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2020-2021学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷人教新课标A版
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这是一份2020-2021学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷人教新课标A版，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合A＝{x∈Z|−1A.1B.2C.3D.4|
2. 已知，则tanα的值为（ ）
A.B.C.D.
3. 关于命题p：，下列说法正确的是（ ）
A.B.不能判断p的真假
C.p是假命题D.p是真命题
4. 方程sin2x−lg5x＝0解的个数为（ ）
A.1B.3C.5D.7
5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.B.a3>b3C.ln(b−a)>0D.3a−b<1
6. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)＝f(−x)，若f(−1)＝2，则f(2021)＝（ ）
A.−4B.−2C.0D.2
7. 《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（ ）
A.米B.米C.米D.米
8. 已知函数f(x)＝|lg3x|，当0A.9B.4C.3D.2
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
下列命题正确的是（ ）
A.∀a∈(0, 1)∪(1, +∞)，函数f(x)＝ax−1+lgax+2恒过定点(1, 3)
B.∃x∈(0, +∞)，
C.若sinα⋅csα>0，则α为第一象限角
D.若，则
为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点P(x, y)．若初始位置为点，秒针从P0（规定此时t＝0）开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（ ）
A.B.
C.D.
不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|−1≤x≤2}，对于系数a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A.a+b＝0B.a+b+c>0C.c>0D.b<0
已知定义域为A的函数f(x)，若对任意的x1，x2∈A，都有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)，则称函数f(x)为“定义域上的优美函数”．以下函数是“定义域上的优美函数”的有（ ）
A.B.f(x)＝ex，x∈R
C.f(x)＝sinx，x∈[0, π]D.f(x)＝lg3x，x∈[2, +∞)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，）
函数y＝lg2(−3−x)的定义域为A，函数的值域为B，则A∪B＝________．
已知tan(α−π6)＝12，tan(π6−β)＝13，则tan(α−β)的值为________．
设函数f(x)＝则满足f(x)+f(x−1)>1的x的取值范围是________．
已知函数y＝csωx−a，x∈[−π, π]（其中a，ω为常数，且ω>0）有且仅有5个零点，则a的值为________.(ω的取值范围是________．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
已知集合，集合N＝{x|x2−mx−2m2<0, 其中m>0}．
（1）当m＝2时，求M∩N；
（2）若x∈M是x∈N的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
如图，以x轴非负半轴为始边，角α的终边与单位圆相交于点，将角α的终边绕着原点O顺时针旋转得到角β．
（1）求的值；
（2）求sin2β+2csβ的值．
若f(x)为R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝x2−2x．
（1）求f(x)在R上的解析式；
（2）判断函数f(x)在(−∞, 0]上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式f(ax−a)+f(−x−2)>0．
已知函数为偶函数，且f(x)图象的相邻两个最高点的距离为π．
（1）当时，求f(x)的单调递增区间；
（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g(x)的图象．求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园--东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为45m2，四月底浮萍覆盖面积为80m2，八月底浮萍覆盖面积为115m2.若浮萍覆盖面积y（单位：m2）与月份x(2020年1月底记x=1，2021年1月底记x=13)的关系有两个函数模型y=kax(k>0, a>1)与y=mlg2x+n(m>0)可供选择．
（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；
（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m2？（可能用到的数据lg215≈3.9，239≈1.37，32023≈66.72）
已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点．
（1）若函数F(x)＝−3f(x)+10−m在区间(0, 2)内存在零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数f(x)＝g(x)+h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，若x∈(0, 1]时，2lnh(x)−lng(x)−t≥0恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
【答案】
C
【考点】
子集与真子集
【解析】
先求出集合A，然后集合的真子集定义写出真子集，从而得到集合A的真子集的个数．
【解答】
∵ 集合A＝{x∈Zǀ−1∴ 集合A＝{x∈Zǀ−1所以A的真子集个数为3．
2.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
利用同角三角函数间的基本关系即可求解．
【解答】
因为，
所以csα＝-＝-，
则tanα＝＝-．
3.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
￢P:∃a，b∈R，ab>（）2，当a，b均为负数时，ab≥（）2，由此能求出结果．
【解答】
∵ 命题p：，
∴ ￢P:∃a，b∈R）2，故A错误；
当a，b一正一负时，（）4≥0，ab≤（）5；
当a，b中至少一个为0时，（）8≥0，ab≤（）2；
当a，b均为负数时，
整理得ab≥（）2，当且仅当a＝b时取等号，
当a，b均为正数时，整理得ab≤（）2，当取仅当a＝b时，取等号．
∴ 命题p：是假命题，D均错误．
4.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
方程sin2x−lg5x＝0，即求y＝sin2x与y＝lg5x交点的个数，利用图象，可得结论．
【解答】
方程sin2x−lg5x＝4解的个数，即求y＝sin2x与y＝lg5x交点的个数，
大致图象，如图所示：
由图象可得，交点个数为5，
故选：B．
5.
【答案】
D
【考点】
指、对数不等式的解法
【解析】
由题意利用对数函数的性质，解对数不等式，求得它的解集．
【解答】
∵ ，∴ 0，a3由 b−a>0，不能得到b−a>1，故C错误；
∴ 4b−a>30＝5，故D正确，
6.
