2020-2021年四川省江油市高二（上）期末考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021年四川省江油市高二（上）期末考试数学（文）试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 直线3x+y=0的倾斜角是( )
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=( )
A.13B.12C.10D.9

3. 将七进制数15(7)化成二进制数后是( )
A.1101(2)B.110(2)C.1111(2)D.1100(2)

4. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3, 4)，则此双曲线的方程为( )
A.x216−y29=1B.x23−y24=1C.x29−y216=1D.x24−y23=1

5. 已知点M1,1，P1,3．若圆C:x+12+y+12=r2r>0与线段MP没有公共点，则r的取值范围是( )
A.22,25B.0,22∪25,+∞C.0,2∪10,+∞D.0,22∪25,+∞

6. 下面程序的运行结果是( )

A.4B.5C.6D.7

7. 在区间[0, 1]上随机取一个数x，则事件“lg0.5(4x−3)≥0”发生的概率为( )
A.34B.23C.13D.14

8. 已知点F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(1,2)C.(2,1+2)D.(1,1+2)

9. 若从3个海滨城市和2个内陆城市中随机选2个城市去旅游，那么概率是710所对应的事件是( )
A.至少选一个海滨城市B.恰好选一个海滨城市
C.至多选一个海滨城市D.两个都选海滨城市

10. 光线从点(−2,−3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+(y−2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.−53或−35B.−23或−32C.−43或−34D.−54或−45

11. 已知圆C的圆心C−1,−1，半径为22.直线l1:x−2y+4=0与圆C交于M，N两点；直线l2:kx+y+3k−3=0与圆C交于P，Q两点，则四边形PMQN面积的最大值是( )
A.46B.126C.16D.23

12. 已知点P是椭圆x216+y28=1(x≠0, y≠0)上的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且F1M→⋅MP→=0，则|OM|的取值范围是( )
A.[0, 3)B.(0, 22)C.[22, 3)D.[0, 4]
二、填空题

口袋内有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率为0.6，那么摸出白球的概率是________.

空间点A1,−2,3关于x轴的对称点为A1，点A1,−2,3关于xy面的对称点为A2，则|A1A2|=________.

已知点A−2,4，抛物线x2=8y的焦点为F，在此抛物线上存在一点P，使△APF的周长最小，则最小周长是________.

当m≠0时，有一组圆Cm:x−m+22+y−2m2=m2m≠0．对于下列四个结论：
①圆心一定在定直线y=2x+4上；②存在定直线与所有的圆均相切；③不存在直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点.其中正确结论的序号是________.
三、解答题

高二某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，如图所示：
试根据图表中的信息解答下列问题：
(1)求全班的学生人数及数学测试成绩的中位数；

(2)为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[80,90)，[90,100]分数段的试卷中抽取6人进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的3名学生成绩都位于[80,90)分数段的概率．

已知某商品的价格x（元）与需求量y（件）之间的关系有如下散点图：
且i=15xi=75，i=15yi=83，i=15x12=1165，i=15xiyi=1165.
(1)用最小二乘法求回归直线方程；

(2)若商品的需求量为30件，则商品的价格估计定为多少元比较合理？
附：对于一组数据x1,y1,x2,y2，⋯，xn,yn，其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nx1−x¯2，a=y¯−bx¯.

为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为49.

(1)求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；

(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效；

(3)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为发病与是否注射疫苗有关？
附：k2=a+b+c+dad−bc2a+bc+da+cb+d，

定点M2,−6，动点N在圆x2+y2=4上运动，线段MN的中点为P.
(1)求MN的中点P的轨迹方程；

(2)直线l与点P的轨迹相切且l在y轴上的截距是x轴上的截距的3倍，求直线l的方程.

已知动点P到直线l:x=−1的距离等于点P到圆C:x2+y2−4x+1=0的切线长.
(1)求动点P的轨迹曲线E的方程；

(2)若点P32,3，过点P作曲线E的两条动弦PA，PB，且PA，PB的斜率之积等于2，即满足kPA⋅kPB=2，求直线AB所经过的定点坐标.

