2020-2021年四川省江油市高二（下）3月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021年四川省江油市高二（下）3月月考数学（理）试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列命题正确的是( )
A.单位向量都相等
B.若a→与b→共线，b→与c→共线，则a→与c→共线
C.若|a→+b→|=|a→−b→|，则a→⋅b→=0
D.若a→与b→都是单位向量，则a→⋅b→=1

2. 在△ABC中，已知A=30∘，B=45∘，AC=2，则BC=( )
A.12B.22C.32D.1

3. 已知向量AB→=2,−1，AC→=−3,2，则|CB→|=( )
A.34B.26C.10D.2

4. 已知a→=1,1，b→=1,−1，c→=−1,2，则c→=( )
A.−32a→−12b→B.−32a→+12b→
C.−12a→+32b→D.12a→−32b→

5. 已知向量a→=(−1, y)，b→=(2, −4)，若a→⊥b→，则|2a→+b→|=( )
A.5B.4C.3D.2

6. 如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠C=120∘，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积等于( )

A.3B.53C.63D.73

7. 在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量m→=(b−c，c−a)，n→=(b，c+a)，若 m→⊥n→，则∠A的大小为( )
A.2π3B.π2C.π3D.π6

8. 在△ABC中，D为边BC的中点，AB=2，AC=4，AD=7，则∠BAC为( )
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

9. 平面向量a→=(1, 2)，b→=(4, 2)，c→=ma→+b→(m∈R)，且c→与a→的夹角等于c→与b→的夹角，则m=( )
A.−2B.−1C.1D.2

10. △ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c=2a，bsinB−asinA=12asinC，则sinB的值为( )
A.223B.34C.13D.74

11. 如图，已知等腰△ABC中， AB=AC=3，BC=4，点P是边BC上的动点，则AP→⋅AB→+AC→( )

A.为定值6B.为定值10
C.最大值为18D.与P的位置有关

12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2−a2=ac，则1tanA−1tanB的取值范围是( )
A. 1,233
B. 1,2
C. 233,2
D. (1,+∞)
二、填空题

设向量a→=3,2，b→=k,2−k，若a→//b→，则实数k的值是________.

已知△ABC周长为4，sinA+sinB=3sinC，则AB边的长为________．

设向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=1，且b→⊥a→+b→，则向量b→在向量a→+2b→上的投影的数量为________.

已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b=23，c=22，acs B+bcs A=2ccs C，则△ABC的面积为________．
三、解答题

已知|a→|=3，|b→|=2，向量a→与b→的夹角为150∘．
(1)求：|a→−2b→|；

(2)若a→+3λb→⊥a→+λb→，求实数λ的值．

已知△ABC的面积是3，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，csA=45.
(1)求AB→⋅AC→；

(2)若b=2，求a的值．

如图所示，在△BOC中，C是以A为中点的点B的对称点，OD→=2DB→，DC和OA交于点E，设OA→=a→，OB→=b→.

(1)用a→和b→表示向量OC→，DC→；

(2)若OE→=λOA→，求实数λ的值．

如图，在四边形ABCD中，∠DAB=π3，AD:AB=2:3，BD=7，AB⊥BC.

(1)求sin∠ABD的值；

(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m→=(cs3A2, sin3A2)，n→=(csA2, sinA2)，且满足|m→+n→|=3．
(1)求角A的大小；

(2)若|AC→|+|AB→|=3|BC→|，试判断△ABC的形状．

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m→=(csB, 2cs2C2−1)，n→=(c, b−2a)，且m→⋅n→=0．
(1)求∠C的大小；

