2020-2021学年四川省成都西区高二（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省成都西区高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设全集U=x∈N∗|x<9，集合A=3,4,5,6，则∁UA=（ ）
A.1,2,3,8B.1,2,7,8C.0,1,2,7D.0,1,2,7,8

2. 已知函数fx=lg22−x,x<1,ex, x≥1, 则f−2+fln4=（ ）
A.2B.4C.6D.8

3. 某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，满分为100分．如图所示的茎叶图为某班20名同学的测试成绩（单位：分）．则这组数据的极差和众数分别是（ ）

A.20，88B.30，88C.20，82D.30，91

4. 若实数x，y满足约束条件2x−y≥0,x+y−4≤0,y≥0. 则z=x−2y的最大值为( )
A.−4B.0 C.2D.4

5. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一个焦点到其中一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A.y=±2xB.y=±12xC.y=±xD.y=±2x

6. 记函数fx的导函数为f′x．若fx=exsin2x，则f′0=（ ）
A.2B.1C.0D.−1

7. 已知M为圆x−12+y2=2上一动点，则点M到直线x−y+3=0的距离的最大值是( )
A.2B.22C.32D.42

8. 已知直线l1：x+y+m=0，l2：x+m2y=0，则“l1//l2”是“m=1”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（ ）

A.45B.56C.67D.78

10. 在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，AC=22．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A.4πB.10πC.12πD.48π

11. 已知函数fx=ax+1，gx=lnx．若对任意x1,x2∈(0,2]，且x1≠x2，都有gx2x1−fx1+fx2x2−x1>−1，则实数a的取值范围是( )
A.(−∞,274]B.(−∞,2]C.(−∞,272]D.(−∞,8]

12. 设抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C2p,0，AF与BC相交于点D．若|CF|=|AF|，且△ACD的面积为22，则点F到准线l的距离是（ ）
A.2B.3C.423D.433
二、填空题

设复数z=1+2ii（i为虚数单位），则|z|=________.

一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒．当你到达该路口时，看见不是红灯的概率是________.

已知关于x，y的一组数据：
根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为y=0.28x+0.16，则n−0.28m的值为________.

已知fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=2|x−1|−1,02.
有下列结论：
①函数fx在−6,−5上单调递增；
②函数fx的图象与直线y=x有且仅有2个不同的交点；
③若关于x的方程fx2−a+1fx+a=0a∈R恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；
④记函数fx在2k−1,2kk∈N∗上的最大值为ak，则数列an 的前7项和为12764.
其中所有正确结论的编号是________.
三、解答题

已知函数fx=13x3+a2x2−2x+56，其中a∈R．若函数fx的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y−1=0平行．
(1)求a的值；

(2)求函数fx的极值．

“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行．成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识．为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴—小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95) ，95,100，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计这300名业主评分的中位数；

(2)若先用分层抽样的方法从评分在[90,95)和95,100的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在95,100的概率．

如图，在四棱锥P−ABCD中，DC//AB，BC⊥AB，E为棱AP的中点，AB=4,PA=PD=DC=BC=2．

(1)求证：DE//平面PBC；

(2)若平面PAD⊥平面ABCD，M是线段BP上的点，且BM=2MP，求二面角M−AD−B的余弦值．

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，|PF1|=2，∠F1PF2=π3，且椭圆C的离心率为12．
(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l：y=kx+mm≠0与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．求△OAB面积的最大值．

已知函数fx=2ax−lnx，其中a∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；

(2)当a>0时，若x1,x204a2x1+x2.