【答案】
B
【考点】
抽象函数及其应用
【解析】
由奇函数的性质和f(2+x)＝f(−x)，求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将f(2021)转化为f(1)，即可求解．
【解答】
由题意得，f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(2+x)＝f(−x)＝−f(x)，则f(x+4)＝−f(x+7)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，
因为f(−1)＝7，所以f(1)＝−f(−1)＝−2，
所以f(2021)＝f(2+504×5)＝f(1)＝−2．
故选：B．
7.
【答案】
C
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
画出图形，求出弓所在的弧长以及对应的圆心角，进而可以求解．
【解答】
如图所示，弓所在弧长为＝，
则其对应的圆心角∠AOB＝，
则两手之间的距离为AB＝2rsin＝3×＝，
8.
【答案】
A
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
根据f(x) 图象判断0【解答】
画出f(x)图象如下图所示，
由于0由|lg3n|＝|lg5m|，得−lg3n＝lg3m，
∴ lg2n+lg3m＝lg3mn＝2，∴ mn＝1．
由n2−n＝n(n−8)<0，得0∴ f(x)在[n3, m]上的最大值为f(n2)＝|lg3n5|＝|2lg3n|＝−4lg3n＝2，
∴ lg5n＝−1，∴ n＝，
∴ m＝＝3，∴ ．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
【答案】
A,B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
对于A，利用指数函数、对数函数的特殊值进行判断；对于B，利用特殊值进行判断；对于C，α为第一象限角或第三象限角；对于D，若，则sin2α∈(0, 1]，从而＝≥4．
【解答】
∀a∈(0, 1)∪(3，x＝1时，ax−1＝3，lgax＝0，
∴ 函数f(x)＝ax−1+lgax+7恒过定点(1, 3)；
对于B，∵ lg10＝，+∞)，；
对于C，∵ sinα⋅csα＝，
∴ 若sinα⋅csα>3，则2α为第一象限角或第二象限角，
∴ α为第一象限角或第三象限角，故C错误；
对于D，若，则sin2α∈(0，
∴ ＝＝＝≥4．
【答案】
C,D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
首先确定函数的周期，再设函数的解析式，待定系数可求函数的解析式．
【解答】
∵ 函数的周期为T＝60，∴ ω＝＝，
设函数解析式为y＝sin(−t+φ)（顺时针走动为负方向）
∵ 初始位置为，
∴ t＝0时，y＝，
∴ sinφ＝，∴ φ可取，
∴ 函数解析式为y＝sin(−t+）．
由诱导公式可得函数解析式为y＝cs（t+）．
【答案】
A,B,C
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
根据不等式ax2+bx+c≥0的解集得出a<0且b＝−a，c＝−2a；结合不等式对应二次函数的关系，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】
所以a+b＝0，选项A正确（1）设二次函数f(x)＝ax8+bx+c，且a<0，
且函数的零点是−1和5，所以f(1)＝a+b+c>0(2)因为c＝−2a>7，所以选项C正确（3）因为b＝−a>0，所以选项D错误．
故选：ABC．
【答案】
A,C,D
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
根据“定义域上的优美函数”的定义，逐一分析给定的函数是否满足定义，即可得到答案．
【解答】
对于A，，
f(x1+x2)＝(x3+x2)2+3＝x12+x52+2x2x2+1，
f(x6)+f(x2)＝x12+x22+6，
f(x1+x2)≤f(x8)+f(x2)恒成立，满足定义；
对于B，f(x)＝ex，x∈R，
f(x1+x2)＝，f(x6)+f(x2)＝+，
当x1＝x2＝5时，f(x1+x2)＝e6，f(x1)+f(x2)＝6e2，
显然f(x1+x3)>f(x1)+f(x2)，不满足定义；
对于C，f(x)＝sinx，π]，
f(x4+x2)＝sin(x1+x6)＝sinx1csx2+csx4sinx2，
f(x1)+f(x3)＝sinx1+sinx2，
f(x3+x2)≤f(x1)+f(x2)恒成立，满足定义；
对于D，f(x)＝lg3x，x∈[2，
x7+x2≤x1x2恒成立，
f(x1+x2)＝lg7(x1+x2)，
f(x6)+f(x2)＝lg3x2+lg3x2＝lg7(x1x2)，
f(x2+x2)≤f(x1)+f(x5)恒成立，满足定义．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，）
【答案】
{x|x<−3或x≥0}
【考点】
函数的定义域及其求法
函数的值域及其求法
【解析】
根据对数函数的性质，可得集合A，由幂函数的性质可得集合B，再有集合的并集运算即可得出答案．
【解答】
根据题意可得A＝{x|−3−x>0}＝{x|x<−7}，
B＝{y|y＝x}＝{y|y＝，
所以A∪B＝{x|x<−7或x≥0}．
【答案】
1
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
根据α−β=(α−π6)+(π6−β)，利用两角和的正切公式计算即可．
【解答】
因为tan(α−π6)＝12，tan(π6−β)＝13，
所以tan(α−β)=tan[(α−π6)+(π6−β)]
=tan(α−π6)+tan(π6−β)1−tan(α−π6)tan(π6−β)