(2)若点D为边AB上一点，且满足AD→=DB→，|CD→|=7，c=23，求△ABC的面积.
参考答案与试题解析
2020-2021年四川省江油市高二（下）3月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
平行向量的性质
平面向量数量积的运算
单位向量
向量的共线定理
【解析】
题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除．
【解答】
解：A，向量有大小、方向两个属性，
向量的相等指的是大小相等方向相同，故A错误；
B，对三个非零向量，若a→与b→共线，b→与c→共线，
则a→与c→共线.
若b→是零向量时，若a→与b→共线，b→与c→共线，
则a→与c→共线不一定成立，故B错误；
C，当两个向量互相垂直时两向量和的模与差的模一定相等，故C正确；
D，若a→与b→都是单位向量，则a→⋅b→=1不一定成立，
当a→与b→垂直时，a→⋅b→=0，故D错误．
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由正弦定理可知，
ACsinB=BCsinA，即 222=BC12，
解得，BC=1.
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的模
向量的三角形法则
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为AB→=2,−1，AC→=−3,2，
所以CB→=AB→−AC→=5,−3，
所以|CB→|=52+−32=34.
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量的坐标运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→=1,1，b→=1,−1，c→=−1,2，
∴ a→，b→不共线，
∴ 选取a→，b→作为一组基向量，则c→=xa→+yb→，
即−1,2=x1,1+y1,−1，
∴ x+y=−1，x−y=2，
解得x=12，y=−32，
∴ c→=12a→−32b→ .
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
平面向量的坐标运算
【解析】
根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系可得a→⋅b→=(−1)×2+(−4)y＝0，解可得y的值，即可得a→的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】
解：∵ a→=(−1, y)，b→=(2, −4)，且a→⊥b→，
∴ a→⋅b→=−2−4y=0，
解得y=−12，
∴ a→=(−1, −12)，
∴ 2a→+b→=(0, −5)，
∴ |2a→+b→|=5.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
余弦定理的应用
正弦定理的应用
【解析】
连接BD，在△BCD中利用BC=CD∠BCD=120∘求得BD，进而利用三角形面积公式求得三角形BCD的面积．在△ABD中，依题意求得∠ABD=90∘进而利用两直角边求得三角形的面积，最后相加即可．
【解答】
解：在△BCD中，BC=CD=2，∠C=120∘，
∴ ∠CBD=30∘，BD=23，
由正弦定理，得S△BCD =12×2×2×sin120∘=3．
在△ABD中，∠ABD=120∘−30∘=90∘，AB=4，
∴ S△ABD=12AB⋅BD=12×4×23=43，
∴ 四边形ABCD的面积是53．
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ m→⊥n→，
∴ (b−c)b+(c−a)(c+a)=0，
整理，得b2+c2−a2=bc，
∴ b2+c2−a22bc=12，
即csA=12.
∵ A∈(0,π)，
∴ A=π3.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
详解：如图，
设BD=CD=x，
在△ABD和△ACD中，
由余弦定理，得AD2+BD2−2AD⋅BD⋅csADB=AB2，AD2+CD2−2AD⋅CD⋅csADC=AC2，
即7+x2−27xcs∠ADB=4，7+x2+27xcs∠ADB=16，
解得x=3，
即BC=23，
则cs∠BAC=4+16−2322×2×4=12，
∴ ∠BAC=60∘．
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．
【解答】
解：∵ a→=(1, 2)，b→=(4, 2)，c→=ma→+b→(m∈R)，
∴ c→=m(1, 2)+(4, 2)=(m+4, 2m+2)，
