专题16 三视图-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）（解析版）

专题16   三视图

【母题来源】2021年高考乙卷

【母题题文】以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

【答案】③④（答案不唯一）

【试题解析】选择侧视图为③，俯视图为④，

如图所示，长方体中，，

分别为棱的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥.

故答案为：③④.

三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.

【命题意图】

1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．

3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

4．会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．

5．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．

【命题方向】

空间几何体的结构是每年高考的热点之一，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算、三视图等内容．命题形式以选择题或填空题为主，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想【得分要点】

1．三视图问题的常见类型及解题策略

（1）由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．

（2）由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．

（3）由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．

2．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．

3．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏．

4．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积．

5．求柱体、锥体、台体体积的一般方法

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．

①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．

②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体．要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．

（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

6．求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路

（1）根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；

（2）利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决．

7．三视图的概念

①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;

②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;

③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．如图．

8．三视图的画法规则

（1）正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；

（2）侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；

（3）俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”．

注意：能看见的轮廓线用实线表示；不能看见的轮廓线用虚线表示．

9．常见几何体的三视图

一、单选题

1．（2021·全国高三其他模拟（理））若空间某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据三视图，可在长方体中利用构造法还原几何体，利用长方体的对角线计算外接球的直径，进而计算表面积．

【详解】

据三视图分析知，该几何体是由长方体截得如下图所示几何体，

长方体的对角线为，

即为外接球的直径，

故外接球的半径为，

外接球的表面积．

故选C．

2．（2021·全国高三其他模拟（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由三视图画出几何体的直观图，然后结合已知的数据求解即可

【详解】

由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥，所以该几何体的表面积为.

故选：C.

3．（2021·四川成都市·成都七中高一月考）某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积(单位：)是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

由几何体的三视图可知该几何体由一个长方体和一个三棱锥组成，分别求出体积即可.

【详解】

如图，由几何体的三视图可知该几何体由一个长方体和一个三棱锥组成，

，

，

故体积，

故选：B.

4．（2021·北京高考真题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（    ）

A． B．4 C． D．2

【答案】A

【分析】

根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.

【详解】

根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥，

其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，

由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，

故其表面积为，

故选：A.

5．（2021·河南高三其他模拟（理））某个由四棱柱和三棱柱组成的组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

作出几何体的直观图，结合三视图中的数据可求得几何体的表面积.

【详解】

该组合体的直观图如图所示，其中下底面是边长为的正方形，

所以该组合体的表面积.

故选：A.

6．（2021·宜宾市翠屏区天立学校高三其他模拟（文））我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（    ）

A． B．40 C． D．

【答案】D

【分析】

根据三视图，还原几何体的直观图可得，该几何体的表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，根据三视图所给数据，求出矩形与梯形的面积，求和即可．

【详解】

由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体，图中正方体棱长为， 分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为，梯形的上下底分别为，梯形的高为，梯形面积为，所以该刍童的表面积为，

故选：D.

【点睛】

观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状．

7．（2019·吉林高三其他模拟（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积.

【详解】

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1，高为3的圆柱的.

故：.

故选：B.

8．（2019·吉林高三其他模拟（文））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．

【详解】

根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为，高为的圆柱体的．

故．

故选：A．

9．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C．8 D．16

【答案】B

【分析】

根据三视图知该几何体是三棱锥且一个侧面与底面垂直，再根据椎体的体积公式，即可求出该几何体的体积.

【详解】

由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其高为，底面三角形的高为，

该几何体的体积为.

故选：B

【点睛】

方法点睛：由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．

10．（2019·安徽高三其他模拟（理））一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A．16 B． 

C． D．

【答案】D

【分析】

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．

【详解】

根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2的正方形，

高为2的四棱锥体，几何体的直观图如图所示：

故：

故选：D．

【点睛】

本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查运算能力和数学思维能力．

11．（2021·浙江高二期末）某几何体的三视图如图，正视图和侧视图是两个全等的半圆，俯视图中圆的半径为1，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由三视图可知，该几何体是半径为1的半球，即可求出体积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是半径为1的半球，如图，

则该几何体的体积为.

故选：B.

12．（2021·浙江金华市·高三三模）若某多面体的三视图(单位∶)如图所示，则此多面体的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据三视图可得该几何体为一个四棱锥，如图，即可求出体积.

【详解】

根据三视图还原几何体，可得该几何体为一个四棱锥，且顶点可都为一个正方体的顶点，如图粗线所示，

此多面体可看作半个正方体去掉一个三棱锥，

则此多面体的体积是.

故选：D.

13．（2020·安徽高三其他模拟）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥表面上的点M､N､P､Q在三视图上对应的点分别为A､B､C､D，且A､B､C､D均在网格线上，图中网格上的小正方形的边长为1，则几何体MNPQ的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据三视图可得如图三棱锥MNPQ，确定位置，可得，即可得解.

【详解】

由三视图得，几何体MNPQ是一个三棱锥，

且N是QF的中点，QP=，

如图，所以.

故选：C.

14．（2021·全国高三其他模拟（理））如图所示是某几何体的三视图，图中的四边形都是边长为a的正方形，侧视图和俯视图中的两条虚线都互相垂直，已知几何体的体积为，则a=（    ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积.

【详解】

根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为a的正方体挖去一个底面为边长为a的长方形，高为的四棱锥构成的几何体；

如图所示：

故=，

解得a=2，

故选：C.

二、填空题

15．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））一个空间几何体的主视图，侧视图是周长为8，一个内角为的菱形，俯视图是圆及其圆心（如图），那么这个几何体的表面积为__________.

【答案】

【分析】

由三视图还原几何体，该几何体由两个有公共底面且全等的圆锥构成，圆锥的底面直径为2，母线长度为2，可得答案.

【详解】

由三视图可知，该几何体由两个有公共底面且全等的圆锥构成，

由主视图，侧视图是周长为8，一个内角为的菱形可得，这两个圆锥的底面半径为2，母线长为2，

所以每个圆锥的底面圆的周长为

每个圆锥的侧面积为：

所以该几何体的表面积为

故答案为：

16．（2021·河南商丘市·高三月考（理））某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最短棱长为___________.

【答案】

【分析】

根据三视图还原几何体，然后计算即可.

【详解】

由图可知该三棱锥的最短棱为底面三角形的直角边即，棱长最短为.

故答案为：.