已知椭圆C:y2a2+x2b2=1a>b>0短轴的两个顶点与上焦点的连线构成等边三角形，直线4x−3y+6=0与以椭圆C的右顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程；

(2)椭圆C与y轴正半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两点，若直线MN过定点0,−1，求△AMN面积的最大值.
参考答案与试题解析
2020-2021年四川省江油市高二(上)期末考试数学(文)试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
无
【解答】
解：因为直线方程是3x+y=0，即y=−3x，
所以该直线的斜率k=−3，
所以该直线的倾斜角是120∘.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
分层抽样方法
【解析】
甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6:4:3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n的值．
【解答】
解：∵ 甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，
∴ 甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6:4:3，
丙车间生产的产品件数所占的比例为313，
因为样本中丙车间生产的产品有3件，
所以样本容量n=3÷313=13.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
进位制
【解析】
15(7)=12.1101(2)=13.110(2)=6.1111(2)=15.1110(2)=12．选D．
【解答】
解：将七进制数15转换为十进制为
15(7)=5×70+1×71=12(10)，
再转换为二进制为
12÷2=6⋯⋯0，
6÷2=3⋯⋯0，
3÷2=1⋯⋯1，
1÷2=0⋯⋯1，
故15(7)=1100(2).
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
根据题意，点(3, 4)到原点的距离等于半焦距，可得a2+b2=25．由点(3, 4)在双曲线的渐近线上，得到ba=43，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程．
【解答】
解：∵ 点(3, 4)在以|F1F2|为直径的圆上，
∴ c=5，可得a2+b2=25①，
又∵ 点(3, 4)在双曲线的渐近线y=bax上，
∴ ba=43②，
①②联立，解得a=3，b=4，
可得双曲线的方程为x29−y216=1.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
∵ 圆是以C−1,−1为圆心，半径为r的圆，∴ 当半径满足r<4|CM|或r>|CP|，圆C与线段MP没有公共点，∵ |CM|=22,|CP|=25，∴ 当025时，
圆C与线段MP没有公共点．选D．
【解答】
解：∵ 圆是以C−1,−1为圆心，半径为r的圆，
|CM|=(−1−1)2+(−1−1)2=22，
|CP|=(−1−1)2+(−1−3)2=25，
∴ 当半径满足r<|CM|或r>|CP|时，圆C与线段MP没有公共点，
∴ 当025时，圆C与线段MP没有公共点.
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
n=10,s=0，直到型，进入循环体后，s=10,n=9;5=19,n=8;s=27,n=7;s=34,n=6;S=40,n=5，这时s≥40成立，跳出循环，输出结果为5．选B．
【解答】
解：n=10，S=0，
直到型，进入循环体后，
S=10，n=9；
S=19，n=8；
S=27，n=7；
S=34，n=6；
S=40，n=5，
这时S≥40成立，跳出循环，输出结果为5.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
由题意可得区间长度，解对数不等式可得事件所占区间长度，由几何概型的概率公式可得．
【解答】
解：在区间[0, 1]上随机取一个数x，则x所占的区间长度为1，
不等式lg0.5(4x−3)≥0可化为0<4x−3≤1，
