广西钦州市市直初中2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案）

2020-2021学年广西钦州市市直初中九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）

1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A．x﹣3x＝4 B．x2﹣＝3 C．x3﹣3＝7 D．x2+2x﹣6＝0

2．把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（　　）

A．36° B．72° C．90° D．108°

3．其市气象局预报称：明天本市的降水概率为70%，这句话指的是（　　）

A．明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨 

B．明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨 

C．明天本市一定下雨 

D．明天本市下雨的可能性是70%

4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）

A．CM＝DM B．＝ C．OM＝MD D．∠ACD＝∠ADC

5．在同一直角坐标系中，直线y＝x﹣1与双曲线y＝的交点的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．不确定

6．在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（　　）

A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 

C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交

7．某厂今年一月的总产量为720吨，三月的总产量为500吨，平均每月下降率是x，列方程得（　　）

A．500（1﹣2x）＝720 B．500（1﹣x）2＝720 

C．720（1﹣x）2＝500 D．720（1﹣x2）＝500

8．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y'＝4x3．已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是（　　）

A．x1＝，x2＝﹣ B．x1＝6，x2＝﹣6 

C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝3，x2＝﹣3

9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解只可能是（　　）

A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45

10．一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）

A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 

C．x＞1 D．x＞﹣2

11．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P（5，y3）均在二次函数y＝x2﹣2x+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3＞y1＝y2 B．y1＝y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

13．抛物线y＝﹣（x+2）2+6的对称轴是　       　．

14．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为100cm2，则四边形EDCF的面积为　    　cm2．

15．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的半径是　    　．

16．某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为　   　元．

17．如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A＝66°，那么∠B＝　   　°．

18．如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y＝x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2020B2019B2020的腰长＝　               　．

三、解答题（本大题共8题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（8分）解方程：

（1）x2﹣2＝5；

（2）x（x+2）＝﹣2x+1．

20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知小旗ABCD的四个顶点的坐标分别为A（4，8），B（0，4），C（4，0），D（4，4）．以点C为旋转中心，将小旗逆时针旋转90°，得到小旗A'B'C'D'．

（1）在图中画出旋转后的小旗A'B'C'D'；

（2）写出点A'的坐标；

（3）直接写出旋转过程中点B经过的路径长．

21．（6分）如图，E为△ABC的内心，连接AE并延长交△ABC的外接圆于点D．

求证：DE＝DB．

22．（8分）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？

23．（8分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体V（立方米）的反比例函数，其图象如图：

（1）求出它们的函数关系式；

（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于180千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少？

24．（10分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为提高学生的垃圾分类投放意识，某校决定利用周末组织志愿者参加宣传活动．七年级某班班主任决定从A、B、C、D四名学生中通过抽签的方式确定2名学生去参加活动．抽签规则：将四名学生的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌面上，班主任先从中随机抽取1张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第2张，记下姓名．

（1）“该班学生E被抽中”的概率是　 　；

（2）请用列表或画树状图的方法，求出学生A、C同时被抽中的概率．

25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．

（1）若AB＝8，求图中阴影部分的面积；

（2）若BC＝AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．

26．（10分）如图，以直线x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣3），⊙P以点P（﹣1，﹣）为圆心，过A、B两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点N在⊙P上，S△ABN求的最大值；

（3）在抛物线上是否存在一点M，使得S△ABM＝4？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年广西钦州市市直初中九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）

1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A．x﹣3x＝4 B．x2﹣＝3 C．x3﹣3＝7 D．x2+2x﹣6＝0

【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．

【解答】解：A、未知数的最高次数为1次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

C、未知数的最高次数为3次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

D、是一元二次方程，故此选项符合题意；

故选：D．

2．把如图的五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（　　）

A．36° B．72° C．90° D．108°

【分析】根据这个图形可以分成几个全等的部分，即可计算出旋转的角度．

【解答】解：五角星可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，

因而旋转的角度是360°÷5＝72°，

故选：B．

3．其市气象局预报称：明天本市的降水概率为70%，这句话指的是（　　）

A．明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨 

B．明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨 

C．明天本市一定下雨 

D．明天本市下雨的可能性是70%

【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．

【解答】解：明天本市的降水概率为70%，这句话指的是明天本市下雨的可能性是70%．

故选：D．

4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）

A．CM＝DM B．＝ C．OM＝MD D．∠ACD＝∠ADC

【分析】根据垂径定理得到CM＝DM，＝，＝，然后根据圆周角定理得∠ACD＝∠ADC，而对于OM与MD的大小关系不能判断．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CM＝DM，＝，＝

