数学必修13.2.2 对数函数教案

基础知识课前掌握

1. 计算(lg5)2＋lg2×lg50＝________．

答案：1

解析：原式＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.

2. 若xlog32＝1，则4x＝____________．

答案：9

解析：x＝log23，∴ 4x＝4log23＝22log23＝2log29＝9.

3. (2012·安徽文)(log29)·(log34)＝____________．

答案：4

解析：log29·log34＝·＝＝4.

4. (2012·北京文)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________．

答案：2

解析：由f(ab)＝1，得lgab＝1，所以f(a2)＋f(b2)＝lga2b2＝2lgab＝2.

5. (2012·大纲)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－，则x，y，z的大小关系为________．

答案：y＜z＜x

解析：x＝lnπ＞lne＝1，y＝log52＜log5＝，z＝e－＝＞＝，且z＜1，所以y＜z＜x.

经典例题课堂分析

一、对数的运算

例1.求下列各式的值．—

(1) log535＋2log －log5－log514；

(2) log2×log3×log5.

(3)log3·log5[4－(3)－]；

(4)2(lg)2＋lg·lg 5＋.

解：(1) 原式＝log5＋2log2＝log553－1＝2.

(2) 原式＝××＝××＝－12.

(3)原式＝log3·log5[]

＝·log5(10－3－2)

＝·log55＝－.

(4)原式＝lg (2lg ＋lg 5)＋

＝lg (lg 2＋lg 5)＋|lg －1|

＝lg ·lg(2×5)＋1－lg ＝1.

二、对数函数的图象及应用

例2．作出下列函数的图象：

(1)y＝－1＋lg(x－1)；

(2)y＝lg|x|.

解：(1)(2)的图象分别如图(a)，图(b)．

方法提炼

作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来，一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象.

三、对数函数的性质及应用

例3．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．

(1)求y＝f(x)的定义域；

(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴？

(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值？

解：(1)由ax－bx＞0，得x＞1，由a＞1＞b＞0，得＞1，所以x＞0，即f(x)的定义域为(0，＋∞)．

(2)任取x1＞x2＞0，a＞1＞b＞0，则＞，＜，所以－＞－＞0，

即lg(－)＞lg(－)，故f(x1)＞f(x2)．

所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．

假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使过这两点的直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．

故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴．

(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)．这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，

即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．

例4．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.

(1) 求证：＋＝；

(2) 试比较3x，4y，6z的大小．

(提示：本题模拟高考评分标准，满分14分)

(1) 证明：令k ＝3x＝4y＝6z＞1，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，(3分)

于是＝logk3，＝logk4，＝logk6，从而＋＝2logk3＋logk4＝logk32＋logk4＝logk36＝2logk6，等式成立．(6分)

(2) 解：由于k＞1，故x、y、z ＞0.＝＝＝＝＝＜1；(10分)

＝＝＝＝＝＜1，

故3x＜4y＜6z.(14分)

配套练习课堂自测

1. 设loga＜1，则实数a的取值范围是________

答案：0＜a＜或a＞1

解析：分a＞1与a＜1两种情形进行讨论．

2. 设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg，则a、b、c的大小关系是________．

答案：a＞c＞b

解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0，知a>b.又c＝lge，作商比较知c>b，故a>c>b.

3． (2012·上海文)方程4x－2x＋1－3＝0的解是__________．

答案：log23

解析：令2x＝t，则方程为t2－2t－3＝0.因为t＞0，所以t＝3，即2x＝3，解得x＝log23.

4. 设0＜a＜1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)＜0的x的取值范围是________．

答案：(－∞，loga3)

解析：∵ 0＜a＜1，由f(x)＜0，得a2x－2ax－2＞1，设t＝ax，则t＞0且t2－2t－3＞0，∴ t＞3，即ax＞3，∴ x＜loga3.

5．已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________．

答案：

解析：∵ 3＜2＋log23＜4，

∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4，

∴ f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝＝×＝×＝×＝.

6.若xlog34＝1，求的值．

解：由xlog34＝1，知4x＝3， ∴＝＝4x＋4－x－1＝.

目标达成自我总结

目标达成课后提升

班级：高     （    ）班            姓名_____      _____         得分            

一、基础题（5×6=30）

1.函数y＝lg(x2－2x)的定义域是____________.

答案：{x|x＜0或x＞2}

2．已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(2)<f(3)，则实数a的取值范围是________．

答案：(1，＋∞)

解析：∵ f(2)<f(3)，∴ f(x)＝logax单调递增，则a∈(1，＋∞)．

3.设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差是，则a＝________；

答案：4

解析：∵ a>1，∴ 函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上是增函数，∴ loga2a－logaa＝，∴ a＝4.

4. 设a>1，若对任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值集合为________；

答案：a≥2

解析：由logax＋logay＝3，得y＝，由于函数y＝在[a，2a]上是减函数，∴ y∈，从而解得a≥2.

5.设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________；

答案：－1＜x＜0

解析：由f(－x)＋f(x)＝0，得a＝－1，则由lg<0，得解得－1<x<0.

6.设a，b，c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，则a，b，c的大小关系为________.

答案：a<b<c

解析：∵ 2a＝loga，∴a>0，则2a＝loga>1，∴0<a<.∵ b＝logb，∴b>0，则0<logb<1，∴ <b<1，同理知，1<c<2.∴ a<b<c.

二、提高题（15×3=45）

7. (2012·上海理)已知函数f(x)＝lg(x＋1)．若0＜f(1－2x)－f(x)＜1，则x的取值范围是____________．

答案：

解析：不等式即为0＜lg＜1，所以1＜＜10.又x＋1＞0，所以不等式为0＜x＋1＜2－2x＜10(x＋1)，解得－＜x＜.

8. (2012·南通一模)如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y＝logx，  y＝x， y＝的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为____________．

答案：

解析：由条件，得2＝logx，所以xA＝，xB＝4，于是xC＝4，所以yC＝＝，所以点D的坐标为.

9.已知f (x)＝loga(a>0，a≠1)．

(1) 求f(x)的定义域；             (2)  判断f(x)的奇偶性并给予证明；

(3) 求使f(x)>0的x的取值范围．

解：(1)由＞0，解得x ∈(－1，1)，即f(x)的定义域为(－1，1)．

(2)f是奇函数．证明： f (－x)＝loga＝－loga＝－f (x), 且x∈(－1，1)，∴函数y＝f (x)是奇函数．

(3)若a>1, f (x)>0，则＞1, 解得0<x<1；若0<a<1, f (x)>0，则0＜＜1，解得－1<x<0.

三、能力题（25）

10．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．

(1) 求k的值；

(2) 设g(x)＝log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

(提示：本题模拟高考评分标准，满分16分)

解：(1) 由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，

∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx.(3分)

log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－.(6分)

(2) 函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)有且只有一个实根，化简得方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根．令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根．(9分)

①a＝1t＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝或－3，若a＝t＝－2，不合题意，若a＝－3t＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.(15分)

综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．(16分)

作业点评：