解得34∴ 事件“lg0.5(4x−3)≥0”发生时x所占的区间长度为14，
∴ 所求概率为14.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用双曲线的对称性及锐角三角形∠AEF<45∘得到AF【解答】
解：∵ △ABE是锐角三角形，
∴ ∠AEB为锐角，
∵ 双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直于x轴，
∴ ∠AEF=∠BEF=12∠AEB<45∘，
∴ AF∵ F为左焦点，设其坐标为(−c, 0)，
∴ A(−c,b2a)，
∴ AF=b2a，EF=a+c，
∴ b2a两边同除以a2，得e2−e−2<0，
解得−1∴ 双曲线的离心率e的范围是(1, 2).
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
从5个城市选取两个城市旅游，有10种选法，若选2个海滨城市的选法有3种，所以选2个海滨城市的概率为310，则只多选一个海滨城市的概率为1−310=710，故选C．
【解答】
解：从5个城市选取两个城市旅游，有10种选法，
选2个海滨城市的选法有3种，
所以选2个海滨城市的概率为310，
则至多选一个海滨城市的概率为1−310=710.
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
圆的切线方程
点到直线的距离公式
【解析】
本题考查直线与圆的方程及位置关系．
【解答】
解：点(−2,−3)关于y轴的对称点为(2,−3)，
故设反射光线所在的直线方程为y+3=k(x−2)，
由直线与圆相切，可得圆心(−3,2)到直线的距离为
d=|5k+5|1+k2=1，
解得k=−43或−34.
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
圆心C−1−1到l1:x−2y+4=0的距离d=5，
弦长|MN|=2222−52=23；
l2:kx+y+3k−3=0过定点T−3,3，kCT=−2，∴CT⊥MN，
当PQ⊥MN（此时正好过圆心C）时四边形PMQN面积最大值12⋅23⋅42=46．
选A．
【解答】
解：如图，
圆心C−1−1到l1:x−2y+4=0的距离d=5，
弦长|MN|=2222−52=23，
l2:kx+y+3k−3=0过定点T−3,3，
kCT=−2，∴CT⊥MN，
当PQ⊥MN（此时正好过圆心C）时，
PQ为圆C的直径，
四边形PMQN面积的最大值为
12⋅23⋅42=46.
故选A.
12.
【答案】
B
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
延长PF2，与F1M 交与点G，由条件判断三角形PF1G为等腰三角形，OM为三角形F1F2G的中位线，故OM=12F2G=12|PF1−PF2|=12|2a−2PF2|，再根据PF2的最值域，求得OM的最值，从而得到结论．
【解答】
解：如图，延长PF2，F1M，交于G点，连接OM，
∵ PM是∠F1PF2的平分线，且F1M→⋅MP→=0，
可得F1M⊥MP，
∴ |PG|=|PF1|，M为F1G的中点，
∵ O为F1F2的中点，M为F1G的中点，
∴ |OM|=12|F2G|=12||PG|−|PF2||
=12||PF1|−|PF2||，
设P点坐标为(x0, y0)，
∵ 在椭圆x216+y28=1中，离心率e=ca=22，
|PF1|=a+ex0，|PF2|=a−ex0，
∴ ||PF1|−|PF2||=|a+ex0−a+ex0|
=|2ex0|=2|x0|，
∵ P点在椭圆x216+y28=1上，
∴ |x0|∈[0, 4]，
又∵ x≠0，y≠0，可得|x0|∈(0, 4)，
∴ |OM|∈(0,22).
故选B.
二、填空题
【答案】
0.25
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
设红、黄、白球各有a，b，c个，推导出aa+b+c=1−0.6=0.4，ba+b+c=1−0.65=0.35，由此能求出摸出白球的概率．
【解答】
解：设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A，B，C，
则P(A)+P(B)=0.65,P(B)+P(C)=0.6,P(A)+P(B)+P(C)=1,
解得P(B)=0.25．
故答案为：0.25.
【答案】
4
【考点】
空间中的点的坐标
空间两点间的距离公式
空间直角坐标系
