 　°时，四边形ADCE是一个正方形．

20．（7分）我们约定：体重在选定标准的±5%范围之内时都称为“一般体重”．为了解某校八年级男生中具有“一般体重”的人数，我们从该校八年级男生中随机选出10名男生，测量出他们的体重（单位：kg），收集并整理得到如下统计表：
男生序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
体重x（kg）
45
62
55
58
67
80
53
65
60
55
根据以上表格信息解决如下问题：
（1）将这组数据的三个统计量：平均数、中位数和众数填入下表：
平均数
中位数
众数
　 　
　 　
　 　
（2）为了刻画这组数据的集中趋势，反映这组数据的平均水平，我们应选择 　 　（填平均数、中位数或众数）作为选定标准．若按此选定标准，请通过计算找出这10名男生中具有“一般体重”的男生的序号．
21．（8分）某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费．如图是居民每户每月的水（自来水）费y（元）与所用的水（自来水）量x（吨）之间的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）当17≤x≤30时，求y与x之间的函数关系式；
（2）已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月的用水量；
（3）当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费．

22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：OA＝OC，OB＝OD．

请根据教材中的分析，结合图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程．
证明：
【性质应用】
如图②，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，
（1）求证：OE＝OF
（2）连结AF，若EF⊥AC，△ABF周长是15，则▱ABCD的周长是 　 　．

23．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，延长BC至M，使BM＝5．以BD、BM为邻边作▱DBMN．动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DN向终点N运动，过点P作PQ⊥BM交BM或BM的延长线于点Q，以PQ为边向右作正方形PQRS．设正方形PQRS与▱DBMN的重叠部分的面积为y，点P运动的时间为x（x＞0，单位：秒）．

（1）用含x的代数式表示线段PN为 　 　；
（2）当点S与点N重合时，求x的值；
（3）当正方形PQRS与▱DBMN的重叠部分不是正方形时，求y与x之间的函数关系式；
（4）当△DQS或△PRN是直角三角形时，直接写出x的值．
24．（12分）已知函数y＝．
（1）该函数图象与y轴交点的纵坐标是 　 　；
（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
（3）若点P是该函数图象上一点，点A的坐标是（3，0）．当△OPA的面积为6时，求点P的坐标；
（4）当直线y＝kx+1（k≠0）与该函数图象有两个交点时，直接写出k的取值范围．


2020-2021学年吉林省长春市绿园区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）计算3﹣2的结果是（　　）
A．﹣9 B．9 C． D．
【分析】直接利用负指数幂的性质进而得出答案．
【解答】解：3﹣2＝．
故选：C．
2．（3分）华为自主研发的麒麟990芯片晶体管栅极宽度达0.000000007mm，0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣8 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣8 D．0.7×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000007用科学记数法可以表示为7×10﹣9．
故选：B．
3．（3分）下列各点中，位于直角坐标系第二象限的点是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、（2，1）在第一象限，故本选项错误；
B、（﹣2，﹣1）在第三象限，故本选项错误；
C、（2，﹣1）在第四象限，故本选项错误；
D、（﹣2，1）在第二象限，故本选项正确．
故选：D．
4．（3分）分式﹣可变形为（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据分式的基本性质进行解答即可．
【解答】解：把分式和分式的分母同时乘以﹣1得，（﹣1）×（﹣）＝．
故选：D．
5．（3分）已知一次函数y＝（1+2m）x﹣3中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣ B．m≥﹣ C．m＜﹣ D．m＞
【分析】根据一次函数的性质解题，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么k＜0．
【解答】解：函数值y随自变量x的增大而减小，那么1+2m＜0，
解得m＜﹣．
故选：C．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　）

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB＝BE，根据AD、AB的值，求出EC的长．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝3cm，
∵BC＝AD＝5cm，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2cm，
故选：B．
7．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝（　　）

A．20° B．40° C．80° D．100°
【分析】根据矩形的性质可得OA＝OD，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题
【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OD＝OB＝OA＝OC，
∵∠OAD＝40°，
∴∠ODA＝∠OAD＝40°，
∴∠COD＝∠ODA+∠OAD＝40°+40°＝80°，
故选：C．
8．（3分）如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y＝（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（　　）