∴ c→⋅a→=m+4+2(2m+2)=5m+8，
c→⋅b→=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20，
|a→|=12+22=5，|b→|=42+22=25．
∵ c→与a→的夹角等于c→与b→的夹角，
∴ c→⋅a→|c→||a→|=c→⋅b→|c→||b→|，
即5m+85=8m+2025，
整理，得5m+8=4m+10，
解得m=2．
故选D．
10.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由正弦定理，得b2−a2=12ac.
又c=2a，
∴b2=2a2，
∴csB=a2+c2−b22ac=34 ，
∴sinB=74．
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
向量的三角形法则
余弦定理
【解析】
本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力．
【解答】
解：由题意，设BP=λBC0≤λ≤1．
则AP→⋅AB→+AC→=AB→+BP→⋅AB→+AC→
=AB→2+AB→⋅AC→+λBC→⋅AB→+AC→，
又λBC→⋅AB→+AC→=λBA→+AC→⋅AB→+AC→
=λAC→2−AB→2=0，
csA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=9+9−162×3×3=19，
所以AP→⋅AB→+AC→=AB→2+AB→⋅AC→
=32+3×3⋅csA=10．
故选B.
12.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
余弦定理
两角和与差的正弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ b2−a2=ac，
∴ c2−2accsB=ac，
∴ c−2acsB=a，
∴ sinC−2sinAcsB=sinA，
∴ sinA+B−2sinAcsB=sinA，
∴ sinB−A=sinA，
∴ B−A=A，
∴ B=2A，
∴ 1tanA−1tanB=1tanA−1tan2A
=1tanA−1−tan2A2tanA
=1+tan2A2tanA
=12tanA+1tanA.
又△ABC为锐角三角形，
∴ 00∴ π6∴ 33∵ y=12x+1x在33,1上单调递减，
∴ 1tanA−1tanB∈1,233.
故选A.
二、填空题
【答案】
65
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 向量a→=3,2，b→=k,2−k，且a→//b→，
∴ 3×2−k−2k=0，
解得k=65．
故答案为：65．
【答案】
1
【考点】
正弦定理
【解析】
由正弦定理可得a+b=3c，结合周长为4可得c值，即得答案．
【解答】
解：∵ sinA+sinB=3sinC，
∴ 由正弦定理，得a+b=3c，
又△ABC的周长为4，
∴ a+b+c=4c=4，
解得c=1，
即AB=1．
故答案为：1．
【答案】
12
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的投影
【解析】
根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得b→⋅a→+b→=a→⋅b→+b→2=0，进而由a→+2b→2=a→2+4a→⋅b→+4b→2，计算可得
|a→+2b→|=2，结合向量数量积的计算公式可得向量b→在向量a→+2b→方向上的投影为b→⋅a→+2b→|a→+2b→|=a→⋅b→+2b→2|a→+2b→|，代入数据计算可得答案．
【解答】
解：因为b→⊥a→+b→，
所以b→⋅a→+b→=a→⋅b→+b→2=0，
又|a→|=2，|b→|=1，
所以a→⋅b→=−1，
所以a→+2b→2=a→2+4a→⋅b→+4b→2
=4−4+4=4，
所以|a→+2b→|=2，
所以向量b→在向量a→+2b→上的投影的数量为
b→⋅a→+2b→|a→+2b→|=a→⋅b→+2b→2|a→+2b→|=12．
故答案为：12.
【答案】
3+3或3−3
【考点】
三角形的面积公式
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
【解析】
先化简acsB+bcsA=2ccsC得到C=π4，再利用余弦定理求a，再利用三角形的面积公式求△ABC的面积．
【解答】
解：因为acs B+bcs A=2ccs C，
由正弦定理，得sinAcs B+sinBcs A=2sinCcs C，
所以sinC=sin(A+B)=2sinCcs C.
又sinC>0，
所以cs C=22，
所以C=π4．
由余弦定理，得8=12+a2−2×23a×csπ4，