【解析】
点A1−2,3关于x轴对称点A1,2,−3，点A1,−2,3关于xy面对称点A21−2,−3，|A1A2|=4．故填4 .
【解答】
解：点A1,−2,3关于x轴的对称点A11,2,−3，
点A1,−2,3关于xy面的对称点A21,−2,−3，
|A1A2|=(1−1)2+(−2−2)2+[−3−(−3)]2=4.
故答案为：4 .
【答案】
6+22
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
因为−22<8×4，所以点A−2,4在抛物线x2=8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥于点Q，过点A作AB⊥l于点B，
连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长：|PF|+|PA|+|AF|=|PQ|+|PA|+|AF|≥|AQ|+|AF|≥|AB|+|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值|AB|+|AF|=6+22．故填6+22 .
【解答】
解：因为−22<8×4，所以点A−2,4在抛物线x2=8y的内部，
抛物线的焦点为F(0,2)，准线为y=−2，
如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，
过点A作AB⊥l于点B，
由抛物线的定义可知△APF的周长
=|PF|+|PA|+|AF|=|PQ|+|PA|+|AF|
≥|AQ|+|AF|≥|AB|+|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，
△APF的周长取得最小值为|AB|+|AF|=6+22.
故答案为：6+22 .
【答案】
①②④
【考点】
直线与圆的位置关系
直线和圆的方程的应用
圆的切线方程
【解析】
m≠0时，圆半径为|m|，圆心Cnm−2,2m，由m≠0知−2,0不是圆心．
①由x=m−2,y=2m得y=2x+4，所以圆心在定直线y=2x+4上，①正确；
②圆心Cmm−2,2m到直线x=−2的距离恒等于|m|，所以直线x=−2与圆相切，②正确；
③圆心Cm到y=0的距离2|m|恒大于|m|，存在直线y=0与所有的圆均不相交；③错误；
④若圆过原点，则有−k+22+−2k2=k2,k2−k+1=0无解，所有圆不经过原点，④正确．
故填①②④ .
【解答】
解：m≠0时，圆的半径为|m|，圆心Cmm−2,2m，
由m≠0知−2,0不是圆心.
①将x=m−2，y=2m代入y=2x+4，是成立的，
所以圆心在定直线y=2x+4上，①正确；
②圆心Cmm−2,2m到直线x=−2的距离恒等于|m|，
所以直线x=−2与圆相切，②正确；
③圆心Cm到y=0的距离2|m|恒大于|m|，
存在直线y=0与所有的圆均不相交；③错误；
④若圆过原点，则有−m+22+−2m2=m2，
因为m2−m+1=0无解，所以圆不经过原点，④正确．
故答案为：①②④ .
三、解答题
【答案】
解：(1)由茎叶图可知，分数在[50,60)上的频数为4，
频率为0.008×10=0.08，
故全班的学生人数为40.08=50，
分数在[70,80)之间的频数为50−4+14+8+4=20 ，
[50,70)的频率为4+1450=0.36，
[50,80)的频率为4+14+2050=0.76，
所以数学测试成绩的中位数位于[70,80)，
设数学测试成绩的中位数为x，
则x−70×0.04=0.5−0.36=0.14，解得x=73.5，
故全班的学生人数为50，数学测试成绩的中位数为73.5分.
(2)按分层抽样，两个分数段的抽样比等于相应人数比．
又[80,90)，[90,100]分数段人数分别为8人，4人，
由此从位于[80,90)分数段抽取6×88+4=4人，
记为B1，B2，B3，B4；
从位于[90,100]分数段抽取6×48+4=2人，记为
A1，A2 .
设事件M为“交流的3名学生成绩都位于[80,90)分数段”．
共有20个基本事件：
则交流的3人成绩都位于[80,90)分数段的概率为
PM=420=15 .
【考点】
众数、中位数、平均数
分层抽样方法
【解析】
（1）由茎叶图可知，分数在[50,60)上的频数为4，频率为0.008×10=0.08，故全班的学生人数为40.08=50．分数在[70,80)之间的频数等于50−4+14+8+4=20 .
