三年（2019-2021）高考数学（理）真题分项汇编之专题04导数及其应用（解答题）（原卷版）

这是一份三年（2019-2021）高考数学（理）真题分项汇编之专题04导数及其应用（解答题）（原卷版），共5页。

（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
2．【2021·全国高考真题】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点
①；
②．
3．【2021·北京高考真题】已知函数．
（1）若，求在处切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．
4．【2021·全国高考真题】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
5．【2021·浙江高考真题】设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
6．【2021·全国高考真题（理）】已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
7．【2021·全国高考真题（理）】设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
8．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
9．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数．
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设，证明：．
10．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求B．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
11．【2020年高考天津】已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
12．【2020年高考北京】已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
13．【2020年高考浙江】已知，函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
14．【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米．
（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．.桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0)，问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
15．【2020年高考江苏】已知关于x的函数与在区间D上恒有．
（1）若，求h(x)的表达式；
（2）若，求k的取值范围；
（3）若求证：．
16．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知函数．
（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
17．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
18．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.
19．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
20．【2019年高考北京理数】已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．
21．【2019年高考天津理数】设函数为的导函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明；
（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明．
22．【2019年高考浙江】已知实数，设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）对任意均有 求的取值范围．
注：e=2.71828…为自然对数的底数．
23．【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．