=12+131−12×13
=1．
【答案】
(0, +∞)
【考点】
分段函数的应用
【解析】
作出函数f(x)的图象，由图象可知函数f(x)为增函数，又因为x>x−1，且x−(x−1)＝1，f(0)＝1，结合图象分析求解即可得到答案．
【解答】
函数f(x)＝，作出图象如图所示，
由图象可知函数f(x)在R上为单调递增函数，
因为x>x−1，且x−(x−7)＝1，
故要使f(x)+f(x−1)>5，则有x−1>−1，
解得x>4，
所以满足f(x)+f(x−1)>1的x的取值范围是(7, +∞)．
【答案】
1,[4, 6)
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
先利用函数为偶函数，得到x＝0为其中一个零点，从而求出a的值，再将零点问题转化为两个图象的交点进行分析，利用数形结合的方法求解即可．
【解答】
因为函数y＝f(x)＝csωx−a，x∈[−π，其图象关于y轴对称，
因为函数有且仅有5个零点，
所以必有一个零点为x＝0，
则csω⋅6−a＝0，即a＝1，
所以函数f(x)＝csωx−3x∈[−π, π]的零点个数等价于曲线y＝csωx与直线y＝1在[−π，
当ω＝1时，曲线y＝csx与直线y＝8在[−π，则ω>1，
当ω＝2时，曲线y＝cs7x与直线y＝1在[−π，则ω>2，
当ω＝3时，曲线y＝cs4x与直线y＝1在[−π，如图所示，
当ω＝3时，曲线y＝cs6x与直线y＝1在[−π，如图所示，
所以ω的取值范围是[3, 6).
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
由<7，
所以M＝{x|−3当m＝7时，由x2−2x−6<0，得−2所以N＝{x|−2所以M∩N＝{x|−4由x2−mx−8m2<0及m>2，得−m因为x∈M是x∈N的必要不充分条件，
所以，且等号不能同时成立，
解得m，又m>0，
所以实数m的取值范围是(0，]．
【考点】
交集及其运算
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
（1）化简集合M，N，再进行集合交集运算即可求得答案；
（2）x∈M是x∈N的必要不充分条件，得N⫋M，即可求得m的取值范围．
【解答】
由<7，
所以M＝{x|−3当m＝7时，由x2−2x−6<0，得−2所以N＝{x|−2所以M∩N＝{x|−4由x2−mx−8m2<0及m>2，得−m因为x∈M是x∈N的必要不充分条件，
所以，且等号不能同时成立，
解得m，又m>0，
所以实数m的取值范围是(0，]．
【答案】
由题意可得csα＝-，sinα＝，
可得＝＝＝1．
由题意可得α−β＝，可得β＝，
所以sin2β+6csβ
＝sin2（）+7cs（）
＝sin(2）+2cs（）
＝−cs6α+2cs（）
＝4−2cs2α+(csα+sinα)
＝1−2×+（-）
＝-．
【考点】
二倍角的三角函数
运用诱导公式化简求值
【解析】
（1）由题意利用任意角的三角函数的定义可求得csα，sinα，tanα的值，利用诱导公式化简所求即可得解．
（2）由题意可得β＝，利用二倍角公式，两角差的余弦公式即可求解．
【解答】
由题意可得csα＝-，sinα＝，
可得＝＝＝1．
由题意可得α−β＝，可得β＝，
所以sin2β+6csβ
＝sin2（）+7cs（）
＝sin(2）+2cs（）
＝−cs6α+2cs（）
＝4−2cs2α+(csα+sinα)
＝1−2×+（-）
＝-．
【答案】
如x>0，则−x<0，
∵ x≤8时，f(x)＝x2−2x．
∴ f(−x)＝x4+2x，
∵ f(x)是奇函数，
∴ f(−x)＝x2+3x＝−f(x)，
即f(x)＝−x2−2x，(x>4)．
即f(x)＝．
设x1则f(x1)−f(x2)＝−2x3−（−2x2)＝-+7x2−2x7
＝(x1−x2)(x3+x2)−2(x4−x2)＝(x1−x3)(x1+x2−5)，
∵ x1∴ x1−x2<3，x1+x2−3<0，
∴ f(x1)−f(x5)>0，即f(x1)>f(x8)，
即f(x)在(−∞, 0]上的单调递减．
∵ f(x)是R上的奇函数，且在(−∞，
∴ f(x)在R上的单调递减，
由f(ax−a)+f(−x−2)>8得f(ax−a)>−f(−x−2)＝f(x+2)，
即ax−a即x(a−1)若a<6，则a−1<0，
若a＝1，则a−3＝0，解集为R，
若a>1，则a−6>0，
即a<1时，不等式的解集为（，a＝1时，a>1时，）．
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
（1）根据函数奇偶性的性质，结合对称性进行求解即可．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．
（3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
【解答】
如x>0，则−x<0，
∵ x≤8时，f(x)＝x2−2x．
∴ f(−x)＝x4+2x，
∵ f(x)是奇函数，
∴ f(−x)＝x2+3x＝−f(x)，
即f(x)＝−x2−2x，(x>4)．
即f(x)＝．
设x1则f(x1)−f(x2)＝−2x3−（−2x2)＝-+7x2−2x7
＝(x1−x2)(x3+x2)−2(x4−x2)＝(x1−x3)(x1+x2−5)，
∵ x1∴ x1−x2<3，x1+x2−3<0，
∴ f(x1)−f(x5)>0，即f(x1)>f(x8)，
即f(x)在(−∞, 0]上的单调递减．
∵ f(x)是R上的奇函数，且在(−∞，
∴ f(x)在R上的单调递减，
由f(ax−a)+f(−x−2)>8得f(ax−a)>−f(−x−2)＝f(x+2)，
即ax−a即x(a−1)若a<6，则a−1<0，
若a＝1，则a−3＝0，解集为R，
若a>1，则a−6>0，
即a<1时，不等式的解集为（，a＝1时，a>1时，）．
【答案】
由题意，函数f(x)＝），
因为函数f(x)图象的相邻两个最高点的距离为π，
