第2章 微专题进阶课1　函数的新定义问题-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案

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在函数的概念与表示中，函数新定义问题是一个常考热点知识，通过函数新定义问题考查阅读理解能力，分析问题、解决问题的能力，也是复习的一个难点．
概念型新定义函数问题
已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(21－x，0≤x≤1，,x－1，1A．0B．1
C．2D．3
A 解析：因为f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，所以f n(2)的值具有周期性，且周期为3，所以f 2 021(2)＝f 3×673＋2(2)＝f 2(2)＝0.
(多选题)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”．例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”．给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( )
A．y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B．y＝x＋eq \r(x＋1)
C．y＝eq \f(1,x)－lg3x
D．y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x＋1)))
AD 解析：根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．y＝[x]的定义域为R，在定义域内不是单调函数，故A可以构造“同值函数”；y＝x＋eq \r(x＋1)为定义在[－1，＋∞)上的单调递增函数，故B不可以构造“同值函数”；y＝eq \f(1,x)－lg3x为定义在(0，＋∞)上的单调递减函数，故C不可以构造“同值函数”；y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x＋1)))不是定义域上的单调函数，故D可以构造“同值函数”．故选AD．
性质型新定义函数问题
(2020·潍坊模拟)已知集合A0＝{x|0(1)具有性质“φ”的一个一次函数的解析式可以是 ________.
(2)给出下列函数：
①y＝eq \f(1,x)；②y＝x2＋1；③y＝cseq \f(π,2)x＋2.
其中具有性质“φ”的函数的序号是________．
(1) y＝x＋1(答案不唯一)
(2)①② 解析：(1)对于解析式y＝x＋1，因为A0＝{x|0(2) 对于①，A0＝{x|0具有性质f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f (x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①f (x)＝x－eq \f(1,x)； ②f (x)＝x＋eq \f(1,x)； ③f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，01.))
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①
B 解析：对于①，f (x)＝x－eq \f(1,x)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)－x＝－f (x)，满足“倒负”变换；对于②，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)＋x＝f (x)，不满足“倒负”变换；
对于③，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))
即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x>1，,0，x＝1，,－x，0故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f (x)，满足“倒负”变换．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.