整理，得a2−26a+4=0，
解得a=6±2，
当a=6+2时，S=12×6+2×23×22=3+3；
当a=6−2时，S=12×6−2×23×22=3−3.
故答案为：3+3或3−3.
三、解答题
【答案】
解：(1)因为|a→|=3，|b→|=2，
所以a→⋅b→=|a→||b→|cs150∘=3×2×−32=−3，
又|a→−2b→|2=a→2−4a→⋅b→+4b→2
=3−4×−3+4×4=31，
所以|a→−2b→|=31．
(2)因为a→+3λb→⊥a→+λb→，
所以(a→+3λb→)⋅(a→+λb→)=0，
即a→2+4λa→⋅b→+3λ2b→2=0，
即3−12λ+12λ2=0，
解得λ=12．
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为|a→|=3，|b→|=2，
所以a→⋅b→=|a→||b→|cs150∘=3×2×−32=−3，
又|a→−2b→|2=a→2−4a→⋅b→+4b→2
=3−4×−3+4×4=31，
所以|a→−2b→|=31．
(2)因为a→+3λb→⊥a→+λb→，
所以(a→+3λb→)⋅(a→+λb→)=0，
即a→2+4λa→⋅b→+3λ2b→2=0，
即3−12λ+12λ2=0，
解得λ=12．
【答案】
解：由csA=45，得sinA=35，
又S△ABC=12bcsinA=3，
∴ 12bc×35=3，
解得bc=10.
(1)AB→⋅AC→=bccsA=8.
(2)∵ b=2，bc=10，
∴ c=5，
由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA
=4+25−2×2×5×45=13，
∴ a=13.
【考点】
平面向量数量积的运算
三角形求面积
余弦定理
【解析】
(1)由平面向量数量积的定义可得： AB→⋅AC→=8；
(2)由题意结合余弦定理可得： a=13.
【解答】
解：由csA=45，得sinA=35，
又S△ABC=12bcsinA=3，
∴ 12bc×35=3，
解得bc=10.
(1)AB→⋅AC→=bccsA=8.
(2)∵ b=2，bc=10，
∴ c=5，
由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA
=4+25−2×2×5×45=13，
∴ a=13.
【答案】
解：(1)由题意知，A是线段BC中点，且OD→=23OB→=23b→，
所以OC→=OA→+AC→=OA→+BA→=OA→+OA→−OB→=2a→−b→，
DC→=OC→−OD→=2a→−b→−23b→=2a→−53b→.
(2)因为EC→=OC→−OE→=2a→−b→−λa→=2−λa→−b→，
由题意，得EC→//DC→，且DC→=2a→−53b→，
设EC→=kDC→，
即2−λa→−b→=k2a→−53b→.
因为a→和b→不共线，
所以2−λ=2k,−1=−53k,
解得λ=45,k=35.
所以λ=45.
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量的三角形法则
向量的共线定理
【解析】
（1）根据平面向量加减运算的三角形法则可得出OC→、DC→关于a→和b→的表达式；
（2）利用向量减法的三角形法则可得出EC→=2−λa→−b→，设EC→=kDC→，可建立有关λ、k的方程组，即可解出实数λ的值．
【解答】
解：(1)由题意知，A是线段BC中点，且OD→=23OB→=23b→，
所以OC→=OA→+AC→=OA→+BA→=OA→+OA→−OB→=2a→−b→，
DC→=OC→−OD→=2a→−b→−23b→=2a→−53b→.
(2)因为EC→=OC→−OE→=2a→−b→−λa→=2−λa→−b→，
由题意，得EC→//DC→，且DC→=2a→−53b→，
设EC→=kDC→，
即2−λa→−b→=k2a→−53b→.
因为a→和b→不共线，
所以2−λ=2k,−1=−53k,
解得λ=45,k=35.
所以λ=45.
【答案】
解：(1)因为AD:AB=2:3，
所以可设AD=2k，AB=3k，k>0 .
又BD=7，∠DAB=π3，
所以由余弦定理，
得72=3k2+2k2−2×3k×2k×csπ3，
解得k=1，
所以AD=2，AB=3 .
sin∠ABD=ADsin∠DABBD
=2×327=217 .
(2)因为AB⊥BC，
所以cs∠DBC=sin∠ABD=217，
所以sin∠DBC=277，
因为BDsin∠BCD=CD∠sinDBC，
所以CD=7⋅27732=433 .
【考点】
余弦定理
正弦定理
解三角形
【解析】
解：(1)因为AD:AB=2:3，
所以可设AB=2k，AB=3k，k>0 .
又BD=7，∠DAB=π3，
所以由余弦定理，
得72=3k2+2k2−2×3k×2kcsπ3，
解得k=1，
所以AD=2，AB=3 .
