数学11.4.2 平面与平面垂直第1课时习题

11.4.2 平面与平面垂直（1）

【基础练习】

一、单选题

1．正方体的棱长为1，则二面角的余弦值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

如图，取中点，连结交于点，连结，，则，，

所以即是二面角的平面角，

又因正方体棱长为1，所以，所以，又，

所以在，即二面角的余弦值为，

故选A

2．已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图所示，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接，

因为平面， 平面，所以，

因为， ，故平面，

因为平面，故，所以为的平面角，

在直角三角形中， ，，故，

故，故选B.

3．下列命题：

①两个相交平面组成的图形叫做二面角；

②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；

④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是(  )

A．①③ B．②④

C．③④ D．①②

【答案】B

【解析】

对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B．

4．在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（    ）个

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】

如图

在长方体中，侧棱与底面都是垂直的，所以侧面与底面ABCD垂直.

平面、平面、平面、平面均与平面ABCD垂直.

故选：D

5．已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（  ）

A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB

【答案】B

【解析】

画出图象如下图所示，由于，所以平面，而平面，所以平面平面.故选B.

二、填空题

6．如图所示，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是_______(填序号)． ①平面平面； ②平面平面；③平面平面，且平面平面； ④平面平面，且平面平面.

【答案】③

【解析】

因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．

因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，

故答案为：③．

7．已知直线平面，直线在平面内，给出下列四个命题：①;②；③；④ ，其中真命题的序号是__________.

【答案】①，④

【解析】

由直线m⊥平面α，直线n在平面β内，知：

①∵α∥β，∴直线m⊥平面β，∴m⊥n，故①正确；

②α⊥β⇒m与n相交、平行或异面，故②错误；

③m⊥n⇒α与β相交或平行，故③错误；

④∵m∥n，所以n⊥平面α，∴由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．

故答案为①④．

8．过正四棱锥的顶点与四个侧面所成的锐二面角都相等的平面有__________个.

【答案】3.

【解析】

如图：，故过正四棱锥的顶点与四个侧面所成的锐二面角都相等的平面，根对称性

可得：有面ABCD，面PAC,面PBD，故有三个面，答案为3

三、解答题

9．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求二面角的平面角的大小.

【答案】二面角的平面角的大小为45°.

【解析】

，

，.

同理可证.

，且平面

平面.

由平面，.

又，平面

平面.

平面，.

为二面角的平面角.

在中，.

∴二面角的平面角的大小为45°.

10．如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，且

（1）求证：平面平面；

（2）求证：∥平面.

【答案】（1）见证明；（2）见证明

【解析】

 (1)证明：因为为棱的中点，且，

所以，

因为是直三棱柱，

所以，

因为，

所以，

又因为，且，

所以，

因为，

所以平面.

(2)取的中点，连接和，

因为为棱的中点，

所以，且，

因为是棱柱，

所以，

因为为棱的中点，

所以，且，

所以，且，

所以是平行四边形，

所以，

又因为，

所以.

【提升练习】

一、单选题

1．已知正三棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

如图所示，过点作底面，点为垂足，连接，则，点为等边三角形的中心.

延长交于点，连接.

则.

为侧面与底面所成二面角的平面角.

∵正三棱锥的所有棱长均为2，

.

在中，，故选C.

2．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（    ）﹒

A．平面PAC B． C． D．平面平面PBC

【答案】C

【解析】

对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，

又由圆的性质可知，且，

则平面PAC.所以A正确；

对于B，由A可知，由题意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正确；

对于C，由B可知平面，因而与平面不垂直，所以不成立，所以C错误.

对于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性质可得平面平面PBC.所以D正确；

综上可知，C为错误选项.

故选：C.

3．如图所示，在四面体中，若，，E是的中点，则下列结论中正确的是（    ）

A．平面平面

B．平面平面

C．平面平面，且平面平面

D．平面平面，且平面平面

【答案】C

【解析】

因为，且是的中点，所以

因为，且是的中点，所以

又，平面，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

因为平面，

所以平面平面.

故选：C.

4．若二面角为，直线，直线，则直线所成角的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

如图，设上一点在平面内的垂足为，过点作交线的垂线，垂足为，连接，则可得是二面角的平面角，故，则．因为异面直线所成角最大为，而，所以当时，所成角取到最大值．而所在平面内的直线与所成的角中最小的角是线面角，所以当为直线或时，因为，所以此时所成角为，所成角的最小值为．所以所成角的取值范围为，故选C

5．在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，且.设与所成角为，与平面所成角为，二面角为，则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

如图可知，，因为平面则，

又由，故，则，同理可证得

所以

故选

二、填空题

6．若四边形是正方形，平面，则在平面、平面、平面、平面和平面中，互相垂直的平面一共有_______对.

【答案】5

【解析】

因为平面，平面，故，

因为四边形为正方形，故，因，

故平面，因平面，所以平面平面，

同理平面平面，平面平面，

而平面， 平面 ，故平面平面，

同理平面平面，

故共5对.填5.

7．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足条件①，②，③中的______时，平面平面（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.

【答案】②（或③）

【解析】

底面,,

底面各边都相等,,

,平面,

,

当(或时,即有平面,

而平面,平面平面.

故答案为:②(或③).

8．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时，那么这个二面角大小是_________.

【答案】60°

【解析】

很明显或其补角为所求二面角的平面角，

设等腰直角△ABC的直角边长度为，则，

由余弦定理可得：，

则，△B’CD为等边三角形，

据此可得，即所求二面角大小是60°.

三、解答题

9．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面，，为的中点，为底面对角线的交点；

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正切值.

【答案】（1）证明见详解（2）

【解析】

（1）如图，连接，为的中点，为菱形对角线的交点，为中点，，又平面，，又菱形的对角线互相垂直平分，，又，平面；

（2）

如图，设中点为，由底面为菱形可知，为等边三角形，，

又平面，，平面，，为二面角的平面角，，故

10．在四棱锥中，侧面PAD是等边三角形，且平面平面ABCD，，.

（1）AD上是否存在一点M，使得平面平面ABCD；若存在，请证明，若不存在，请说明理由；

（2）若的面积为，求四棱锥的体积.

【答案】(1) 存在一点M为中点，使得平面平面ABCD，证明见详解；(2).

【解析】

（1）存在点为中点，使得平面平面ABCD，证明如下：

取中点为，连接，如下图所示：

因为为等边三角形，为中点，

故可得；

又因为平面平面ABCD，且交线为，

又因为平面，，

故可得平面，又平面，

故可得平面平面，即证.

（2）不妨设，

故可得，

由（1）可知为直角三角形，

且，，

故可得；

在中，因为，

则，则，

故可得其面积，

解得；

故可得

又由（1）可知，平面，

故.

故四棱锥的体积为.