所以T＝π．可得ω＝2，
又由函数f(x)为偶函数．
得φ+＝kπ+，
则φ＝kx+，k∈Z．
因为0<φ<π，
所以k＝0时，φ＝，
令2kπ−π≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得kπ−≤x≤kπ，
又，可得函数f(x)的单调递增区间为[-，]．
将函数f(x)的图象向右平移个单位长度）的图象，得到函数g(x)＝2cs(4x−，
当x∈时，4x−，]，
即当4x−＝时，即x＝-时，最小值为−1，
当7x−＝0时时，函数g(x)取得最大值．
【考点】
正弦函数的单调性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
（1）利用辅助角公式进行化简，结合函数奇偶性和周期性质求出函数的解析式，结合函数的单调性进行求解即可．
（2）根据图象变换求出函数g(x)的解析式，求出角的范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可．
【解答】
由题意，函数f(x)＝），
因为函数f(x)图象的相邻两个最高点的距离为π，
所以T＝π．可得ω＝2，
又由函数f(x)为偶函数．
得φ+＝kπ+，
则φ＝kx+，k∈Z．
因为0<φ<π，
所以k＝0时，φ＝，
令2kπ−π≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得kπ−≤x≤kπ，
又，可得函数f(x)的单调递增区间为[-，]．
将函数f(x)的图象向右平移个单位长度）的图象，得到函数g(x)＝2cs(4x−，
当x∈时，4x−，]，
即当4x−＝时，即x＝-时，最小值为−1，
当7x−＝0时时，函数g(x)取得最大值．
【答案】
若选择数据(2, 45)和(4, 80)，
由mlg22+n＝45mlg24+n＝80，解得m=35，n=10，则y=351g2x+10，
当x=8时，y=351g28+10=115，与实际情况相符，
由k⋅a4＝80˙，解得a=43，k=40516，则y=40516×(43)x，
当x=8时，y=40516×(43)8＝2048081>115，与实际情况差别比较大，
故选函数模型y=351g2x+10；
因为351g215+10≈35×3.9+10=146.5，
351g216+10=150，而146.5<148<150，
所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m2．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）分别选择两个函数模型求出对应的参数，再令x=8求出y的值，与实际情况对比即可求解；（2）根据（1）选择的函数模型代入数据比较即可求解．
【解答】
若选择数据(2, 45)和(4, 80)，
由mlg22+n＝45mlg24+n＝80，解得m=35，n=10，则y=351g2x+10，
当x=8时，y=351g28+10=115，与实际情况相符，
由k⋅a4＝80˙，解得a=43，k=40516，则y=40516×(43)x，
当x=8时，y=40516×(43)8＝2048081>115，与实际情况差别比较大，
故选函数模型y=351g2x+10；
因为351g215+10≈35×3.9+10=146.5，
351g216+10=150，而146.5<148<150，
所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m2．
【答案】
因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，
所以，解得a＝8，
则f(x)＝3x，
因为x∈(0, 4)x<9，
令t＝3x，则5函数F(x)＝−3f(x)+10−m在区间(5, 2)内存在零点，
即函数G(t)＝−3t+10−m在区间(7, 9)内有零点，
所以G(1)⋅G(9)<0，即(2−m)(−17−m)<0，
所以实数m的取值范围为(−17, 7)；
由题意可得，函数f(x)＝g(x)+h(x)，h(x)为偶函数，
可得，
即，解得，
因为2lnh(x)−lng(x)−t≥0，
所以，
设a＝2x−3−x，
因为0所以，
所以，
因为，
当且仅当，即a＝2时取等号，
所以t≤ln5，
故实数t的取值范围为(−∞, ln2]．
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）先利用函数f(x)过点，求出f(x)的解析式，然后利用换元法，令t＝3x，将问题转化为函数G(t)＝−3t+10−m在区间(1, 9)内有零点，再利用零点的存在性定理列出G(1)⋅G(9)<0，求解即可；
（2）利用g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，得到一个方程组，求出g(x)和h(x)的解析式，然后将问题转化为，再利用换元法，令a＝3x−3−x，问题转化为，利用基本不等式求解最值即可得到答案．
【解答】
因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，
所以，解得a＝8，
则f(x)＝3x，
因为x∈(0, 4)x<9，
令t＝3x，则5函数F(x)＝−3f(x)+10−m在区间(5, 2)内存在零点，
即函数G(t)＝−3t+10−m在区间(7, 9)内有零点，
所以G(1)⋅G(9)<0，即(2−m)(−17−m)<0，
所以实数m的取值范围为(−17, 7)；
由题意可得，函数f(x)＝g(x)+h(x)，h(x)为偶函数，
可得，
即，解得，
因为2lnh(x)−lng(x)−t≥0，
所以，
设a＝2x−3−x，
因为0所以，
所以，
因为，
当且仅当，即a＝2时取等号，
所以t≤ln5，
故实数t的取值范围为(−∞, ln2]．
1. 若集合A＝{x∈Z|−1
2. 已知，则tanα的值为（ ）
A.B.C.D.
