第4章 微专题进阶课4　三角函数解析式中“ω”的求法教案

这是一份第4章 微专题进阶课4　三角函数解析式中“ω”的求法教案，共3页。
在三角函数的图象与性质中，求ω的值是高考命题中的一个热点，与其有关的问题灵活多样，涉及的知识点多，历来是复习的难点．
利用三角函数的单调性求解ω
(2020·永州祁阳二模)已知ω>0，函数f (x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,4))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(7,6))) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,6))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(13,6)))
B 解析：令2kπ≤ωx－eq \f(π,6)≤2kπ＋π(k∈Z)，
得eq \f(2kπ＋\f(π,6),ω)≤x≤eq \f(2kπ＋\f(7π,6),ω)(k∈Z)．
因为函数f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2kπ＋\f(π,6),ω)≤\f(π,2)，,\f(2kπ＋\f(7π,6),ω)≥π，))其中k∈Z，
解得4k＋eq \f(1,3)≤ω≤2k＋eq \f(7,6)(k∈Z)．
又因为函数f (x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，
所以T≥π⇒ω≤2.
又ω>0，所以k＝0，故有eq \f(1,3)≤ω≤eq \f(7,6).故选B．
若函数f (x)＝sin ωx(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω＝( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(3,2) C．2 D．3
B 解析：由题意知，函数f (x)在x＝eq \f(π,3)处取得最大值1，所以sin eq \f(ωπ,3)＝1，所以eq \f(ωπ,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，得ω＝6k＋eq \f(3,2)，k∈Z.当k＝0时，ω＝eq \f(3,2).
利用三角函数的最值求解ω
设函数f (x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)．若f (x)≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意实数x都成立，则ω的最小值为________．
eq \f(2,3) 解析：因为f (x)≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意x∈R恒成立，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))为f (x)的最大值．所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)ω－\f(π,6)))＝1，所以eq \f(π,4)ω－eq \f(π,6)＝2kπ，解得ω＝8k＋eq \f(2,3)，k∈Z.又因为ω>0，所以当k＝0时，ω的最小值为eq \f(2,3).
设函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|eq \f(π,2).
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,8)))＝2，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,8)))＝0，得eq \f(T,4)＝eq \f(11π,8)－eq \f(5π,8)＝eq \f(3π,4)，
所以T＝3π，则eq \f(2π,ω)＝3π，解得ω＝eq \f(2,3).
所以f (x)＝2sin(ωx＋φ)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋φ)).
由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,8)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)×\f(5π,8)＋φ))＝2，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)＋φ))＝1.
所以eq \f(5π,12)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.
取k＝0，得φ＝eq \f(π,12)0)，且y＝f (x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为eq \f(π,4)，求ω的值．
解：f (x)＝eq \f(\r(3),2)－eq \r(3)sin2ωx－sin ωxcs ωx＝eq \f(\r(3),2)－eq \r(3)·eq \f(1－cs 2ωx,2)－eq \f(1,2)sin 2ωx＝eq \f(\r(3),2)cs 2ωx－eq \f(1,2)sin 2ωx＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx－\f(π,3))).
因为y＝f (x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为eq \f(π,4)，故该函数的周期T＝4×eq \f(π,4)＝π.
又ω>0，所以eq \f(2π,2ω)＝π，因此ω＝1.
函数f (x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＋1(ω>0)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2)，则ω的值为________．
2 解析：因为f (x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＋1图象相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2)，ω>0，所以eq \f(T,2)＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,2)，所以ω＝2.