专题07 随机变量及其分布【知识梳理】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

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1.条件概率及其性质
2.事件的独立性
(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.
(2)概率公式
3.全概率公式
(1)完备事件组：
设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，满足：
①A1∪A2∪…∪An＝Ω.
②A1，A2，…，An两两互不相容，则称事件A1，A2，…，An组成样本空间Ω的一个完备事件组.
(2)全概率公式
设S为随机试验的样本空间，A1，A2，…，An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，eq \(∪,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))Ai＝S，则对任一事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1，A2，…，An为完备事件组.
【例题1】济南素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”的美名．现有甲乙两位游客慕名来到济南旅游，分别准备从大明湖、千佛山、趵突泉和五龙潭4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件：甲和乙至少一人选择千佛山，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
根据题意，甲和乙至少一人选择千佛山的情况有种，
因为甲和乙选择的景点不同对应情况有个，
所以，
故选：．
【例题2】一个口袋中装有2个白球和3个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
设A＝“第一次摸出的是白球”，B＝“第二次摸出的是白球”，则P(AB)＝×＝．
故选：D
【变式训练1】对标有不同编号的件正品和件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出件，在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
设第一次摸出的是次品为事件A，第二次摸到次品为事件B，
根据题意得：,
而，
所以，
故选：C.
【变式训练2】从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，事件为“取到的两张中至少有一张为假钞”，事件为“取到的两张均为假钞”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由，且，
∴，而，
∴.
故选：D
【变式训练3】近来，受冷空气影响，我市气温变化异常，时有降雨及大风天气，经预报台统计，我市每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概率为，在出现四级以上大风天气条件下，降雨的概率为，则在已知降雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
若表示降雨，表示四级以上大风，则，，而，
根据条件概率公式知：，，
∴.
故选：B.
二、离散型随机变量及其分布列
1.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
3.离散型随机变量的数学期望与方差
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn.
(1)数学期望：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.
(2)方差：称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根eq \r(D（X）)叫做离散型随机变量X的标准差.
4.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
5.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
【例题1】甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【详解】
甲、乙两人下象棋，赢了得分，平局得分，输了得分，
故有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次，
故选：D.
【例题2】某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题意可得，每次实验成功的概率为，则失败的概率为，

，
，
则实验次数的分布列如下：
所以此人实验次数的期望是.
故选：B
【变式训练1】已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A．B．C．[－3，3]D．[0，1]
【答案】B
【详解】
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，
根据各个变量概率和为1得：(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，解得，
由，解得.
故选：B
【变式训练2】随机变量X的分布列如下：
若E(X)＝，则D(X)等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由分布列性质和期望公式可知，，得得.
所以D(X)＝＋.
故选：D.
【变式训练3】已知ξ～B，η～B，且E(ξ)＝15，则E(3η＋6)等于（ ）
A．30B．16
C．36D．10
【答案】C
【详解】
因为ξ～B，
所以E(ξ)＝.又E(ξ)＝15，
所以n＝30，
所以η～B.
故E(η)＝30×＝10.∴
E(3η＋6)＝3E(η)＋6＝36.
三、常见离散型随机变量的分布列
1、二点分布：如果随机变量X的分布列为
其中0