专题04 数列【知识梳理】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

这是一份专题04 数列【知识梳理】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019），文件包含专题04数列知识梳理原卷版doc、专题04数列知识梳理解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。

数列的概念及简单表示法
1.数列的定义
按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
【例题1】数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
原数列可变形为，
所以，
故选：C
【例题2】已知，则数列是（ ）
A．递增数列B．递减数列
C．先递增后递减数列D．常数列
【答案】A
【详解】
因为，所以，
所以数列是递增数列.
故选：A
【跟踪训练1】已知数列{an}，a1=1，an+1=an+，则该数列的第3项等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】
，
.
故选：C.
【跟踪训练1】已知数列的通项公式是，那么这个数列是（ ）
A．摆动数列B．递减数列C．递增数列D．常数列
【答案】C
【详解】
因为，
所以数列是递增数列，
故选：C
【跟踪训练1】已知数列{an}满足a1＝，对任意正整数n，an＋1＝an(1－an)，则a2 019－a2 018＝（ ）
A． B．
C．－D．－
【答案】B
【详解】
∵a1＝，an＋1＝an(1－an)，
∴a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，
∴n≥2时，{an}的奇数项为，偶数项为，∴a2 019－a2 018＝，
故选：B.
等差数列及其前n项和
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数).
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝eq \f(x＋y,2).
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列.
【例题1】记为等差数列的前项和，若，．则数列的通项公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设公差为，则,
解得,
所以.
故选：B.
【例题2】已知数列{an}为等差数列，a2＝0，a4＝－2，则其前n项和Sn的最大值为（ ）
A．B．
C．1D．0
【答案】C
【详解】
∵等差数列{an}，a2＝0，a4＝－2，
∴，
∴.
令，且，解得，
令，且，解得，
∴Sn的最大值为S1＝S2＝1.
故选：C
【跟踪训练1】设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（ ）
A．139B．153
C．144D．178
【答案】B
【详解】
∵an＝2n－7，∴，
∴数列{an}为等差数列，且a1＝－5，d＝2.
∴前n项和.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝.
故选：B
【跟踪训练2】等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝12，则S13等于（ ）
A．52B．54
C．56D．58
【答案】A
【详解】
∵a3＋a7＋a11＝12，∴a7＝4，
∴S13＝＝13a7＝52.
故选：A．
1【跟踪训练3】等差数列前项和为， ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
，即
等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±eq \r(xy).
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
【例题1】设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4﹣3，3S2=a3﹣3，则公比q=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】
根据题意，等比数列{an}中，有3S3=a4﹣3，3S2=a3﹣3，
则有3S3﹣3S2=(a4﹣3)﹣(a3﹣3)，
即3a3=(a4﹣a3)，
所以a4=4a3，即q=4；
故选：B.
【例题2】等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设公比为q,则，解得：.
故选：A.
【跟踪训练1】已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，a2a6＝8(a4－2)，则S2 020＝（ ）
A．22 019－B．1－2 019
C．22 020－D．1－2 020
【答案】A
【详解】
设{an}的公比为q，
，，解得，
，可得，.
故选：A.
【跟踪训练2】已知数列的通项公式是，是数列的前项和，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
，则且，所以，数列是以首项为，公比也为的等比数列，
因此，.
故选：D.
【跟踪训练3】等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
依题意得等比数列{an}的通项，所以，
因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
因为，所以，
所以数列的前n项和为.
故选：C
数列的综合应用
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
3.数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.
【例题1】已知是公差为2的等差数列，为的前项和．若，，成等比数列，则（ ）
A．B．42C．49D．7
【答案】B
【详解】
因为，，成等比数列，
所以，
又是公差为2的等差数列，
所以
即，
即 ，可得： ，
所以 ，
故选：B
【例题2】在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：依题意，记，
则，又
，两式相加可得
，
则，
故选：B.
【跟踪训练1】杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在欧洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是
A．153B．171C．190D．210
【答案】C
【详解】
由题意可得从第3行起的每行第三个数：，所以第行的第三个数为在该数列中，第37项为第21行第三个数，所以该数列的第37项为
【跟踪训练2】甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟走5m，如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m，乙继续每分钟走5m.那么从开始运动（ ）分钟后第二次相遇.
A．5B．7C．15D．18
【答案】C
【详解】
设n分钟后第2次相遇，
依题意：2n＋＋5n＝3×70，
整理得n2＋13n－6×70＝0，
解得n＝15，n＝－28(舍去)．
故第2次相遇是在开始运动后15min.
【跟踪训练3】我国古代数学著作《九章算术》由如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则
A．6B．5C．4D．7
【答案】A
【详解】
分析：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值．
详解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，
记为{an}，设公差为d，
则，解得a1=，d=，
∴该金杖的总重量M=10×=15，
∵48ai=5M，∴48[（i﹣1）×]=25，
即39+6i=75，解得i=6，
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项
间的大
小关系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N+
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列