sin∠ABD=ADsin∠DABBD=2×327=217 .
（2）因为AB⊥BC，所以cs∠DBC=sin∠ABD=217，所以sin∠DBC=277，
因为BBsin∠BCD=CD∠DBC，
所以CD=7⋅27732=433 .
【解答】
解：(1)因为AD:AB=2:3，
所以可设AD=2k，AB=3k，k>0 .
又BD=7，∠DAB=π3，
所以由余弦定理，
得72=3k2+2k2−2×3k×2k×csπ3，
解得k=1，
所以AD=2，AB=3 .
sin∠ABD=ADsin∠DABBD
=2×327=217 .
(2)因为AB⊥BC，
所以cs∠DBC=sin∠ABD=217，
所以sin∠DBC=277，
因为BDsin∠BCD=CD∠sinDBC，
所以CD=7⋅27732=433 .
【答案】
解：(1)由|m→+n→|=3得m→2+n→2+2m→⋅n→=3，
即1+1+2(cs3A2csA2+sin3A2sinA2)=3，
即1+1+2[cs(3A2−A2)]=3，
∴ csA=12，
∵ 0(2)∵ |AC→|+|AB→|=3|BC→|，
∴ b+c=3a，
由正弦定理可得，sinB+sinC=3sinA，
∴ sinB+sin(2π3−B)=3×32，
即32sinB+12csB=32，
∴ sin(B+π6)=32．
∵ 0∴ B+π6=π3或2π3，故B=π6或π2．
当B=π6时，C=π2；当B=π2时，C=π6．
故△ABC是直角三角形．
【考点】
向量的模
两角和与差的余弦公式
三角形的形状判断
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
（1）由|m→+n→|=3得m→2+n→2+2m→⋅n→=3整理可得csA=12结合0（2）由已知可得b+c=3a结合正弦定理可得，sinB+sinC=3sinA，从而有sinB+sin(2π3−B)=3×32，
sin(B+π6)=32．由0【解答】
解：(1)由|m→+n→|=3得m→2+n→2+2m→⋅n→=3，
即1+1+2(cs3A2csA2+sin3A2sinA2)=3，
即1+1+2[cs(3A2−A2)]=3，
∴ csA=12，
∵ 0(2)∵ |AC→|+|AB→|=3|BC→|，
∴ b+c=3a，
由正弦定理可得，sinB+sinC=3sinA，
∴ sinB+sin(2π3−B)=3×32，
即32sinB+12csB=32，
∴ sin(B+π6)=32．
∵ 0∴ B+π6=π3或2π3，故B=π6或π2．
当B=π6时，C=π2；当B=π2时，C=π6．
故△ABC是直角三角形．
【答案】
解：(1)∵ 向量m→=(csB, 2cs2C2−1)，n→=(c, b−2a)，且m→⋅n→=0，
∴ c⋅csB+(b−2a)csC=0，
由正弦定理得sinCcsB+(sinB−2sinA)csC=0，
∴ sinA−2sinAcsC=0.
∵ sinA≠0，
∴ csC=12.
∵ C∈(0, π)，
∴ C=π3.
(2)∵ AD→=DB→，|CD→|=7，c=23，
∴ CD→−CA→=CB→−CD→，
∴ 2CD→=CA→+CB→，
两边平方得4|CD→|2=b2+a2+2abcsC=b2+a2+ab=28①.
∵ c2=b2+a2−2abcsC=b2+a2−ab=12②，
由①，②可得ab=8，
∴ S△ABC=12absinC=23．
【考点】
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
三角形的面积公式
余弦定理
正弦定理
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
（1）利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，根据二倍角的余弦函数公式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出csC的值，
（2）利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出．
【解答】
解：(1)∵ 向量m→=(csB, 2cs2C2−1)，n→=(c, b−2a)，且m→⋅n→=0，
∴ c⋅csB+(b−2a)csC=0，
由正弦定理得sinCcsB+(sinB−2sinA)csC=0，
∴ sinA−2sinAcsC=0.
∵ sinA≠0，
∴ csC=12.
∵ C∈(0, π)，
∴ C=π3.
(2)∵ AD→=DB→，|CD→|=7，c=23，
∴ CD→−CA→=CB→−CD→，
∴ 2CD→=CA→+CB→，
两边平方得4|CD→|2=b2+a2+2abcsC=b2+a2+ab=28①.
∵ c2=b2+a2−2abcsC=b2+a2−ab=12②，
由①，②可得ab=8，
∴ S△ABC=12absinC=23．