3. 关于命题p：，下列说法正确的是（ ）
A.B.不能判断p的真假
C.p是假命题D.p是真命题
4. 方程sin2x−lg5x＝0解的个数为（ ）
A.1B.3C.5D.7
5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.B.a3>b3C.ln(b−a)>0D.3a−b<1
6. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)＝f(−x)，若f(−1)＝2，则f(2021)＝（ ）
A.−4B.−2C.0D.2
7. 《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为（ ）
A.米B.米C.米D.米
8. 已知函数f(x)＝|lg3x|，当0
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
下列命题正确的是（ ）
A.∀a∈(0, 1)∪(1, +∞)，函数f(x)＝ax−1+lgax+2恒过定点(1, 3)
B.∃x∈(0, +∞)，
C.若sinα⋅csα>0，则α为第一象限角
D.若，则
为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点P(x, y)．若初始位置为点，秒针从P0（规定此时t＝0）开始沿顺时针方向转动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（ ）
A.B.
C.D.
不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|−1≤x≤2}，对于系数a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A.a+b＝0B.a+b+c>0C.c>0D.b<0
已知定义域为A的函数f(x)，若对任意的x1，x2∈A，都有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)，则称函数f(x)为“定义域上的优美函数”．以下函数是“定义域上的优美函数”的有（ ）
A.B.f(x)＝ex，x∈R
C.f(x)＝sinx，x∈[0, π]D.f(x)＝lg3x，x∈[2, +∞)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，）
函数y＝lg2(−3−x)的定义域为A，函数的值域为B，则A∪B＝________．
已知tan(α−π6)＝12，tan(π6−β)＝13，则tan(α−β)的值为________．
设函数f(x)＝则满足f(x)+f(x−1)>1的x的取值范围是________．
已知函数y＝csωx−a，x∈[−π, π]（其中a，ω为常数，且ω>0）有且仅有5个零点，则a的值为________.(ω的取值范围是________．
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
已知集合，集合N＝{x|x2−mx−2m2<0, 其中m>0}．
（1）当m＝2时，求M∩N；
（2）若x∈M是x∈N的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
如图，以x轴非负半轴为始边，角α的终边与单位圆相交于点，将角α的终边绕着原点O顺时针旋转得到角β．
（1）求的值；
（2）求sin2β+2csβ的值．
若f(x)为R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝x2−2x．
（1）求f(x)在R上的解析式；
（2）判断函数f(x)在(−∞, 0]上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式f(ax−a)+f(−x−2)>0．
已知函数为偶函数，且f(x)图象的相邻两个最高点的距离为π．
（1）当时，求f(x)的单调递增区间；
（2）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g(x)的图象．求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园--东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为45m2，四月底浮萍覆盖面积为80m2，八月底浮萍覆盖面积为115m2.若浮萍覆盖面积y（单位：m2）与月份x(2020年1月底记x=1，2021年1月底记x=13)的关系有两个函数模型y=kax(k>0, a>1)与y=mlg2x+n(m>0)可供选择．
（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；
（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m2？（可能用到的数据lg215≈3.9，239≈1.37，32023≈66.72）
已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点．
（1）若函数F(x)＝−3f(x)+10−m在区间(0, 2)内存在零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数f(x)＝g(x)+h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，若x∈(0, 1]时，2lnh(x)−lng(x)−t≥0恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省聊城市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
【答案】
C
【考点】
子集与真子集
【解析】
先求出集合A，然后集合的真子集定义写出真子集，从而得到集合A的真子集的个数．
【解答】
∵ 集合A＝{x∈Zǀ−1
2.
【答案】
A
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
利用同角三角函数间的基本关系即可求解．
【解答】
因为，
所以csα＝-＝-，
则tanα＝＝-．
3.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
￢P:∃a，b∈R，ab>（）2，当a，b均为负数时，ab≥（）2，由此能求出结果．
【解答】
∵ 命题p：，
∴ ￢P:∃a，b∈R）2，故A错误；
当a，b一正一负时，（）4≥0，ab≤（）5；
当a，b中至少一个为0时，（）8≥0，ab≤（）2；
当a，b均为负数时，
整理得ab≥（）2，当且仅当a＝b时取等号，
当a，b均为正数时，整理得ab≤（）2，当取仅当a＝b时，取等号．
∴ 命题p：是假命题，D均错误．
4.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
方程sin2x−lg5x＝0，即求y＝sin2x与y＝lg5x交点的个数，利用图象，可得结论．
【解答】
方程sin2x−lg5x＝4解的个数，即求y＝sin2x与y＝lg5x交点的个数，
大致图象，如图所示：
由图象可得，交点个数为5，
故选：B．
5.