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=csαy=sinα（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρcsθ−ρsinθ+3=0．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)在曲线C上任取一点x,y，保持纵坐标y不变，将横坐标x伸长为原来的3倍得到曲线C1．设直线l与曲线C1相交于M，N两点，点P−1,0，求|PM|+|PN|的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省成都市西区高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
补集及其运算
【解析】
先求出集合U，再利用集合的补集运算求解即可.
【解答】
解：全集U=x∈N∗|x<9={1,2,3,4,5,6,7,8}，
集合A=3,4,5,6，
则∁UA=1,2,7,8 .
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
对数的运算性质
分段函数的应用
【解析】
利用分段函数和对数的运算求解即可.
【解答】
解：函数fx=lg22−x,x<1,ex, x≥1,
所以f(−2)=lg24=2，f(ln4)=eln4=4，
所以f−2+fln4=6.
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：这20组数据为：
68,72,73,73,76,81,82,82,88,88,88,89,90,91,91,93,95,97,97,98,
所以这组数据的极差为98−68=30，
众数为88.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】
解：实数x，y满足2x−y≥0,x+y−4≤0,y≥0,
作出二元一次不等式所表示平面区域，即可行域如图△ABC所在区域为可行域，
目标函数z=x−2y变形为y=12x−z2，斜率为12，随z变化的一组平行直线，
当直线y=12x−z2经过可行域中C点时，z最大，
解方程组y=0,x+y−4=0,
解得C点坐标为4,0，
所以zmax=4−0=4，
即z=x−2y的最大值为4．
故选D．
5.
【答案】
A
【考点】
点到直线的距离公式
双曲线的渐近线
【解析】
求得双曲线的焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得b=2a ，再由渐近线的求法，计算可得所求值．
【解答】
解：设双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一个焦点为c,0，
渐近线方程为bx±ay=0，
焦点到渐近线的距离为bcb2+a2=bcc=b=2a，
所以该双曲线的渐近线方程为2ax±ay=0，
即y=±2x .
故选A.
6.
【答案】
A
【考点】
简单复合函数的导数
导数的运算
【解析】
可求出导函数fx，然后将x换上0即可求出f(0)的值．
【解答】
解：∵ fx=exsin2x，
∴ f′x=exsin2x+2excs2x=ex(sin2x+2cs2x)，
∴ f′0=e0(sin0+2cs0)=2．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
【解析】
求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，由d+r即可求解．
【解答】
解：∵ 圆x−12+y2=2，
∴ 圆心1,0，半径r=2，
∴ 圆心到直线的距离d=42=22，
∴ 圆x−12+y2=2上的点到直线x−y+3=0的距离最大值为22+2=32．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
先求出“l1//l2”的充要条件，再进行判定即可.
【解答】
解：若l1//l2，
则m2=1，
解得m=±1，
经检验可知，当m=±1时，l1//l2成立，
所以“l1//l2”是“m=1”的必要不充分条件.
故选B．
9.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：初始值：S=0，k=1，
模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量：
S=11×2+12×3+…+16×7
=1−12+12−13+…+16−17
=1−17
=67.
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
由题意，将三棱锥扩充为长方体，长方体的对角线PC为外接球的直径，又可求PC=23，由此可求球O的表面积．
【解答】
解：由题意得，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，AC=22，
∵ AB2+BC2=22+22=AC2=(22)2，
∴AB⊥BC，
∴ △ABC是直角三角形，
将三棱锥扩充为长方体，长方体的对角线PC为外接球的直径，
PC=PA2+AC2=4+8=23，
∴ 外接球的半径为R=3，
∴ 球的表面积S=4πR2=12π．
故选C．
11.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】