∴∠ACD＝∠ADC．

故选：C．

5．在同一直角坐标系中，直线y＝x﹣1与双曲线y＝的交点的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．不确定

【分析】根据反比例函数和一次函数的性质即可判断．

【解答】解：∵直线y＝x﹣1经过第一、三、四象限，双曲线y＝的两个分支在一、三象限，

∴直线y＝x﹣1与双曲线y＝有两个交点，

故选：C．

6．在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（　　）

A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 

C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交

【分析】由已知点（﹣2，3）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

【解答】解：∵点（﹣2，3）到x轴的距离是3，等于半径，

到y轴的距离是2，小于半径，

∴圆与y轴相交，与x轴相切．

故选：B．

7．某厂今年一月的总产量为720吨，三月的总产量为500吨，平均每月下降率是x，列方程得（　　）

A．500（1﹣2x）＝720 B．500（1﹣x）2＝720 

C．720（1﹣x）2＝500 D．720（1﹣x2）＝500

【分析】根据该厂今年一月及三月的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：依题意得：720（1﹣x）2＝500．

故选：C．

8．给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y'＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x4，则有y'＝4x3．已知函数y＝x3，那么方程y′＝18的解是（　　）

A．x1＝，x2＝﹣ B．x1＝6，x2＝﹣6 

C．x1＝3，x2＝﹣3 D．x1＝3，x2＝﹣3

【分析】先根据新定义得出y′＝3x2，再结合y′＝18知3x2＝18，据此利用直接开平方法求解即可．

【解答】解：∵y＝x3，

∴y′＝3x2，

∵y′＝18，

∴3x2＝18，

则x2＝6，

∴x1＝，x2＝﹣，

故选：A．

9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解只可能是（　　）

A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45

【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间．

【解答】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），

∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，

∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，

只有选项D符合，

故选：D．

10．一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）

A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 

C．x＞1 D．x＞﹣2

【分析】直接根据函数图象可得出结论．

【解答】解：由函数图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，

∴若y1＜y2，则x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．

故选：B．

11．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P（5，y3）均在二次函数y＝x2﹣2x+1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3＞y1＝y2 B．y1＝y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3

【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x＝1，图象开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y3＞y1＝y2．

【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，

∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，

∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，

根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，

∴1＜3＜5，

故y3＞y1＝y2，

故选：A．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】如图连接PC．思想求出PC＝2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．

【解答】解：如图连接PC．

在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，

∴AB＝4，

根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，

∴A′P＝PB′，

∴PC＝A′B′＝2，

∵CM＝BM＝1，

又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，

∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．

故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）

13．抛物线y＝﹣（x+2）2+6的对称轴是　直线x＝﹣2　．

【分析】所给抛物线是顶点式，可直接得出抛物线的对称轴．

【解答】解：∵抛物线y＝a（x+h）2+k的对称轴是直线x＝﹣h，

∴抛物线y＝﹣（x+2）2+6的对称轴是直线x＝﹣2．

故选：直线x＝﹣2．

14．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为100cm2，则四边形EDCF的面积为　100　cm2．

【分析】连接AC，BD，根据ASA定理可得出△AOE≌△COF，同理可得△AOB≌△COD，△BOF≌△DOE，故可得出四边形EDCF的面积．

【解答】解：连接AC，BD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO．

在△AOE与△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

同理可得△AOB≌△COD，△BOF≌△DOE，

∴S四边形EDCF＝S四边形AEFB＝100（cm2）．

故答案为：100．

15．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的半径是　4或5　．

【分析】这个三角形的外接圆直径是斜边长，有两种情况情况：（1 ）斜边是BC，即外接圆直径是8；（2 ）斜边是AC，即外接圆直径是10．

【解答】解：根据题意得

（1）斜边是BC，即外接圆直径是8，半径为4；

（2 ）斜边是AC，即外接圆直径＝＝10，半径为5；

故答案为4或5．

16．某商品进货单价为30元，按40元一个销售能卖40个；若销售单价每涨1元，则销量减少1个．为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为　55　元．