【答案】
D
【考点】
指、对数不等式的解法
【解析】
由题意利用对数函数的性质，解对数不等式，求得它的解集．
【解答】
∵ ，∴ 0
∴ 4b−a>30＝5，故D正确，
6.
【答案】
B
【考点】
抽象函数及其应用
【解析】
由奇函数的性质和f(2+x)＝f(−x)，求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将f(2021)转化为f(1)，即可求解．
【解答】
由题意得，f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(2+x)＝f(−x)＝−f(x)，则f(x+4)＝−f(x+7)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，
因为f(−1)＝7，所以f(1)＝−f(−1)＝−2，
所以f(2021)＝f(2+504×5)＝f(1)＝−2．
故选：B．
7.
【答案】
C
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
画出图形，求出弓所在的弧长以及对应的圆心角，进而可以求解．
【解答】
如图所示，弓所在弧长为＝，
则其对应的圆心角∠AOB＝，
则两手之间的距离为AB＝2rsin＝3×＝，
8.
【答案】
A
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
根据f(x) 图象判断0
画出f(x)图象如下图所示，
由于0
∴ lg2n+lg3m＝lg3mn＝2，∴ mn＝1．
由n2−n＝n(n−8)<0，得0
∴ lg5n＝−1，∴ n＝，
∴ m＝＝3，∴ ．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）
【答案】
A,B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
对于A，利用指数函数、对数函数的特殊值进行判断；对于B，利用特殊值进行判断；对于C，α为第一象限角或第三象限角；对于D，若，则sin2α∈(0, 1]，从而＝≥4．
【解答】
∀a∈(0, 1)∪(3，x＝1时，ax−1＝3，lgax＝0，
∴ 函数f(x)＝ax−1+lgax+7恒过定点(1, 3)；
对于B，∵ lg10＝，+∞)，；
对于C，∵ sinα⋅csα＝，
∴ 若sinα⋅csα>3，则2α为第一象限角或第二象限角，
∴ α为第一象限角或第三象限角，故C错误；
对于D，若，则sin2α∈(0，
∴ ＝＝＝≥4．
【答案】
C,D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
首先确定函数的周期，再设函数的解析式，待定系数可求函数的解析式．
【解答】
∵ 函数的周期为T＝60，∴ ω＝＝，
设函数解析式为y＝sin(−t+φ)（顺时针走动为负方向）
∵ 初始位置为，
∴ t＝0时，y＝，
∴ sinφ＝，∴ φ可取，
∴ 函数解析式为y＝sin(−t+）．
由诱导公式可得函数解析式为y＝cs（t+）．
【答案】
A,B,C
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
根据不等式ax2+bx+c≥0的解集得出a<0且b＝−a，c＝−2a；结合不等式对应二次函数的关系，判断选项中的命题是否正确即可．
【解答】
所以a+b＝0，选项A正确（1）设二次函数f(x)＝ax8+bx+c，且a<0，
且函数的零点是−1和5，所以f(1)＝a+b+c>0(2)因为c＝−2a>7，所以选项C正确（3）因为b＝−a>0，所以选项D错误．
故选：ABC．
【答案】
A,C,D
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
根据“定义域上的优美函数”的定义，逐一分析给定的函数是否满足定义，即可得到答案．
【解答】
对于A，，
f(x1+x2)＝(x3+x2)2+3＝x12+x52+2x2x2+1，
f(x6)+f(x2)＝x12+x22+6，
f(x1+x2)≤f(x8)+f(x2)恒成立，满足定义；
对于B，f(x)＝ex，x∈R，
f(x1+x2)＝，f(x6)+f(x2)＝+，
当x1＝x2＝5时，f(x1+x2)＝e6，f(x1)+f(x2)＝6e2，
显然f(x1+x3)>f(x1)+f(x2)，不满足定义；
对于C，f(x)＝sinx，π]，
f(x4+x2)＝sin(x1+x6)＝sinx1csx2+csx4sinx2，
f(x1)+f(x3)＝sinx1+sinx2，
f(x3+x2)≤f(x1)+f(x2)恒成立，满足定义；
对于D，f(x)＝lg3x，x∈[2，
x7+x2≤x1x2恒成立，
f(x1+x2)＝lg7(x1+x2)，
f(x6)+f(x2)＝lg3x2+lg3x2＝lg7(x1x2)，
f(x2+x2)≤f(x1)+f(x5)恒成立，满足定义．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，）
【答案】
{x|x<−3或x≥0}
【考点】
函数的定义域及其求法
函数的值域及其求法
【解析】
根据对数函数的性质，可得集合A，由幂函数的性质可得集合B，再有集合的并集运算即可得出答案．
【解答】
根据题意可得A＝{x|−3−x>0}＝{x|x<−7}，
B＝{y|y＝x}＝{y|y＝，
所以A∪B＝{x|x<−7或x≥0}．
【答案】
1
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
根据α−β=(α−π6)+(π6−β)，利用两角和的正切公式计算即可．