[50,70)的频率为0.36，[50,80)的频率为0.76，所以数学测试成绩的中位数位于[70,80)，
设成绩中位数为x，则x−70×0.04=0.5−0.36=0.14，x=73.5 .
故全班的学生人数为50；数学测试成绩的中位数为73.5分．
（2）按分层抽样，两个分数段抽样数比等于相应人数比．又[80,90),[90,100]分数段人数分别为8人，4人，由此抽出6个样本中分数在[80,90)之间的有4人，记为B1,B2,B3,B4；分数在[90,100]之间的有2人，记为A1,A2 .
设事件M：交流的3名学生成绩都位于[80,90)分数段．从中取3人，共有20个基本事件：
则交流的3人成绩都位于[80,90)分数段的概率：PM=420=15 .
【解答】
解：(1)由茎叶图可知，分数在[50,60)上的频数为4，
频率为0.008×10=0.08，
故全班的学生人数为40.08=50，
分数在[70,80)之间的频数为50−4+14+8+4=20 ，
[50,70)的频率为4+1450=0.36，
[50,80)的频率为4+14+2050=0.76，
所以数学测试成绩的中位数位于[70,80)，
设数学测试成绩的中位数为x，
则x−70×0.04=0.5−0.36=0.14，解得x=73.5，
故全班的学生人数为50，数学测试成绩的中位数为73.5分.
(2)按分层抽样，两个分数段的抽样比等于相应人数比．
又[80,90)，[90,100]分数段人数分别为8人，4人，
由此从位于[80,90)分数段抽取6×88+4=4人，
记为B1，B2，B3，B4；
从位于[90,100]分数段抽取6×48+4=2人，记为
A1，A2 .
设事件M为“交流的3名学生成绩都位于[80,90)分数段”．
共有20个基本事件：
则交流的3人成绩都位于[80,90)分数段的概率为
PM=420=15 .
【答案】
解：(1)x¯=i=15xi5=15，y¯=i=15yi5=16.6，
i=15xi2=1165，i=15xiyi=1165，
所以b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=−2，
a=y¯−bx¯=46.6 ，
故回归直线方程为y=−2x+46.6.
(2)当y=30，30=−2x+46.6，
解得x=8.3，商品的价格估计定为8.3元比较合理.
【考点】
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)x¯=i=15xi5=15，y¯=i=15yi5=16.6，
i=15xi2=1165，i=15xiyi=1165，
所以b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2=−2，
a=y¯−bx¯=46.6 ，
故回归直线方程为y=−2x+46.6.
(2)当y=30，30=−2x+46.6，
解得x=8.3，商品的价格估计定为8.3元比较合理.
【答案】
解：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件M，
由已知得PM=y+3090=49，
解得y=10，
所以B=40，A=50，x=30.
(2)未注射疫苗发病率为3050=0.6，
注射疫苗发病率为1040=0.25．
发病率的条形统计图如图所示，
由图可以看出疫苗影响到发病率，疫苗是有效的.
(3)k2=90(20×10−30×30)250×40×40×50=44140=11.025>10.82．
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为发病与是否注射疫苗有关．
【考点】
收集数据的方法
频率分布直方图
独立性检验
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件M，
由已知得PM=y+3090=49，
解得y=10，
所以B=40，A=50，x=30.
(2)未注射疫苗发病率为3050=0.6，
注射疫苗发病率为1040=0.25．
发病率的条形统计图如图所示，
由图可以看出疫苗影响到发病率，疫苗是有效的.
(3)k2=90(20×10−30×30)250×40×40×50=44140=11.025>10.82．
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为发病与是否注射疫苗有关．
【答案】
解：(1)设P点坐标为x,y，N点坐标为x0,y0，
则由中点坐标公式得x0=2x−2,y0=2y+6,