【解答】
解：设mx=lnx+ax+1,
不妨设x1mx2−mx1>x1−x2⇒mx2+x2>mx1+x1，
设ℎx=mx+x=lnx+ax+1+x，
则由ℎx2>ℎx1恒成立和x1只需ℎx在（0,2]上单调递增即可，所以ℎ′x≥0恒成立．
因为ℎ′x=1x−ax+12+1,
所以1x−ax+12+1≥0,
即a≤x+12+x+12x恒成立，
所以只需a≤x+12+x+12xmin，
令px=x+12+x+12x，
所以 p′x=2x+1+2xx+1−x+12x2
=x+122x−1x2，
所以px在0,12上单调递减，在12,2上单调递增，
所以pxmin=p12=274，所以a≤274.
故选A.
12.
【答案】
D
【考点】
抛物线的求解
【解析】
根据抛物线的性质求解即可.
【解答】
解：因为 |AF|=|CF|=2p−p2=3p2，
根据抛物线定义知 |AB|=|AF|=3p2，
所以 A点横坐标为p，
又A点在 y2=2px 上，
所以A点纵坐标为2p（假设A点在x轴上方），
所以A(p,2p)
易证 △ADB≅△FDCAAS，
所以BD=CD， D为BC中点 ，
所以S△ACD=12S△ABC，
又 S△ACD=22，
所以 22=12×12×p+p2×2p，
解得 p=−433 或433 ，
又p>0 ，
所以p=433，
所以 点F到准线l的距离 p=433.
故选D.
二、填空题
【答案】
5
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的模
【解析】
先化简复数，再利用复数的模的运算求解即可.
【解答】
解：复数z=1+2ii=(1+2i)ii2=2−i，
则|z|=22+12=5.
故答案为：5.
【答案】
35
【考点】
对立事件的概率公式及运用
【解析】
利用对立事件概率计算公式求解．
【解答】
解：∵ 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，
∴ 当你到达路口时，看到的不是红灯的概率是：
P=1−3030+5+40=35．
故答案为：35.
【答案】
0.44
【考点】
求解线性回归方程
众数、中位数、平均数
【解析】
根据线性回归方程经过样本中心值进行求解即可.
【解答】
解：由题意可知：x=1+m+3+4+55=13+m5，
y=0.5+0.6+n+1.4+1.55=4+n5，
又线性回归直线方程为y=0.28x+0.16，
∴ 4+n5=0.28×13+m5+0.16，
化简可得n−0.28m=0.44.
故答案为：0.44.
【答案】
①④
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数的对称性
根的存在性及根的个数判断
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①由题得，当x>0时，f(x)在(2k−1,2k](k∈N∗)上单调递增，
又f(x)是定义在R上的奇函数，
当k=3时，f(x)在(5,6)上单调递增，
所以f(x)在(−6,−5)上单调递增，故①正确；
②作出函数f(x)的图象，如图，
由图知f(x)的图象与y=x有三个不同的交点，故②错误；
③fx2−a+1fx+a=0a∈R，
整理得[f(x)−a][f(x)−1]=0，
设方程的四个跟为x1，x2，x3，x4.
当f(x)=1时，有唯一解x1=2，
所以f(x)=a(a≠1)有三个不相等的实数根，
由图象可知，当a=±12时，方程f(x)=a有三个不相等的实数根，
当a=12时，x2+x3=2×1=2，x4=4，
此时x1+x2+x3+x4=8
当a=−12时，x2+x3=2×(−1)=−2，，x4=−4，
此时x1+x2+x3+x4=−4，故③错误；
④由函数的单调性可知，fx在2k−1,2kk∈N∗上的最大值ak=f(2k)k∈N∗，
所以数列{an}的通项公式为an=12n−1，
则数列{an}的前7项和为1−1271−12=2−126=12764，故④正确.
故答案为：①④.
三、解答题
【答案】
解：(1)由题意，可得f′x=x3+ax−2．
∵ 函数fx的图象在点1,f1处的切线与直线2x+y−1=0平行，
∴ f′1=a−1=−2，
∴ a=−1．
经验证，a=−1符合题意．
(2)由(1)得fx=13x3−12x2−2x+56．
∴ f′x=x2−x−2=x+1x−2．
当x变化时，f′x与fx的变化情况如表所示：
∴ 当x=−1时，fx取得极大值2；
当x=2时，fx取得极小值−52．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，可得f′x=x3+ax−2．
∵ 函数fx的图象在点1,f1处的切线与直线2x+y−1=0平行，
∴ f′1=a−1=−2，
∴ a=−1．
经验证，a=−1符合题意．
(2)由(1)得fx=13x3−12x2−2x+56．
∴ f′x=x2−x−2=x+1x−2．
当x变化时，f′x与fx的变化情况如表所示：
∴ 当x=−1时，fx取得极大值2；
当x=2时，fx取得极小值−52．
【答案】
解：(1)∵ 第三组的频率为1−0.020+0.025+0.030+0.035+0.050×5=0.200,
∴ a=0.2005=0.040
又第一组的频率为0.025×5=0.125，第二组的频率为0.035×5=0.175．第三组的频率为0.200.
∵ 前三组的频率之和为0.125+0.175+0.200=0.500，∴ 这300名业主评分的中位数为85.
(2)由频率分布直方图，知评分在[90,95）的人数与评分在95,100的人数的比值为3:2，
∴ 采用分层抽样法抽取5人，评分在[90,95）的有3人，评分在95,100有2人．
不妨设评分在[90,95）的3人分别为A1,A2,A3；评分在95,100的2人分别为B1,B2，
则从5人中任选2人的所有可能情况有：
{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}共10种．
其中选取的2人中至少有1人的评分在95,100的情况有：
{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}共7种．
故这2人中至少有1人的评分在95,100的概率为P=710.
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】