【解答】
因为tan(α−π6)＝12，tan(π6−β)＝13，
所以tan(α−β)=tan[(α−π6)+(π6−β)]
=tan(α−π6)+tan(π6−β)1−tan(α−π6)tan(π6−β)
=12+131−12×13
=1．
【答案】
(0, +∞)
【考点】
分段函数的应用
【解析】
作出函数f(x)的图象，由图象可知函数f(x)为增函数，又因为x>x−1，且x−(x−1)＝1，f(0)＝1，结合图象分析求解即可得到答案．
【解答】
函数f(x)＝，作出图象如图所示，
由图象可知函数f(x)在R上为单调递增函数，
因为x>x−1，且x−(x−7)＝1，
故要使f(x)+f(x−1)>5，则有x−1>−1，
解得x>4，
所以满足f(x)+f(x−1)>1的x的取值范围是(7, +∞)．
【答案】
1,[4, 6)
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
先利用函数为偶函数，得到x＝0为其中一个零点，从而求出a的值，再将零点问题转化为两个图象的交点进行分析，利用数形结合的方法求解即可．
【解答】
因为函数y＝f(x)＝csωx−a，x∈[−π，其图象关于y轴对称，
因为函数有且仅有5个零点，
所以必有一个零点为x＝0，
则csω⋅6−a＝0，即a＝1，
所以函数f(x)＝csωx−3x∈[−π, π]的零点个数等价于曲线y＝csωx与直线y＝1在[−π，
当ω＝1时，曲线y＝csx与直线y＝8在[−π，则ω>1，
当ω＝2时，曲线y＝cs7x与直线y＝1在[−π，则ω>2，
当ω＝3时，曲线y＝cs4x与直线y＝1在[−π，如图所示，
当ω＝3时，曲线y＝cs6x与直线y＝1在[−π，如图所示，
所以ω的取值范围是[3, 6).
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
由<7，
所以M＝{x|−3
所以，且等号不能同时成立，
解得m，又m>0，
所以实数m的取值范围是(0，]．
【考点】
交集及其运算
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
（1）化简集合M，N，再进行集合交集运算即可求得答案；
（2）x∈M是x∈N的必要不充分条件，得N⫋M，即可求得m的取值范围．
【解答】
由<7，
所以M＝{x|−3
所以，且等号不能同时成立，
解得m，又m>0，
所以实数m的取值范围是(0，]．
【答案】
由题意可得csα＝-，sinα＝，
可得＝＝＝1．
由题意可得α−β＝，可得β＝，
所以sin2β+6csβ
＝sin2（）+7cs（）
＝sin(2）+2cs（）
＝−cs6α+2cs（）
＝4−2cs2α+(csα+sinα)
＝1−2×+（-）
＝-．
【考点】
二倍角的三角函数
运用诱导公式化简求值
【解析】
（1）由题意利用任意角的三角函数的定义可求得csα，sinα，tanα的值，利用诱导公式化简所求即可得解．
（2）由题意可得β＝，利用二倍角公式，两角差的余弦公式即可求解．
【解答】
由题意可得csα＝-，sinα＝，
可得＝＝＝1．
由题意可得α−β＝，可得β＝，
所以sin2β+6csβ
＝sin2（）+7cs（）
＝sin(2）+2cs（）
＝−cs6α+2cs（）
＝4−2cs2α+(csα+sinα)
＝1−2×+（-）
＝-．
【答案】
如x>0，则−x<0，
∵ x≤8时，f(x)＝x2−2x．
∴ f(−x)＝x4+2x，
∵ f(x)是奇函数，
∴ f(−x)＝x2+3x＝−f(x)，
即f(x)＝−x2−2x，(x>4)．
即f(x)＝．
设x1
＝(x1−x2)(x3+x2)−2(x4−x2)＝(x1−x3)(x1+x2−5)，
∵ x1
∴ f(x1)−f(x5)>0，即f(x1)>f(x8)，
即f(x)在(−∞, 0]上的单调递减．
∵ f(x)是R上的奇函数，且在(−∞，
∴ f(x)在R上的单调递减，
由f(ax−a)+f(−x−2)>8得f(ax−a)>−f(−x−2)＝f(x+2)，
即ax−a
若a＝1，则a−3＝0，解集为R，
若a>1，则a−6>0，
即a<1时，不等式的解集为（，a＝1时，a>1时，）．
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
（1）根据函数奇偶性的性质，结合对称性进行求解即可．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．
（3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．
【解答】
如x>0，则−x<0，
∵ x≤8时，f(x)＝x2−2x．
∴ f(−x)＝x4+2x，
∵ f(x)是奇函数，
∴ f(−x)＝x2+3x＝−f(x)，
即f(x)＝−x2−2x，(x>4)．
即f(x)＝．
设x1
＝(x1−x2)(x3+x2)−2(x4−x2)＝(x1−x3)(x1+x2−5)，
∵ x1
∴ f(x1)−f(x5)>0，即f(x1)>f(x8)，
即f(x)在(−∞, 0]上的单调递减．
∵ f(x)是R上的奇函数，且在(−∞，
∴ f(x)在R上的单调递减，
由f(ax−a)+f(−x−2)>8得f(ax−a)>−f(−x−2)＝f(x+2)，
即ax−a
若a＝1，则a−3＝0，解集为R，
若a>1，则a−6>0，
即a<1时，不等式的解集为（，a＝1时，a>1时，）．
【答案】
由题意，函数f(x)＝），
因为函数f(x)图象的相邻两个最高点的距离为π，
所以T＝π．可得ω＝2，
又由函数f(x)为偶函数．
得φ+＝kπ+，
则φ＝kx+，k∈Z．
因为0<φ<π，