∵ N点在圆x2+y2=4上，
∴ x02+y02=4，
∴ 2x−22+2y+62=4，
∴ x−12+y+32=1，
即点P的轨迹方程为x−12+y+32=1 .
(2)因为直线l在y轴上的截距是x轴上的截距的3倍，
故l的斜率存在且不为0 .
①当直线l在x轴、y轴上的截距都为0时，
设直线l的方程为y=kx，即kx−y=0 .
∵ 直线l与x−12+y+32=1相切，
∴ 圆心到直线l的距离|k+3|k2+12=1，
解得k=−43，
∴ 直线l的方程为y=−43x .
②当l在x轴、y轴上的截距均不为0时，
设直线l的方程为xa+y3a=1，即3x+y−3a=0 ，
∵ 直线l与x−12+y+32=1相切，
则有|3−3−3a|32+12=1，
解得a=103或a=−103 ，
∴ 直线l的方程为3x+y−10=0或3x+y+10=0，
综上可知直线l的方程为y=−43x或y=−3x+10
或y=−3x−10 .
【考点】
轨迹方程
中点坐标公式
直线与圆的位置关系
直线的截距式方程
【解析】
（1）设P点坐标为x,y，N点坐标为x0,y0，
则由中点坐标公式有x0=2x−2y0=2y+6，∵ N点在圆x2+y2=4上，∴ x02+y02=4 .
∴ 2x−22+2y+62=1，∴ x−12+y+32=1，即点P轨迹方程为x−12+y+32=1 .
（2）因为直线l在y轴上的截距是x轴上的截距的3倍，故l的斜率存在且不为0 .
1）当直线l在x轴、y轴上的截距都为0时，设直线1的方程为y=kx，即kx−y=0 .
∵ 直线l与x−12+y+32=1相切，∴ |k+3|k2+1=1⇒k=−43，直线l的方程为y=−43x .
2）当l在x轴、y轴上的截距均不为0时，设直线l的方程为xa+y3a=1，即3x+y−3a=0 .
∵ 直线l与x−12+y+32=1相切，则有|3−3+a|32+1=1，解得a=10或a=−10 .
直线l的方程为3x+y−310=0或3x+y+310=0，
综上可知l的方程为y=−43x或y=−3x+10或y=−3x−10 .
【解答】
解：(1)设P点坐标为x,y，N点坐标为x0,y0，
则由中点坐标公式得x0=2x−2,y0=2y+6,
∵ N点在圆x2+y2=4上，
∴ x02+y02=4，
∴ 2x−22+2y+62=4，
∴ x−12+y+32=1，
即点P的轨迹方程为x−12+y+32=1 .
(2)因为直线l在y轴上的截距是x轴上的截距的3倍，
故l的斜率存在且不为0 .
①当直线l在x轴、y轴上的截距都为0时，
设直线l的方程为y=kx，即kx−y=0 .
∵ 直线l与x−12+y+32=1相切，
∴ 圆心到直线l的距离|k+3|k2+12=1，
解得k=−43，
∴ 直线l的方程为y=−43x .
②当l在x轴、y轴上的截距均不为0时，
设直线l的方程为xa+y3a=1，即3x+y−3a=0 ，
∵ 直线l与x−12+y+32=1相切，
则有|3−3−3a|32+12=1，
解得a=103或a=−103 ，
∴ 直线l的方程为3x+y−10=0或3x+y+10=0，
综上可知直线l的方程为y=−43x或y=−3x+10
或y=−3x−10 .
【答案】
解：(1)圆C的方程为(x−2)2+y2=3，
故圆心C2,0，半径r=3 ，
设Px,y，依题意可得
|x−(−1)|=x−22+y2−3，
整理得y2=6x ，
故曲线E的方程为y2=6x .
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2，
设直线AB为x=my+nm≠0，
代入y2=6x得y2−6my−6n=0，
当Δ=36m2+24n>0时，
y1+y2=6m，y1y2=−6n，
由y12=6x1，y22=6x2，
得x1=y126，x2=y226，
由kPA⋅kPB=y1−3x1−32⋅y2−3x2−32=2，得
y1−3y2−3=2y126−32y226−32
=2y12−96y22−96，
整理得y1+3y2+3=y1y2+3y1+y2+9=18，
可得y1y2+3y1+y2=9，即6m−2n=3，n=3m−32，
所以直线AB:x=my+3m−32=my+3−32过定点−32,−3 .
【考点】
轨迹方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）由已知得，圆心C2,0，半径r=3 .
设Px,y，依题意可得|x+1|=x−22+y2−3=x2+y2−4x+1，整理得y2=6x .
故曲线E的方程为y2=6x .
