2020-2021学年天津市高二（上）第一次练习数学试卷（10月份）人教A版

这是一份2020-2021学年天津市高二（上）第一次练习数学试卷（10月份）人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若{a→，b→，c→}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )
A.a→，a→+b→，a→−b→B.b→，a→+b→，a→−b→
C.c→，a→+b→，a→−b→D.a→+b→，a→−b→，a→+2b→

2. 若直线l的方向向量为(2, 1, m)，平面α的法向量为(1, 12, 2)，且l⊥α，则m＝（ ）
A.2B.3C.4D.5

3. 若|a→|＝4，|b→|＝4，向量a→与向量b→的夹角为120∘，则向量a→在向量b→上的投影向量为（ ）
A.−34b→B.−12b→C.12b→D.−14b→

4. 如果直线l1:x+2ay−1=0与直线l2：(3a−1)x−ay−1=0平行，则a=( )
A.0B.16C.0或1D.0或16

5. 直线x+3y+2=0的倾斜角为（ ）
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

6. 如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120∘，∠DAA1＝60∘，则AC1＝（ ）

A.1B.2C.3D.2

7. 若点P(3, 4)和点Q(a, b)关于直线x−y−1=0对称，则（ ）
A.a=1，b=−2B.a=2，b=−1C.a=4，b=3D.a=5，b=2

8. 已知直线x+2y−4＝0与直线2x+my+m+3＝0平行，则它们之间的距离为（ ）
A.5B.10C.352D.3102

9. 已知空间中三点A(1, 0, 0)，B(2, 1, −1)，C(0, −1, 2)，则点C到直线AB的距离为（ ）
A.63B.62C.33D.32

10. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，2AC=AA1=BC=2，D为AA1上一点．若二面角B1−DC−C1的大小为60∘，则AD的长为（ ）

A.2B.3C.2D.22
二、填空题（每小题4分，共24分）

设u→，v→分别是平面α，β的法向量，u→=(1, 2, −2)，v→=(−2, −4, m)．若α // β，则实数m＝________．

过直线2x−y+4=0与x−y+5=0的交点，且垂直于直线x−2y=0的直线方程是________．

若向量a→=(x, −1, 1)与b→=(3, 1, −2)的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．

已知直线kx−y+1−3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点________．

经过点(4, 1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________．

已知点P(2, −3)，Q(3, 2)，直线ax+y+2=0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是________．
三、解答题（共36分）

已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3, 0)，B(4, 6)，C(0, 8)．
（1）求BC边上的高所在直线l的方程；