【解答】
解：(1)∵ 第三组的频率为1−0.020+0.025+0.030+0.035+0.050×5=0.200,
∴ a=0.2005=0.040
又第一组的频率为0.025×5=0.125，第二组的频率为0.035×5=0.175．第三组的频率为0.200.
∵ 前三组的频率之和为0.125+0.175+0.200=0.500，∴ 这300名业主评分的中位数为85.
(2)由频率分布直方图，知评分在[90,95）的人数与评分在95,100的人数的比值为3:2，
∴ 采用分层抽样法抽取5人，评分在[90,95）的有3人，评分在95,100有2人．
不妨设评分在[90,95）的3人分别为A1,A2,A3；评分在95,100的2人分别为B1,B2，
则从5人中任选2人的所有可能情况有：
{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}共10种．
其中选取的2人中至少有1人的评分在95,100的情况有：
{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}共7种．
故这2人中至少有1人的评分在95,100的概率为P=710.
【答案】
(1)证明：取PB中点H，连接EH，HC．
在△PAB中，E为AP的中点，H为PB的中点，∴ EH为△PAB的中位线．
∴ EH//AB,EH=12AB
又DC//AB,DC=12AB
∴ EH//DC且EH=DC
∴ 四边形CDEH为平行四边形．
∴ DE//CH
又DE⊄平面PBC，CH⊂平面PBC，
∴ DE//平面PBC．
(2)解：连接BD．
∵ DC//AB,BC⊥AB，∴ BC⊥DC，
在Rt△BCD中，∵ DC=BC=2，
∴ BD=DC2+BC2=22，
在直角梯形ABCD中，易得AD=22，
在△ABD中，∵ AD=22,AB=4，
∴ AD2+BD2=AB2．∴ BD⊥AD，
取AD中点O，连接PO．
∵ PA=PD，∴ PO⊥AD，
∵ 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD，
∴ PO⊥平面ABCD．
取AB中点N．∴ ON//BD,ON⊥AD．则PO，AD，ON两两垂直．
以O为坐标原点，向量OA→,ON→,OP→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
则A2,0,0,D−2,0,0,B−2,22,0,P0,0,2,M−23,223,223
AM→=−423,223,223,DM→=223,223,223，
设平面ADM的一个法向量m=x,y,z，
由AM→⋅m→=0DM→⋅m→=0’得−2x+y+z=0x+y+z=0.化简得x=0.y=−z
令z=1，得m→=0,−1,1，
又平面ABD的一个法向量n→=0,0,1，
∵ cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|=12×1=22，
∴ 二面角M−AD−B的余弦值为22．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：取PB中点H，连接EH，HC．
在△PAB中，E为AP的中点，H为PB的中点，∴ EH为△PAB的中位线．
∴ EH//AB,EH=12AB
又DC//AB,DC=12AB
∴ EH//DC且EH=DC
∴ 四边形CDEH为平行四边形．
∴ DE//CH
又DE⊄平面PBC，CH⊂平面PBC，
∴ DE//平面PBC．
(2)解：连接BD．
∵ DC//AB,BC⊥AB，∴ BC⊥DC，
在Rt△BCD中，∵ DC=BC=2，
∴ BD=DC2+BC2=22，
在直角梯形ABCD中，易得AD=22，
在△ABD中，∵ AD=22,AB=4，
∴ AD2+BD2=AB2．∴ BD⊥AD，
取AD中点O，连接PO．
∵ PA=PD，∴ PO⊥AD，
∵ 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD，
∴ PO⊥平面ABCD．
取AB中点N．∴ ON//BD,ON⊥AD．则PO，AD，ON两两垂直．
以O为坐标原点，向量OA→,ON→,OP→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
