三年（2019-2021）高考数学（理）真题分项汇编之专题12数列（原卷版）

专题12    数列

1．【2021·北京高考真题】和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．【2021·北京高考真题】数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

3．【2021·浙江高考真题】已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

4．【2021·全国高考真题（理）】等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

5．【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块

6．【2020年高考北京】在等差数列中，，．记，则数列A．有最大项，有最小项       B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

7．【2020年高考浙江】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是

A．    B． 

C．   D．

8．【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则

A．  B． 

C．  D．

9．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则

A．16  B．8 

C．4  D．2

10．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则

A． 当 B． 当

C． 当 D． 当

11．【2021·全国高考真题】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.

12．【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列的前3项和是_______．

13．【2020年高考江苏】设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是   ▲    ．

14．【2020年高考山东】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

15．【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=___________．

16．【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________．

17．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为___________．

18．【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是___________．

19．【2021·浙江高考真题】已知数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项；

（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.

20．【2021·全国高考真题】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

21．【2021·北京高考真题】定义数列：对实数p，满足：①，；②；③，．

（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是数列吗？说明理由；

（2）若是数列，求的值；

（3）是否存在p，使得存在数列，对？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．

22．【2021·全国高考真题】已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

23．【2021·全国高考真题（理）】已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

24．【2021·全国高考真题（理）】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

25．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】

设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

26．【2020年高考全国III卷理数】设数列{an}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

27．【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．

（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；

（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；

（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ～3”数列，且？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

28．【2020年高考山东】

已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

29．【2020年高考天津】

已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

30．【2020年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．

（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差，证明：．

31．【2020年高考北京】已知是无穷数列．给出两个性质：

①对于中任意两项，在中都存在一项，使；

②对于中任意项，在中都存在两项．使得．

(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.

32．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式.

33．【2019年高考北京卷理数】已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1<i2<…<im），若，则称新数列为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．

（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（2）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若p<q，求证：<；

（3）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．

34．【2019年高考天津卷理数】设是等差数列，是等比数列．已知．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足其中．

（i）求数列的通项公式；

（ii）求．

35．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；

（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．

36．【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列．

（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：