A． B． C．2 D．
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k＝6，a＝3，再利用待定系数法求出直线OM的解析式为y＝x，然后确定C点坐标，再根据三角形面积公式求解．
【解答】解：把P（2，3），M（a，2）代入y＝得k＝2×3＝2a，解得k＝6，a＝3，
设直线OM的解析式为y＝mx，
把M（3，2）代入得3m＝2，解得m＝，
所以直线OM的解析式为y＝x，当x＝2时，y＝×2＝，
所以C点坐标为（2，），
所以△OAC的面积＝×2×＝．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是　x≠﹣2　．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+2≠0，
解得x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
10．（3分）将正比例函数y＝3x的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为　y＝3x﹣4　．
【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．
【解答】解：将正比例函数y＝3x的图象向下平移4个单位长度，所得的函数解析式为y＝3x﹣4．
故答案为y＝3x﹣4．
11．（3分）计算（﹣）3的结果是　﹣　．
【分析】根据分式的乘方法则计算，得到答案．
【解答】解：（﹣）3＝﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
12．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的周长为　28　．

【分析】根据菱形的性质可得：AB＝AD，然后根据∠A＝60°，可得三角形ABD为等边三角形，继而可得出边长以及周长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵BD＝7，
∴AB＝BD＝7，
∴菱形ABCD的周长＝4×7＝28．
故答案为：28．
13．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为　5　．

【分析】根据正方形性质得出AD＝BC＝CD＝AB，根据面积求出EM，得出BC＝4，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：
过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD＝AB，
∴EM＝AD，BM＝CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM＝8，
解得：EM＝4，
即AD＝DC＝BC＝AB＝4，
∵CE＝3，
由勾股定理得：BE＝＝＝5，
故答案为：5．
14．（3分）如图，直角坐标系中，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线y＝﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．
当点（3，0）在正方形ABCD内部时，t的取值范围是　＜t＜3　．

【分析】根据点P的横坐标表示出AB，由点C的横坐标大于3列出不等式求解即可．
【解答】解：∵点P（t，0），AB∥y轴，
∴点A（t，t），B（t，﹣t），
∴AB＝|t﹣（﹣t）|＝|t|，
∵t＞0时，点C的横坐标为t+t＝t，
∵点（3，0）在正方形ABCD内部，
∴t＞3，且t＜3，
解得t＞且t＜3，
∴＜t＜3；
故答案为：＜t＜3．
三、解答题（共10题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝2021．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入即可．
【解答】解：原式＝＝
＝
＝，
当a＝2021时，
原式＝．
16．（6分）反比例函数y＝与一次函数y＝2x﹣4的图象都过A（m，2）．
（1）求A点坐标；
（2）求反比例函数解析式．
【分析】（1）将点A（m，2）代入y＝2x﹣4求得m即可；
（2）将所求点A的坐标代入反比例函数解析式求得k即可．
【解答】解：（1）将点A（m，2）代入y＝2x﹣4得：
2m﹣4＝2，
解得：m＝3，
∴点A的坐标为（3，2）；

（2）将点A（3，2）代入y＝得：k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝．
17．（6分）图①、图②均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．按要求在图①、图②中确定点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形．

要求：（1）点D在格点上，且以A、B、C、D为顶点的四边形为中心对称图形；
（2）所画的两个四边形不全等．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质作出图形即可；
（2）根据题意作出四边形ABCD即可．
【解答】解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求；
（2）如图②，四边形ABCD即为所求．

18．（7分）为贯彻习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在荒坡上种植2000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务．原计划每天种多少棵树？
【分析】设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+25%）x棵树，根据实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+25%）x棵树，
依题意，得：﹣＝5，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种80棵树．
19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当∠BAC＝　90　°时，四边形ADCE是一个正方形．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠CAD＝∠BAC，根据等式的性质，可得∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°，根据垂线的定义，可得∠ADC＝∠CEA，根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得AD与CD的关系，根据正方形的判定，可得答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，
∴∠CAD＝∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAE＝∠CAM．
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形，
故答案为：90．
20．（7分）我们约定：体重在选定标准的±5%范围之内时都称为“一般体重”．为了解某校八年级男生中具有“一般体重”的人数，我们从该校八年级男生中随机选出10名男生，测量出他们的体重（单位：kg），收集并整理得到如下统计表：
男生序号
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
体重x（kg）
45
62
55
58
67
80
53
65
60
55
根据以上表格信息解决如下问题：
（1）将这组数据的三个统计量：平均数、中位数和众数填入下表：
平均数
中位数
众数
　60　
　59　
　55　
（2）为了刻画这组数据的集中趋势，反映这组数据的平均水平，我们应选择 　平均数　（填平均数、中位数或众数）作为选定标准．若按此选定标准，请通过计算找出这10名男生中具有“一般体重”的男生的序号．
【分析】（1）根据平均数、众数和中位数的概念求解可得；
（2）根据平均数的意义求解可得．
【解答】解：（1）这组数据按从小到大的顺序排列为：45，53，55，55，58，60，62，65，67，80，
则平均数为：（45+53+55+55+58+60+62+65+67+80）＝60（kg）；
中位数为：＝59（kg）；
众数为：55；
补全表格如下：
平均数
中位数
众数
60
59
55
（2）∵平均数刻画了一组数据的集中趋势，能够反映一组数据的平均水平．
∴选平均数作为标准．
当体重x满足：60（1﹣5%）≤x≤60×（1+5%），即57≤x≤63时为“一般体重”，
∴这10名男生中具有“一般体重”的男生的序号为②，④，⑨．
故答案为：平均数．
21．（8分）某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费．如图是居民每户每月的水（自来水）费y（元）与所用的水（自来水）量x（吨）之间的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）当17≤x≤30时，求y与x之间的函数关系式；
（2）已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月的用水量；
（3）当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费．