则A2,0,0,D−2,0,0,B−2,22,0,P0,0,2,M−23,223,223
AM→=−423,223,223,DM→=223,223,223，
设平面ADM的一个法向量m=x,y,z，
由AM→⋅m→=0DM→⋅m→=0’得−2x+y+z=0x+y+z=0.化简得x=0.y=−z
令z=1，得m→=0,−1,1，
又平面ABD的一个法向量n→=0,0,1，
∵ cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|=12×1=22，
∴ 二面角M−AD−B的余弦值为22．
【答案】
解：(1)∵ P在椭圆C上，|PF1|=2，
∴ |PF2|=2a−2．
在△PF1F2中，
由余弦定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cs∠F1PF2，
即4c2=4+2a−22−42a−2csπ3．
化简，得c2=a2−3a+3．⋯①
又椭圆C的离心率e=ca=12，
∴ a=2c．⋯②
由①②，解得c=1，a=2．
b2=a2−c2=3．
∴ 椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2．
由y=kx+m,x24+y23=1,
消去y得4k2+3x2+8kmx+4m2−12=0．
由Δ=1612k2−3m2+9>0，
∴ 4k2+3>m2．
则x1+x2=−8km4k2+3，x1x2=4m2−124k2+3，
∴ |AB|=1+k2412k2−3m2+94k2+3．
∵ 坐标原点O到直线l的距离d=|m|1+k2，
∴ S△OAB=12⋅|m|1+k2⋅1+k2⋅412k2−3m2+94k2+3
=23⋅|m|4k2+3−m24k2+3=23⋅4k2+3−m2⋅m24k2+3
≤23⋅4k2+3−m2+m224k2+3=3．
当且仅当4k2+3−m2=m2，
即4k2+3=2m2时，等号成立．
满足4k2+3=2m2>m2．
∴ △OAB面积的最大值为3．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ P在椭圆C上，|PF1|=2，
∴ |PF2|=2a−2．
在△PF1F2中，
由余弦定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cs∠F1PF2，
即4c2=4+2a−22−42a−2csπ3．
化简，得c2=a2−3a+3．⋯①
又椭圆C的离心率e=ca=12，
∴ a=2c．⋯②
由①②，解得c=1，a=2．
b2=a2−c2=3．
∴ 椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2．
由y=kx+m,x24+y23=1,
消去y得4k2+3x2+8kmx+4m2−12=0．
由Δ=1612k2−3m2+9>0，
∴ 4k2+3>m2．
则x1+x2=−8km4k2+3，x1x2=4m2−124k2+3，
∴ |AB|=1+k2412k2−3m2+94k2+3．
∵ 坐标原点O到直线l的距离d=|m|1+k2，
∴ S△OAB=12⋅|m|1+k2⋅1+k2⋅412k2−3m2+94k2+3
=23⋅|m|4k2+3−m24k2+3=23⋅4k2+3−m2⋅m24k2+3
≤23⋅4k2+3−m2+m224k2+3=3．
当且仅当4k2+3−m2=m2，
即4k2+3=2m2时，等号成立．
满足4k2+3=2m2>m2．
∴ △OAB面积的最大值为3．
【答案】
(1)解：函数fx的定义域为0,+∞,f′x=2ax−1x
①当a≤0时，则当x∈0,+∞时，f′x≤0恒成立．
∴ fx在0,+∞上单调递减，无单调递增区间；
②当a>0时，则由f′x=0得x=12a
∴ 当x∈0,12a时，f′x<0；当x∈12a,+∞时，f′x>0
∴ fx在0,12a上单调递减，在12a,+∞上单调递增．
综上所述，当a≤0时，fx在0,+∞上单调递减，无单调递增区间；
当a>0时，fx在0,12a上单调递减，在12a,+∞上单调递增．
(2)证明：fx=2ax−lnx,x>0，
∵ x1,x20∴ 2ax1−lnx1=2ax2−lnx2，即lnx1−lnx2x1−x2=2a