【分析】根据题意，总利润＝销售量×每个利润，设售价为x元，总利润为W元，则销售量为40﹣1×（x﹣40），每个利润为（x﹣30），据此表示总利润，利用配方法可求最值．

【解答】解：设售价为x元，总利润为W元，

则W＝（x﹣30）[40﹣1×（x﹣40）]＝﹣x2+110x﹣2400＝﹣（x﹣55）2+625，

则x＝55时，获得最大利润为625元，

故答案为：55．

17．如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A＝66°，那么∠B＝　16　°．

【分析】首先连接DE，由过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，根据圆内接四边形的性质可得：∠C+∠AED＝180°，继而可求得∠C＝90°+∠B，又由三角形内角和定理，即可求得答案．

【解答】解：连接DE，

∵过D、A、C三点的圆的圆心为E，

∴∠C+∠AED＝180°，

∵过B、E、F三点的圆的圆心为D，

∴∠BED＝∠B，

∴∠AED＝180°﹣∠B，

∴∠C＝90°+∠B，

∵∠A+∠C+∠B＝180°，

∴66°+90°+∠B+∠B＝180°，

解得：∠B＝16°．

故答案为：16．

18．如图，点A1、A2、A3、…、An在抛物线y＝x2图象上，点B1、B2、B3、…、Bn在y轴上，若△A1B0B1、△A2B1B2、…、△AnBn﹣1Bn都为等腰直角三角形（点B0是坐标原点），则△A2020B2019B2020的腰长＝　2020　．

【分析】利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结果．

【解答】解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，垂足分别为C、E．

∵△A1B0B1、△A2B1B2都是等腰直角三角形，

∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E．

设A1（a，b），则a＝b，将其代入解析式y＝x2得：

∴a＝a2，

解得：a＝0（不符合题意）或a＝1，

由勾股定理得：A1B0＝，

∴B1B0＝2，

过B1作B1N⊥A2F，设点A（x2，y2），

可得A2N＝y2﹣2，B1N＝x2＝y2﹣2，

又点A2在抛物线上，所以y2＝x22，

（x2+2）＝x22，

解得x2＝2，x2＝﹣1（不合题意舍去），

∴A2B1＝2，

同理可得：

A3B2＝3，

A4B3＝4，

  …

∴A2020B2019＝2020，

∴△A2020B2019B2020的腰长为：2020．

故答案为2020．

三、解答题（本大题共8题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．（8分）解方程：

（1）x2﹣2＝5；

（2）x（x+2）＝﹣2x+1．

【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；

（2）整理后利用配方法求解即可．

【解答】解：（1）x2﹣2＝5，

x2＝7，

解得，x1＝，x2＝﹣；

（2）x（x+2）＝﹣2x+1方程整理得x2+4x＝1，

x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，

∴x+2＝±，

∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．

20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知小旗ABCD的四个顶点的坐标分别为A（4，8），B（0，4），C（4，0），D（4，4）．以点C为旋转中心，将小旗逆时针旋转90°，得到小旗A'B'C'D'．

（1）在图中画出旋转后的小旗A'B'C'D'；

（2）写出点A'的坐标；

（3）直接写出旋转过程中点B经过的路径长．

【分析】（1）分别作出A，B，C，D的对应点A′，B′，C′．D′即可．

（2）根据点的位置确定坐标即可．

（3）利用弧长公式计算即可．

【解答】解：（1）旋转后的小旗A'B'C'D'的位置如图所示．

（2）A′（﹣4，0）．

（3）旋转过程中点B经过的路径长＝＝2π．

21．（6分）如图，E为△ABC的内心，连接AE并延长交△ABC的外接圆于点D．

求证：DE＝DB．

【分析】根据点E是△ABC的内心得出∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，求出∠BED＝∠EBD，即可得出答案．

【解答】证明：如图，连接BE，

∵点E是△ABC的内心，

∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，

∵∠CBD＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠CBD，

∴∠BED＝∠ABE+∠BAD，

∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，

∵∠EBD＝∠CBE+∠CBD，

∴∠BED＝∠EBD，

∴ED＝BD；

22．（8分）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？

【分析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，根据长方体盒子的侧面积为200cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，

依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，

整理，得：2x2﹣25x+50＝0，

解得：x1＝，x2＝10．

当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．

答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．

23．（8分）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体V（立方米）的反比例函数，其图象如图：

（1）求出它们的函数关系式；

（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于180千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少？