【分析】（1）根据图示知，该直线经过点（20，66），（30，116），则由待定系数法来求y与x之间的函数关系式；
（2）把y＝91代入（1）中的函数关系式，求得x的值即可；
（3）先求出当0≤x＜17时，y与x之间的函数关系式，把x＝15代入可求解．
【解答】21．解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
由题意得：，
∴，
y与x之间的函数关系式为：y＝5x﹣34（17≤x≤30）；
（2）当y＝91元＞51元，
∴91＝5x﹣34x＝25，
答：这户居民上月用水量25吨．
（3）当x＝17吨时，y＝5×17﹣34＝51（元），
∴当0≤x＜17时，y与x之间的函数关系式为：y＝3x，
当x＝15吨时，y＝45元，
答：这户居民这个月的水费45元．
22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：OA＝OC，OB＝OD．

请根据教材中的分析，结合图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质的完整的证明过程．
证明：
【性质应用】
如图②，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，
（1）求证：OE＝OF
（2）连结AF，若EF⊥AC，△ABF周长是15，则▱ABCD的周长是 　30　．

【分析】【教材呈现】证△AOB≌△COD（ASA），即可得出OA＝OC，OB＝OD；
【性质应用】
（1）证△OAE≌△OCF（ASA），即可得出OE＝OF；
（2）由线段垂直平分线的性质得AF＝CF，再由三角形的周长得AB+BC＝15，即可求解．
【解答】【教材呈现】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OA＝OC，OB＝OD；
【性质应用】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）解：∵OA＝OC，EF⊥AC，
∴AF＝CF，
∵△ABF的周长是15，
∴AB+BF+AF＝AB+BF+CF＝AB+BC＝15，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝30，
故答案为：30．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，延长BC至M，使BM＝5．以BD、BM为邻边作▱DBMN．动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DN向终点N运动，过点P作PQ⊥BM交BM或BM的延长线于点Q，以PQ为边向右作正方形PQRS．设正方形PQRS与▱DBMN的重叠部分的面积为y，点P运动的时间为x（x＞0，单位：秒）．

（1）用含x的代数式表示线段PN为 　5﹣x　；
（2）当点S与点N重合时，求x的值；
（3）当正方形PQRS与▱DBMN的重叠部分不是正方形时，求y与x之间的函数关系式；
（4）当△DQS或△PRN是直角三角形时，直接写出x的值．
【分析】（1）由四边形DBMN是平行四边形，得DN＝BM＝5，而DP＝x，即得PN＝DN﹣DP＝5﹣x，
（2）由四边形ABQP是矩形，得PQ＝AB＝1，根据四边形PQRS是正方形，即得PS＝PQ＝1，而当点S与点N重合时，PN＝PS＝1，即得DP＝DN﹣PN＝4，可得x＝4；
（3）①当3＜x≤4时，DP＝CQ＝x，QR＝PQ＝1，故CR＝x+1，MR＝CR﹣CM＝x﹣3，即得S△EMR＝•ER•MR＝（x﹣3）2，即正方形PQRS与▱DBMN的重叠部分S＝S正方形PQRS﹣S△EMR＝﹣x2+3x﹣；②当4＜x≤5时，由DN＝5，DP＝x，得PN＝DN﹣DP＝5﹣x，此时正方形PQRS与▱DBMN的重叠部分S＝S△PNF＝PN•PF＝（x﹣5）2＝x2﹣5x+，
（4）①当△DQS时直角三角形时，可得x2+1+2＝（x+1）2，x＝1，②当△PRN是直角三角形时，2+（4﹣x）2+1＝（5﹣x）2，可得x＝3．
【解答】解：（1）∵四边形DBMN是平行四边形，
∴DN＝BM＝5，
∵动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DN向终点N运动，点P运动的时间为x，
∴DP＝x，
∴PN＝DN﹣DP＝5﹣x，
故答案为：5﹣x；
（2）∵四边形ABCD是正方形，PQ⊥BM交BM或BM的延长线于点Q，
∴四边形ABQP是矩形，
∴PQ＝AB＝1，
∵四边形PQRS是正方形，
∴PS＝PQ＝1，
当点S与点N重合时，PN＝PS＝1，
∵DN＝5，
∴DP＝DN﹣PN＝4，
∴x＝＝4；
（3）①当3＜x≤4时，如图：