所以k＝0时，φ＝，
令2kπ−π≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得kπ−≤x≤kπ，
又，可得函数f(x)的单调递增区间为[-，]．
将函数f(x)的图象向右平移个单位长度）的图象，得到函数g(x)＝2cs(4x−，
当x∈时，4x−，]，
即当4x−＝时，即x＝-时，最小值为−1，
当7x−＝0时时，函数g(x)取得最大值．
【考点】
正弦函数的单调性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
（1）利用辅助角公式进行化简，结合函数奇偶性和周期性质求出函数的解析式，结合函数的单调性进行求解即可．
（2）根据图象变换求出函数g(x)的解析式，求出角的范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可．
【解答】
由题意，函数f(x)＝），
因为函数f(x)图象的相邻两个最高点的距离为π，
所以T＝π．可得ω＝2，
又由函数f(x)为偶函数．
得φ+＝kπ+，
则φ＝kx+，k∈Z．
因为0<φ<π，
所以k＝0时，φ＝，
令2kπ−π≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得kπ−≤x≤kπ，
又，可得函数f(x)的单调递增区间为[-，]．
将函数f(x)的图象向右平移个单位长度）的图象，得到函数g(x)＝2cs(4x−，
当x∈时，4x−，]，
即当4x−＝时，即x＝-时，最小值为−1，
当7x−＝0时时，函数g(x)取得最大值．
【答案】
若选择数据(2, 45)和(4, 80)，
由mlg22+n＝45mlg24+n＝80，解得m=35，n=10，则y=351g2x+10，
当x=8时，y=351g28+10=115，与实际情况相符，
由k⋅a4＝80˙，解得a=43，k=40516，则y=40516×(43)x，
当x=8时，y=40516×(43)8＝2048081>115，与实际情况差别比较大，
故选函数模型y=351g2x+10；
因为351g215+10≈35×3.9+10=146.5，
351g216+10=150，而146.5<148<150，
所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m2．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）分别选择两个函数模型求出对应的参数，再令x=8求出y的值，与实际情况对比即可求解；（2）根据（1）选择的函数模型代入数据比较即可求解．
【解答】
若选择数据(2, 45)和(4, 80)，
由mlg22+n＝45mlg24+n＝80，解得m=35，n=10，则y=351g2x+10，
当x=8时，y=351g28+10=115，与实际情况相符，
由k⋅a4＝80˙，解得a=43，k=40516，则y=40516×(43)x，
当x=8时，y=40516×(43)8＝2048081>115，与实际情况差别比较大，
故选函数模型y=351g2x+10；
因为351g215+10≈35×3.9+10=146.5，
351g216+10=150，而146.5<148<150，
所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m2．
【答案】
因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，
所以，解得a＝8，
则f(x)＝3x，
因为x∈(0, 4)x<9，
令t＝3x，则5
即函数G(t)＝−3t+10−m在区间(7, 9)内有零点，
所以G(1)⋅G(9)<0，即(2−m)(−17−m)<0，
所以实数m的取值范围为(−17, 7)；
由题意可得，函数f(x)＝g(x)+h(x)，h(x)为偶函数，
可得，
即，解得，
因为2lnh(x)−lng(x)−t≥0，
所以，
设a＝2x−3−x，
因为0
所以，
因为，
当且仅当，即a＝2时取等号，
所以t≤ln5，
故实数t的取值范围为(−∞, ln2]．
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）先利用函数f(x)过点，求出f(x)的解析式，然后利用换元法，令t＝3x，将问题转化为函数G(t)＝−3t+10−m在区间(1, 9)内有零点，再利用零点的存在性定理列出G(1)⋅G(9)<0，求解即可；
（2）利用g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，得到一个方程组，求出g(x)和h(x)的解析式，然后将问题转化为，再利用换元法，令a＝3x−3−x，问题转化为，利用基本不等式求解最值即可得到答案．
【解答】
因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，
所以，解得a＝8，
则f(x)＝3x，
因为x∈(0, 4)x<9，
令t＝3x，则5
即函数G(t)＝−3t+10−m在区间(7, 9)内有零点，
所以G(1)⋅G(9)<0，即(2−m)(−17−m)<0，
所以实数m的取值范围为(−17, 7)；
由题意可得，函数f(x)＝g(x)+h(x)，h(x)为偶函数，
可得，
即，解得，
因为2lnh(x)−lng(x)−t≥0，
所以，
设a＝2x−3−x，
因为0
所以，
因为，
当且仅当，即a＝2时取等号，
所以t≤ln5，
故实数t的取值范围为(−∞, ln2]．
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