【分析】（1）将已知点的坐标代入到反比例函数的一般形式中即可求得其解析式；

（2）代入V＝0.8求得压强即可；

（3）把p＝180代入p＝得，V＝．所以可知当气球内的气压＞180千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于立方米．

【解答】解：（1）函数图象经过已知点（2.5，64）；

设解析式为P＝，

∵图象经过已知点（2.5，64），

∴k＝2.5×64＝160，

所以解析式为：P＝；

（2）当V＝0.8时，P＝＝200千帕；

（3）把p＝180代入P＝得，V＝，

故p≤180时，V≥，

答：气球的体积应不小于立方米．

24．（10分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为提高学生的垃圾分类投放意识，某校决定利用周末组织志愿者参加宣传活动．七年级某班班主任决定从A、B、C、D四名学生中通过抽签的方式确定2名学生去参加活动．抽签规则：将四名学生的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌面上，班主任先从中随机抽取1张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第2张，记下姓名．

（1）“该班学生E被抽中”的概率是　0　；

（2）请用列表或画树状图的方法，求出学生A、C同时被抽中的概率．

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有12个等可能的结果，学生A、C同时被抽中的结果有2个，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）“该班学生E被抽中”的概率为＝0，

故答案为：0；

（2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，学生A、C同时被抽中的结果有2个，

∴学生A、C同时被抽中的为＝．

25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．

（1）若AB＝8，求图中阴影部分的面积；

（2）若BC＝AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．

【分析】（1）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，于是得到∠COD＝90°，根据弧长公式即可得到结论；

（2）由已知条件得到∠BOC＝∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD＝45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD，求得∠ADP＝CAD＝22.5°，得到∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，由扇形的面积公式和三角形面积公式可得到结论．

【解答】解：（1）连接OC，OD，

∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，

∴∠COD＝90°，

∵AB＝8，

∴OC＝AB＝4，

∴S扇形COD＝＝4π，S△OCD＝×OC×OD＝×4×4＝8，

∴图中阴影部分的面积为4π﹣8．

（2）证明：∵BC＝AD，

∴＝，

∴∠BOC＝∠AOD，

∵∠COD＝90°，

∴∠AOD＝45°，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，

∴∠ODA＝67.5°，

∵AD＝AP，

∴∠ADP＝∠APD，

∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，

∴∠ADP＝∠CAD＝22.5°，

∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，

∴PD是⊙O的切线．

26．（10分）如图，以直线x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣3），⊙P以点P（﹣1，﹣）为圆心，过A、B两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点N在⊙P上，S△ABN求的最大值；

（3）在抛物线上是否存在一点M，使得S△ABM＝4？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据二次函数图象及性质得到＝﹣1，b＝2，进行求解即可得到抛物线的额解析式；

（2）根据二次函数解析式推出点A、B坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），从而得到AC＝2，PC＝，利用勾股定理求得⊙P的半径r＝AC＝，结合图形从而可知当点N在直线x＝﹣1与⊙Px轴下方的交点处时S△ABN有最大值，将相关量代入求解即可；

（3）结合题意根据三角形的面积公式得到AB×|x2+2x﹣3|＝4，进行求解即可得到点M的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且与y轴交于点D（0，﹣3），

∴＝﹣1，c＝﹣3，

∴b＝2，

∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）如图，连接PA，直线x＝﹣1与x轴交于点C，

根据（1）可知y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），

∴点A、B坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），

∵P（﹣1，﹣），

∴AC＝2，PC＝，

∴⊙P的半径r＝AC＝＝＝，

结合图形可知当点N在直线x＝﹣1与⊙Px轴下方的交点处时S△ABN有最大值，

即S△ABN＝AB（PC+r）＝×4×（+）＝4，

故S△ABN求的最大值为4；

（3）假设存在点M，并设点M（x，x2+2x﹣3），

∵S△ABM＝4，AB＝4，

∴AB×|x2+2x﹣3|＝4，

∴|x2+2x﹣3|＝2，

∴当x2+2x﹣3＝2时，解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，

当x2+2x﹣3＝﹣2时，解得x＝﹣1+，或x＝﹣1﹣，

故点M的坐标为（﹣1+，2），（﹣1﹣，2），（﹣1+，﹣2），（﹣1+，﹣2）．