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，直线AB:x=my+nm≠0，代入y2=6x得y2−6my−6n=0，
当Δ=36m2+24n>0时，y1+y2=6m,y1y2=−6n,y12=6x1,y22=6x2得x1=y126,x2=y226，
由kPA⋅kPB=y1−3x1−32⋅y2−3x2−32=2得y1−3y2−3=2y126−32y226−32=2y12−96y22−96，y1+3y2+3=y1y2+3y1+y2+9=18,y1y2+3y1+y2=9,6m−2n=3,n=3m−32，
所以直线AB:x=my+3m−32=my+3−32过定点−32,−3 .
【解答】
解：(1)圆C的方程为(x−2)2+y2=3，
故圆心C2,0，半径r=3 ，
设Px,y，依题意可得
|x−(−1)|=x−22+y2−3，
整理得y2=6x ，
故曲线E的方程为y2=6x .
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2，
设直线AB为x=my+nm≠0，
代入y2=6x得y2−6my−6n=0，
当Δ=36m2+24n>0时，
y1+y2=6m，y1y2=−6n，
由y12=6x1，y22=6x2，
得x1=y126，x2=y226，
由kPA⋅kPB=y1−3x1−32⋅y2−3x2−32=2，得
y1−3y2−3=2y126−32y226−32
=2y12−96y22−96，
整理得y1+3y2+3=y1y2+3y1+y2+9=18，
可得y1y2+3y1+y2=9，即6m−2n=3，n=3m−32，
所以直线AB:x=my+3m−32=my+3−32过定点−32,−3 .
【答案】
解：(1)由椭圆C短轴的两个顶点与上焦点的连线构成等边三角形，
可得a=2b，
又因为以椭圆C的右顶点为圆心，
以椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为(x−b)2+y2=a2，
所以圆心(b,0)到直线4x−3y+6=0的距离
d=|4b+6|5=a=2b，
解得a=2，b=1，
故椭圆C的方程为y24+x2=1．
(2)直线MN过定点，且该定点坐标为(0,−1)，
记直线MN与y轴交点为D，则D(0,−1)，
设直线MN的方程为y=kx−1，
联立y=kx−1,y24+x2=1,
消去y得(k2+4)x2−2kx−3=0，
∴ x1+x2=2kk2+4，x1x2=−3k2+4，
S△AMN=12|AD||x1−x2|
=32(x1+x2)2−4x1x2
=324k2(k2+4)2+12k2+4
=6k2+3k2+4，
令t=k2+3，则t≥3 ，
∴ S△AMN=6tt2+1=61t+1t，
又y=t+1t在[3,+∞)上单调递增，
∴ S△AMN=61t+1t≤613+13=332，
当且仅当t=k2+3=3，即k=0时取等号，
∴ k=0时，△AMN面积的最大值为332.
【考点】
椭圆的标准方程
圆与圆锥曲线的综合问题
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)由椭圆C短轴的两个顶点与上焦点的连线构成等边三角形，
可得a=2b，
又因为以椭圆C的右顶点为圆心，
以椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为(x−b)2+y2=a2，
所以圆心(b,0)到直线4x−3y+6=0的距离
d=|4b+6|5=a=2b，
解得a=2，b=1，
故椭圆C的方程为y24+x2=1．
(2)直线MN过定点，且该定点坐标为(0,−1)，
记直线MN与y轴交点为D，则D(0,−1)，
设直线MN的方程为y=kx−1，
联立y=kx−1,y24+x2=1,
消去y得(k2+4)x2−2kx−3=0，
∴ x1+x2=2kk2+4，x1x2=−3k2+4，
S△AMN=12|AD||x1−x2|
=32(x1+x2)2−4x1x2
=324k2(k2+4)2+12k2+4
=6k2+3k2+4，
令t=k2+3，则t≥3 ，
∴ S△AMN=6tt2+1=61t+1t，
又y=t+1t在[3,+∞)上单调递增，
∴ S△AMN=61t+1t≤613+13=332，
当且仅当t=k2+3=3，即k=0时取等号，
∴ k=0时，△AMN面积的最大值为332.P(k2≥k0)
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828