第10章 微专题进阶课11　数学文化与概率教案

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数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，纵观近几年高考，概率统计部分以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新．同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开．下面通过对典型例题的剖析，让同学们增加对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解，提升数学核心素养．
以古代文化经典为素材
中国古代四大艺术，琴棋书画，源远流长，相传尧舜以棋教子，在春秋、战国时期，围棋已广为流行．围棋盒子中有多粒黑子和白子．已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq \f(1,7)，都是白子的概率是eq \f(12,35)，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为( )
A．eq \f(1,7) B．eq \f(12,35) C．eq \f(17,35) D．1
C 解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,7)＋eq \f(12,35)＝eq \f(17,35).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为eq \f(17,35).
1．(2020·潍坊市高三模拟)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)
A 解析：分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌的马获胜的有Ba，Ca，Cb，共3场比赛，所以田忌的马获胜的概率为eq \f(1,3).
2．(2020·沈阳市东北育才学校高三模拟)生活中人们常用“通五经，贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为( )
A．eq \f(7,10) B．eq \f(7,60) C．eq \f(27,60) D．eq \f(47,60)
B 解析：由题意知样本点总数n＝Aeq \\al(6,6)＝720，
“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：
①“数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼、乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有Aeq \\al(3,3)＝6种情况，故有4×2×6＝48(种)．
②“数”排第二位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼、乐相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)情况，则有3×2×6＝36(种)情况．
由分类加法计数原理知满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排共有48＋36＝84(种)情况．
所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率p＝eq \f(84,720)＝eq \f(7,60).故选B．
以数学家为素材
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A．eq \f(1,12) B．eq \f(1,14) C．eq \f(1,15) D．eq \f(1,18)
C 解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有Ceq \\al(2,10)种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率p＝eq \f(3,C\\al(2,10))＝eq \f(1,15).故选C．
费马素数是法国大数学家费马命名的，形如2 eq \s\up6(2n)＋1(n∈N)的素数(如：2 eq \s\up6(20)＋1＝3)为费马素数．在不超过30的正偶数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( )
A．eq \f(2,15) B．eq \f(1,5) C．eq \f(4,15) D．eq \f(1,3)
B 解析：在不超过30的正偶数中随机选取一数，样本点总数n＝15，能表示为两个不同费马素数的和的只有8＝3＋5,20＝3＋17,22＝5＋17，共有3个．
故它能表示为两个不同费马素数的和的概率是eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
以新时代气息为背景
(2020·重庆巴蜀中学高二期中)袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( )
A．eq \f(1,9) B．eq \f(1,6) C．eq \f(2,9) D．eq \f(5,18)
B 解析：经随机模拟产生的18组随机数中，
恰好第三次就停止包含的基本事件有023,123,132，共3个．由此可以估计，恰好第三次就停止的概率p＝eq \f(3,18)＝eq \f(1,6).故选B．
电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是________．
eq \f(2,5) 解析：由于知识竞赛有五个板块，所以共有Ceq \\al(2,5)＝10(种)结果．某参赛队从中任选2个主题作答，选中“中华诗词”主题的结果有Ceq \\al(1,4)＝4(种)，则“中华诗词”主题被选中的概率为P(A)＝eq \f(2,5).