（2）求△ABC的面积．

如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝2，点M是BC的中点．

（1）求异面直线AC1与DM所成角的余弦值；

（2）求直线AC1与平面A1DM所成角的正弦值．

如图，四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC＝PD＝2，M，N分别为棱PC，AD的中点．

（1）求证：BC⊥PD；

（2）求平面PAB与平面MBD夹角余弦值；

（3）求点N到平面MBD的距离．
参考答案与试题解析
2020-2021学年天津市高二（上）第一次练习数学试卷（10月份）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.
【答案】
C
【考点】
空间向量的正交分解及其坐标表示
【解析】
空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A、B、D三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C中的向量不共面
【解答】
解：∵ (a→+b→)+(a→−b→)=2a→，∴ a→，a→+b→，a→−b→共面，不能构成基底，排除 A；
∵ (a→+b→)−(a→−b→)=2b→，∴ b→，a→+b→，a→−b→共面，不能构成基底，排除 B；
∵ a→+2b→=32(a→+b→)−12(a→−b→)，∴ a→+b→，a→−b→，a→+2b→共面，不能构成基底，排除 D；
若c→，a→+b→，a→−b→共面，则c→=λ(a→+b→)+m(a→−b→)=(λ+m)a→+(λ−m)b→，则a→，b→，c→为共面向量，此与{a→，b→，c→}为空间的一组基底矛盾，故c→，a→+b→，a→−b→可构成空间向量的一组基底．
故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
平面的法向量
【解析】
由l⊥α，得l的方向向量为(2, 1, m)与平面α的法向量为(1, 12, 2)平行，列出方程组，能求出m的值．
【解答】
∵ 直线l的方向向量为(2, 1, m)，
平面α的法向量为(1, 12, 2)，且l⊥α，
∴ l的方向向量为(2, 1, m)与平面α的法向量为(1, 12, 2)平行，
∴ (2, 1, m)＝λ(1, 12, 2)．
∴ 2=λ1=12λm=2λ ，解得m＝4．
3.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的含义与物理背景
【解析】
根据条件及投影向量的求解方法即可得出a→在b→上的投影向量为：|a→|cs120⋅b→|b→|，然后化简即可．
【解答】
∵ |a→|=4,|b→|=4,=120，
∴ a→在b→上的投影向量为：|a→|⋅cs120⋅b→|b→|=−12b→．
4.
【答案】
D
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在由13a−1=2a−a≠−1−1，解得a的值．
【解答】
解解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=−1，显然两直线是平行的．
当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，
由13a−1=2a−a≠−1−1，解得：a=16．
综上，a=0或16．
故选D．
5.
【答案】
D
【考点】
直线的一般式方程
【解析】
由直线的方程可得直线的斜率，由倾斜角和斜率的关系可得答案．
【解答】
解：直线x+3y+2=0可化为y=−33x−233，
∴ 直线的斜率为−33，
设直线的倾斜角为α，可得tanα=−33，
∴ α=150∘
故选：D
6.
【答案】
D
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
利用AC1→=AB→+AD→+AA1→，即可求解．
【解答】
∵ AC1→=AB→+AD→+AA1→，
∴ AC1→2=AB→2+AD→2+AA1→2+2AB→⋅AD→+2AB→⋅AA1→+2AD→⋅AA1→
＝1+1+1+2×1×1×(−12)+2×1×1×(−12)+2×1×1×12
＝2，
∴ AC1=2，
7.
【答案】
D
【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
点关于直线对称，可以利用对称点的坐标，两点连线的斜率与直线垂直．然后两点中点在直线上．联立两个一元两次方程求解即得．
【解答】
解：由b−4a−3=−1a+32−b+42=0
解得a=5b=2，
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
根据题意，由直线平行的判断方法可得m的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案．
【解答】
根据题意，直线x+2y−4＝0与直线2x+my+m+3＝0平行，则有m＝2×2＝4，
则两直线的方程为x+2y−4＝0与直线2x+4y+7＝0，
则它们之间的距离d=|7+8|4+16=352；
9.
【答案】
A
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
求出AC→及AB→，进一步求得两向量的夹角，再利用向量法求解即可．
【解答】
依题意，AC→=(−1,−1,2),AB→=(1,1,−1)，则cs=AC→⋅AB→|AC→||AB→|=−1−1−26⋅3=−223，
∴ sin=1−(−223)2=13，
∴ 点C到直线AB的距离为d=|AC|sin=6×13=63．
10.
【答案】
A
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，B1(0,2,2).
设AD=a，
则点D的坐标为(1,0,a)，
CD→=(1,0,a)，CB1→=(0,2,2).
设平面B1CD的法向量为m→=(x,y,z)，
则m→⋅CB1→=0m→⋅CD→=0⇒2y+2z=0x+az=0，
令z=−1，
得m→=(a,1,−1).
又平面C1DC的一个法向量为(0,1,0)，
记为n→，
则由cs60∘=|m→⋅n→||m→||n→|，
得1a2+2=12，
即a=2，
故AD=2．
故选A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
【答案】
4
【考点】
平面与平面平行的性质
平面与平面平行的判定
【解析】
根据α // β时，它们的法向量共线，列出方程求出m的值．
【解答】
u→，v→分别是平面α，β的法向量，u→=(1, 2, −2)，v→=(−2, −4, m)，
当α // β时，λ(1, 2, −2)＝(−2, −4, m)，且λ∈R；
解得λ＝−2，m＝（4）
【答案】
2x+y−8=0
【考点】
过两条直线交点的直线系方程
两条直线的交点坐标
【解析】
联立已知的两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标，所求的直线过交点坐标，然后由两直线垂直时斜率的乘积等于−1，根据已知直线x−2y＝0的斜率即可得到所求直线的斜率，根据一点坐标和求出的斜率写出所求直线的方程即可．
【解答】
解：联立得2x−y+4=0，x−y+5=0，
①−②，得x=1，把x=1代入②，解得y=6，
则原方程组的解为x=1，y=6，
所以两直线的交点坐标为(1, 6).
又因为直线x−2y=0的斜率为12，
所以所求直线的斜率为−2，
则所求直线的方程为y−6=−2(x−1)，
即2x+y−8=0.
故答案为：2x+y−8=0.
【答案】
(−∞, 1)
【考点】
空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】
直接利用向量的数量积和向量的夹角为钝角的充要条件，求出x的范围．
【解答】
向量a→=(x, −1, 1)与b→=(3, 1, −2)，
因为a→与b→夹角为钝角，
所以a→⋅b→=3x−1−2