专题02 直线与圆的方程【知识梳理】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

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1.直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).
2.直线的斜率
(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠eq \f(π,2))，则k＝tan__θ.
3.直线方程的五种形式
【例题1】直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由变形可得，则，又，所以，
【例题2】经过点，且方向向量为的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
直线的方向向量为，直线的斜率，
直线的方程为，即.
故选：A.
【跟踪训练1】经过两点、的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【跟踪训练2】经过两点A(－1，－5)和B(2，13)的直线在x轴上的截距为（ ）
A．－1B．1
C．－D．
【跟踪训练3】直线恒过定点（ ）
A．B．
C．D．
两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应.
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
【例题1】过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设直线方程为，，
直线过点，
代入直线方程的，得，
则所求直线方程为，
故选：B．
【例题2】已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
直线与直线垂直，设直线的方程为，
直线经过点，，即.
直线的方程为.
故选：C
【跟踪训练1】若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【跟踪训练2】已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（ ）
A．6B．3C．4D．7
【跟踪训练3】l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程为（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x－2y－3＝0
C．2x－y－1＝0D．2x－y－3＝0
圆的方程
1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
【例题1】已知点，，则以线段为直径的圆的方程为
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
解：点，，则以线段为直径的圆的圆心坐标为 1，，
半径为，
故它的方程为，即．
而选项即：即，即，故错误；
而选项即：即，即，故正确；
而选项即：即，即，故错误；
而选项即：即，即，故错误；
故选：．
【例题2】圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由可知，，
所以，，
所以圆心为.
故选：D.
【跟踪训练1】若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞)B．
C．(1，＋∞)∪D．R
【跟踪训练2】过点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A．B．
C．D．
【跟踪训练3】圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
【例题1】直线与圆相交于，两点，若，则的值是（ ）
A．B．0C．0或D．
【答案】C
【详解】
由题意，知，圆心为(3，2).设圆的半径为，则，
所以圆心到直线的距离.
由点到直线的距高公式，得，解得或.
故选：C.
【例题2】己知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【详解】
圆的圆心为点，半径为，圆心到直线的距离为.
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
②若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得.
此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
【跟踪训练1】已知两圆相交于两点，，两圆圆心都在直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【跟踪训练2】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【跟踪训练3】若直线与圆相交于､两点，则弦长的最小值为（ ）
A．B．4C．D．6
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
方法位置
关系
几何法
代数法
相交
dΔ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜
d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0