欲证f2ax1+f2ax2>4a2x1+x2，即证ln2ax1+ln2ax2<0即证x1x2<14a2，
又a>0,0亦证x1x20，
即证2lnx1x2+x2x1−x1x2>0，
∵ 00，
设ℎt=2lnt+1t−t0∵ ℎ′t=2t−1t2−1=−t−12t2<0在t∈0,1上恒成立，
∴ ℎt在0,1上单调递减，∴ ℎt>ℎ1=0
∴ 2lnt+1t−t>0，
即f2ax1+f2ax2>4a2x1+x2成立．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：函数fx的定义域为0,+∞,f′x=2ax−1x
①当a≤0时，则当x∈0,+∞时，f′x≤0恒成立．
∴ fx在0,+∞上单调递减，无单调递增区间；
②当a>0时，则由f′x=0得x=12a
∴ 当x∈0,12a时，f′x<0；当x∈12a,+∞时，f′x>0
∴ fx在0,12a上单调递减，在12a,+∞上单调递增．
综上所述，当a≤0时，fx在0,+∞上单调递减，无单调递增区间；
当a>0时，fx在0,12a上单调递减，在12a,+∞上单调递增．
(2)证明：fx=2ax−lnx,x>0，
∵ x1,x20∴ 2ax1−lnx1=2ax2−lnx2，即lnx1−lnx2x1−x2=2a
欲证f2ax1+f2ax2>4a2x1+x2，即证ln2ax1+ln2ax2<0即证x1x2<14a2，
又a>0,0亦证x1x20，
即证2lnx1x2+x2x1−x1x2>0，
∵ 00，
设ℎt=2lnt+1t−t0∵ ℎ′t=2t−1t2−1=−t−12t2<0在t∈0,1上恒成立，
∴ ℎt在0,1上单调递减，∴ ℎt>ℎ1=0
∴ 2lnt+1t−t>0，
即f2ax1+f2ax2>4a2x1+x2成立．
【答案】
解：(1)由曲线C的参数方程，消去参数α，得曲线C的普通方程为x2+y2=1．
∵ ρcsθ=x,ρsinθ=y，∴ 直线l的直角坐标方程为3x−y+3=0．
(2)设曲线C上任一点(x,y)经坐标变换后对应的点为x′,y′．
据题意，得x′=3x,y′=y.即 x=33x′,y=y′.
∵ x2+y2=1，∴ x′23+y′2=1．
即曲线C1的普通方程为x23+y2=1．
∵ 直线l过定点P−1,0，
∴ 直线l的参数方程为 x=−1+12t,y=32t （t为参数）．
将直线l的参数方程代入曲线C1的普通方程，整理可得
5t2−2t−4=0 …（∗）
Δ=−22−4×5×−4=84>0
设t1,t2为方程∗的两个实数根．
则t1+t2=25,t1t2=−45<0．
∴ |PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1−t2|=t1+t22−4t1t2=2215．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
伸缩变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由曲线C的参数方程，消去参数α，得曲线C的普通方程为x2+y2=1．
∵ ρcsθ=x,ρsinθ=y，∴ 直线l的直角坐标方程为3x−y+3=0．
(2)设曲线C上任一点(x,y)经坐标变换后对应的点为x′,y′．
据题意，得x′=3x,y′=y.即 x=33x′,y=y′.
∵ x2+y2=1，∴ x′23+y′2=1．
即曲线C1的普通方程为x23+y2=1．
∵ 直线l过定点P−1,0，
∴ 直线l的参数方程为 x=−1+12t,y=32t （t为参数）．
将直线l的参数方程代入曲线C1的普通方程，整理可得
5t2−2t−4=0 …（∗）
Δ=−22−4×5×−4=84>0
设t1,t2为方程∗的两个实数根．
则t1+t2=25,t1t2=−45<0．
∴ |PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1−t2|=t1+t22−4t1t2=2215．x
1
m
3
4
5
y
0.5
0.6
n
1.4
1.5
x
−∞,−1
−1
−1,2
2
2,+∞
f′x
+
0
−
0
+
fx
单调递增↗
极大值2
单调递减↘
极小值−52
单调递增↗
x
−∞,−1
−1
−1,2
2
2,+∞
f′x
+
0
−
0
+
fx
单调递增↗
极大值2
单调递减↘
极小值−52
单调递增↗