数学第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.1 三角函数的定义学案

这是一份数学第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.1 三角函数的定义学案，共4页。学案主要包含了教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学过程】
一、问题导入
初中的时候我们学过，在一个直角三角形中，如果锐角α的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有sinα=a/c，csα=b/c，tanα=a/b。
当α是一个锐角时，上述正弦、余弦与正切，能否通过α终边上的点的坐标来定义呢？这种定义的方式能否推广到任意角？
二、新知探究
1．任意角三角函数的定义
【例1】（1）若sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝－eq \f(4,5)，则在角α终边上的点有（ ）。
A．（－4，3）B．（3，－4）
C．（4，－3）D．（－3，4）
（2）若α＝－eq \f(π,3)，则sin α＝________，cs α＝________，tan α＝________。
（3）已知角α的终边过点P（－3a，4a）（a≠0），则2sin α＋cs α＝________。
[思路探究]（1）由定义确定终边位置，结合函数值求解。
（2）在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解。
（3）分α＞0，α＜0两种情况分别求解。
【答案】（1）A；（2）－eq \f(\r(3),2)；eq \f(1,2)；－eq \r(3)；（3）1或－1
【解析】（1）由sin α，cs α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A。
（2）因为角－eq \f(π,3)的终边与单位圆交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，
所以sin α＝－eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(1,2)，
tan α＝－eq \r(3)。
（3）因为r＝eq \r(－3a2＋4a2)＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限。
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，
所以2sin α＋cs α＝eq \f(8,5)－eq \f(3,5)＝1．
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝eq \f(4a,－5a)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5)，
所以2sin α＋cs α＝－eq \f(8,5)＋eq \f(3,5)＝－1。]
[教师小结]由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
（1）已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；
②在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r＞0），则sin α＝ eq \f(y,r)，cs α＝ eq \f(x,r)。已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便。
（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论。
2．三角函数符号的判断
【例2】判断下列各式的符号。
（1）sin 2 015°cs 2 016°tan 2 017°；
（2）tan 191°－cs 191°；
（3）sin 2cs 3tan 4．
[思路探究]先确定角所在象限，进一步确定各式的符号。
【解】（1）∵2015°＝5×360°＋215°，
2016°＝5×360°＋216°，2017°＝5×360°＋217°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin2015°<0，cs2016°<0，tan2017°>0，
∴sin2015°cs 2 016°tan2017°>0.
（2）∵191°角是第三象限角，
∴tan191°>0，cs191°<0，
∴tan191°－cs191°>0.
（3）∵eq \f(π,2)<2<π，eq \f(π,2)<3<π，π<4∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin2>0，cs3<0，tan4>0，
∴sin2·cs3·tan4<0.
[教师小结]由三角函数的定义知sinα＝ eq \f(y,r)，csα＝ eq \f(x,r)，tanα＝ eq \f(y,x)（r＞0），可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P（x，y）的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键。
三、课堂总结
1．对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的。从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值。根据三角函数定义知：
（1）正弦值的符号取决于纵坐标y的符号。
（2）余弦值的符号取决于横坐标x的符号。
（3）正切值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负。
2．巧记三角函数值符号
为了便于记忆，我们把三角函数值在各象限的符号规律概括为下面的口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正， 其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负。
2．对三角函数定义的三点说明
（1）三角函数是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从角的集合（弧度制）到一个比值的集合的对应。
（2）三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围。
（3）三角函数值的大小只与角有关，而与点P（x，y）的位置无关。
四、课堂检测
1．已知P（1，－5）是α终边上一点，则sin α＝（ ）。
A．1B．－5
C．－eq \f(5\r(26),26)D．eq \f(\r(26),26)
【答案】C
【解析】∵x＝1，y＝－5，
∴r＝eq \r(26)，
∴sinα＝eq \f(y,r)＝－eq \f(5\r(26),26)。
2．sin1·cs2·tan3的值是（ ）。
A．正数B．负数
C．0D．不存在
【答案】A
【解析】∵0<1∴sin1>0，cs2<0，tan3<0，
∴sin1·cs2·tan3>0.
3．如果sin x＝|sin x|，那么角x的取值集合是________。
【答案】eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z))))
【解析】∵sin x＝|sin x|，
∴sinx≥0，
∴2kπ≤x≤2kπ＋π，k ∈ Z。
4．已知角α的终边过点P（5，a），且tan α＝－eq \f(12,5)，求sin α＋cs α的值。
【解】根据三角函数的定义，tanα＝eq \f(a,5)＝－eq \f(12,5)，
∴a＝－12，
∴P（5，－12），r＝13，
∴sin α＝－eq \f(12,13)，cs α＝eq \f(5,13)，
从而sinα＋csα＝－eq \f(7,13)。教学目标
核心素养
1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角余切、正割、余割的定义。（重点）
2．会根据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，并知道三角函数在各象限内的符号。（难点）
1．通过任意角的三角函数概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养。
2．借助角在各象限符号的判断，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养。