∵DP＝CQ＝x，QR＝PQ＝1，
∴CR＝x+1，
而CM＝BM﹣BC＝4，
∴MR＝CR﹣CM＝x﹣3，
∵∠EMR＝∠DBC＝45°，
∴△EMR是等腰直角三角形，
∴ER＝MR＝x﹣3，
∴S△EMR＝•ER•MR＝（x﹣3）2，
∴此时正方形PQRS与▱DBMN的重叠部分S＝S正方形PQRS﹣S△EMR＝1﹣（x﹣3）2＝﹣x2+3x﹣；
②当4＜x≤5时，如图：

∵DN＝5，DP＝x，
∴PN＝DN﹣DP＝5﹣x，
∵∠PNF＝∠NMR＝∠DBC＝45°，
∴△PNF是等腰直角三角形，
∴PF＝PN＝5﹣x，
∴此时正方形PQRS与▱DBMN的重叠部分S＝S△PNF＝PN•PF＝（x﹣5）2＝x2﹣5x+，
综上所述，正方形PQRS与▱DBMN的重叠部分S＝；
（4）①当△DQS时直角三角形时，如图：

∵DP＝x，PQ＝PS＝1，
∴DQ2＝DP2+PQ2＝x2+1，QS2＝PQ2+PS2＝2，DS＝x+1，
∵∠DQS＝90°，
∴x2+1+2＝（x+1）2，
∴x＝1；
②当△PRN是直角三角形时，如图：

∵DN＝5，DP＝x，
∴PN＝5﹣x，DS＝DP+PS＝x+1，
∴SN＝DN﹣DS＝4﹣x，
∴PR2＝PS2+SR2＝2，RN2＝SN2+SR2＝（4﹣x）2+1，
∵∠PRN＝90°，
∴2+（4﹣x）2+1＝（5﹣x）2，
∴x＝3，
综上所述，当△DQS或△PRN是直角三角形时，x＝1或x＝3．
24．（12分）已知函数y＝．
（1）该函数图象与y轴交点的纵坐标是 　（0，3）　；
（2）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
（3）若点P是该函数图象上一点，点A的坐标是（3，0）．当△OPA的面积为6时，求点P的坐标；
（4）当直线y＝kx+1（k≠0）与该函数图象有两个交点时，直接写出k的取值范围．

【分析】（1）令x＝0，求得y＝3，即可求解；
（2）根据两点法画出函数图像；
（3）分两种情况讨论：设点P（m，m﹣3），当m＞3时，×AO×（m﹣3）＝6；当m＜3时，×AO×（3﹣m）＝6，分别求出m即可求解；
（4）当直线y＝kx+1与y＝x﹣3平行时，k＝1，所以k＜1时，直线y＝kx+1与函数有两个交点；当直线y＝kx+1经过点（3，0）时，3k+1＝0，所以k＞﹣时，直线y＝kx+1与函数有两个交点，即可求出k的取值范围．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴函数图象与y轴的交点为（0，3），
故答案为（0，3）；
（2）如图：
（3）设点P（m，m﹣3），
当m＞3时，
∴△OPA的面积＝×AO×（m﹣3）＝6，
∴4＝m﹣3，
∴m＝7，
∴点P（7，4）；
当m＜3时，
∴△OPA的面积＝×AO×（3﹣m）＝6，
∴3﹣m＝4，
∴m＝﹣1，
∴点P（﹣1，4）；
综上所述，点P（7，4）或（﹣1，4）；
（4）当直线y＝kx+1与y＝x﹣3平行时，k＝1，
此时直线y＝kx+1与函数有一个交点，
∴k＜1时，直线y＝kx+1与函数有两个交点，
当直线y＝kx+1经过点（3，0）时，3k+1＝0，
∴k＝﹣，
∵直线y＝kx+1经过点（0，1），
∴k＞﹣，
∴k＞﹣时，直线y＝kx+1与函数有两个交点，
∴﹣＜k＜1且k≠0直线y＝kx+1与函数有两个交点．