第2章微专题进阶课2　函数性质的应用-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案

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函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题．解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
函数性质的判断
已知函数f (x)＝ln x＋ln(2－x)，则下列结论中正确的是( )
A．f (x)在(0,2)上单调递增
B．f (x)在(0,2)上单调递减
C．f (x)的图象关于直线x＝1对称
D．f (x)的图象关于点(1,0)对称
C 解析：f (x)的定义域为(0,2)．f (x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，所以f (x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故选项A，B错误．因为f (x)＝ln x＋ln(2－x)＝f (2－x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，故选项C正确．因为f (2－x)＋f (x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，所以f (x)的图象不关于点(1,0)对称，选项D错误．故选C．
定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝f (－x)，且f (x)＝f (x＋6)．当x∈[0,3]时，f (x)单调递增，则f (x)的一个单调递减区间为( )
A．[3,7]B．[4,5]
C．[5,8]D．[6,10]
B 解析：依题意知，f (x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f (x)单调递增，所以f (x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f (x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f (x)在[4,5]上单调递减．
函数性质的综合问题
已知f (x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x)＝f (1＋x)．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )
A．－50B．0
C．2D．50
C 解析：因为f (x)是奇函数，
所以f (－x)＝－f (x)，
所以f (1－x)＝－f (x－1)．
因为f (1－x)＝f (1＋x)，
所以－f (x－1)＝f (x＋1)，
所以f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)，
所以函数f (x)是周期为4的周期函数．
由f (x)为奇函数且定义域为R得f (0)＝0.
又因为f (1－x)＝f (1＋x)，
所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f (2)＝f (0)＝0，所以f (－2)＝0.
又f (1)＝2，所以f (－1)＝－2，
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C．
已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f (2|a－1|)>f (－eq \r(2))，则a的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) 解析：由已知可得f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
因为f (2|a－1|)>f (－eq \r(2))＝f (eq \r(2))，
所以2|a－1|所以eq \f(1,2)