第7章 微专题进阶课7　立体几何中的动态问题教案

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立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹长度及动角的范围及涉及的知识点，多年来是复习的难点．
求动点的轨迹(长度)
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM∥平面A1DE，则动点M的轨迹长度为( )
A．eq \f(π,4) B．eq \r(2) C．2 D．π
B 解析：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则eq \(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(0,2,1)，则平面A1DE的一个法向量为n＝(2,1，－2)．设M(x,2，z)，则eq \(AM,\s\up6(→))＝(x－2,2，z)．由eq \(AM,\s\up6(→))·n＝0，得2(x－2)＋2－2z＝0⇒x－z＝1，故点M的轨迹为以BC，BB1的中点为端点的线段，长为eq \r(12＋12)＝eq \r(2).故选B.
已知边长为1的正方形ABCD与CDEF所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE上的动点(包括端点)PQ＝eq \r(2).设线段PQ的中点的轨迹为s，则s的长度为( )
A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2) C．eq \f(\r(2),2) D．2
A 解析：如图，以DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设P(m,1,0)(0≤m≤1)，Q(0,0，n)(0≤n≤1)，M(x，y，z)．由中点坐标公式易知x＝eq \f(m,2)，y＝eq \f(1,2)，z＝eq \f(n,2)，
即m＝2x，n＝2z.①
因为|PQ|＝eq \r(m2＋n2＋1)＝eq \r(2)，
所以m2＋n2＝1，②
把①代入②得，4x2＋4z2＝1.
即x2＋z2＝eq \f(1,4).
因为0≤m≤1,0≤n≤1，
所以0≤x≤eq \f(1,2)，0≤z≤eq \f(1,2).
所以PQ中点M的轨迹方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋z2＝\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤x≤\f(1,2)，0≤z≤\f(1,2)))，,y＝\f(1,2).))
轨迹s为在垂直于y轴的平面内，半径为eq \f(1,2)的四分之一圆周．
所以s的长度为eq \f(1,4)×2π×eq \f(1,2)＝eq \f(π,4).故选A．
求线段的范围问题
在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体P-ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是( )
A．[eq \r(3)－1，eq \r(3)＋1]B．[1,3]
C．[eq \r(3)－1,2]D．[1，eq \r(3)＋1]
A 解析：如图所示，
若固定正四面体P-ABC的位置，
则原点O在以AB为直径的球面上运动．
设AB的中点为M，
则PM＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，
所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径，
所以eq \r(3)－1≤|OP|≤eq \r(3)＋1，
即|OP|的取值范围是[eq \r(3)－1，eq \r(3)＋1]．故选A．
设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在平面BCC1B1所在的平面内．若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P与点C1的最短距离是( )
A．eq \f(2\r(5),5) B．eq \f(\r(2),2) C．1 D．eq \f(\r(6),3)
A 解析：设P在平面ABCD上的射影为P′，M在平面BB1C1C上的射影为M′，平面D1PM与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角分别为α，β，则cs α＝eq \f(S△DP′M,Seq \s\d3(△D1PM))，cs β＝eq \f(Seq \s\d3(△PM′C1),Seq \s\d3(△D1PM)).
因为cs α＝cs β，所以S△DP′M＝Seq \s\d3(△PM′C1)设P到C1M′距离为d，则eq \f(1,2)×eq \r(5)×d＝eq \f(1,2)×1×2，d＝eq \f(2\r(5),5)，即点P到C1的最短距离为eq \f(2\r(5),5).
求角的最值问题
如图，平面ACD⊥α，B为AC的中点，|AC|＝2，∠CBD＝60°，P为α内的动点，且点P到直线BD的距离为eq \r(3)，则∠APC的最大值为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
B 解析：因为点P到直线BD的距离为eq \r(3)，
所以空间中到直线BD的距离为eq \r(3)的点构成一个圆柱面，它和平面α相交得一椭圆，即点P在α内的轨迹为一个椭圆，B为椭圆的中心，b＝eq \r(3)，a＝eq \f(\r(3),sin 60°)＝2，则c＝1，
所以A，C为椭圆的焦点．
因为椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值，
所以∠APC的最大值为60°.故选B.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为( )
A．eq \f(\r(2),2) B．1 C．2 D．eq \r(2)
D 解析：因为当M在直线A1C1上时，都满足BM∥平面ACD1，
所以tan∠DMD1＝eq \f(DD1,MD1)＝eq \f(1,\f(\r(2),2))＝eq \r(2)是最大值．故选D．