高中数学上教版（2020）必修第一册1.2 常用逻辑用语单元测试同步测试题

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这是一份高中数学上教版（2020）必修第一册1.2 常用逻辑用语单元测试同步测试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分，）

1. 已知命题p:∀x∈(0, π2)，sinxA.p是真命题，￢p:∀x∈(0, π2)，sinx≥x
B.p是真命题，￢p:∃x0∈(0, π2)，sinx0≥x0
C.p是假命题，￢p:∀x∈(0, π2)，sinx≥x
D.p是假命题，￢p:∃x0∈(0, π2)，sinx0≥x0

2. 已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m//n”是“m//α”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3. 命题p:∀x∈(0, π2)，x>sinx，则命题￢p是( )
A.∀x∈(0, π2)，x≤sinxB.∀x∉(0, π2)，x>sinx
C.∃x0∈(0, π2)，x0≤sinx0D.∃x0∈(0, π2)，x0>sinx0

4. 命题“∃x0∈R，x3−x2+1>0”的否定是( )
A.∀x∈R ，x3−x2+1≤0B.∃x0∈R， x3−x2+1<0
C.∃x0∈R，x3−x2+1≤0D.不存在x∈R，x3−x2+1>0

5. 已知命题p：∀x>0,ln(x+1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2．下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.p∧(¬q)C.(¬p)∧qD.(¬p)∧(¬q)

6. 命题“若关于x的方程x2−mx+2＝0的两根都大于0，则x>22”的逆否命题是（）
A.“若x>22，则关于 x 的方程 x2−mx+2＝0 的两根都大于 0”
B.“若方程 x2−mx+2＝0 的两根都不大于 0，则 x≤22”
C.“若 x≤22，则关于 x 的方程 x2 −mx+2＝0 的两根不都大于 0”
D.“若 x≤22，则方程 x2−mx+2＝0 的两根都不大于 0”

7. 已知向量a→=(5, k)，b→=(2, −2)，则使|a→−b→|≤5成立的充分不必要条件是( )
A.−6≤k≤2B.−6≤k≤−2C.−2≤k≤6D.2≤k≤6

8. 命题“若∠C=90∘，则△ABC是直角三角形”它的逆命题是（）命题．
A.真B.假C.不确定D.D、

9. 若p是真命题，q是假命题，则（）
A.p且q是真命题B.p或q是假命题C.非p是真命题D.非q是真命题

10. 设x∈R，若“x>3”是“x>2m2−1”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是( )
A.[−2, 2]B.(−1, 1)C.(−2,2)D.[−1,1]

11. 命题：“若x2<1，则−1A.若x≥1或 x≤−1，则 x2≥1B.若−1C.若x>1或x<−1，则 x2>1D.若 x2≥1，则 x≥1或 x≤−1

12. 若命题“存在x∈R，使x2−2x−m=0”是真命题，则实数m的取值范围是（）
A.(−∞, −1]B.[−1, +∞)C.[−1, 1]D.(−1, +∞)
二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）

13. 给出下列四个命题：①函数y=2sin2x−π6的图像的一条对称轴是直线x=π6；
②若命题p：“存在x∈R，x2−x−1>0”，则命题p的否定为：“对任意x∈R，x2−x−1≤0”；
③若x<0，则x+1x≤−2；
④“a=1”是“直线x−ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件．
其中正确命题的序号为________.

14. 全称命题“∀x>0，3x2+2x>2”的否定是________．

15. 命题p：“若x>1，则x2>1”，命题q：“若x≤1，则x2≤1”，q是p________(“否命题”，”命题的否定”)．

16. “任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________．
三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分，）

17.
已知，命题p:∀x∈R，x2+ax+2≥0，命题q:∃x∈[−3, −12]，x2−ax+1=0．

(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题q为真命题，求实数a的取值范围．

18. 设命题p：方程x2a+y23=1表示焦点在y轴上的椭圆；
命题q：空间向量m→=1,−2a,a，n→=−4,1,a−1满足m→⋅n→<0.
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

19. 证明：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

20. 已知a>0，设p：函数y=ax在R上是增函数；q：不等式ax2−ax+1>0对∀x∈R恒成立.若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．

21. 命题：“若a2+b2=0，则a=b=0”是命题：“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”的_____.（填：逆命题，否命题，逆否命题）

22. 命题p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，其中a<0，命题q：实数x满足x2−x−6≤0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2021年人教A版选修2-1数学第1章常用逻辑用语单元测试卷含答案
一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）
1.
【答案】
B
【考点】
全称命题与特称命题
命题的真假判断与应用
【解析】
令f(x)＝sinx−x，求出f(x)的单调性，从而判断出sinx【解答】
解：令f(x)=sinx−x，则f′(x)=csx−1<0，
则函数f(x)在(0, π2)上单调递减，f(x)max故sinx由命题的否定的定义：要否定命题的结论，同时改变量词，
则￢p:∃x0∈(0, π2)，sinx0≥x0.
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
直线与平面平行的判定
【解析】
本题考查空间中线面位置关系以及充分条件、必要条件的判断．
【解答】
解：若m⊄α，n⊂α，m//n，由线面平行的判定定理知m//α．
若m//α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m//n，直线m与n可能异面，
故“m//n”是“m//α”的充分不必要条件．
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】
解：∵ 命题p是全称命题，
∴ 其否定是特称命题，即∃x0(0, π2)，x0≤sinx0.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
全称命题与特称命题
【解析】
利用特称命题的否定为全称命题进行改写即可求解.
【解答】
解：特称命题的否定为全称命题.
命题“∃x∈R，x3−x2+1>0”是特称命题，
其否定是：∀x∈R ，x3−x2+1≤0.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
指、对数不等式的解法
【解析】
本题考查含有逻辑联结词的命题及其真假判断．
【解答】
解：命题p中，∀x>0，x+1>1，
所以ln(x+1)>ln 1=0，p为真命题，¬p为假命题．
命题q中，令a=−2，b=−3，满足a>b，但(−2)2<(−3)2，
所以q为假命题，¬q为真命题，
所以p∧(¬q)为真命题．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
四种命题间的逆否关系
【解析】
逆否命题，就是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“x>22”的对立面是“x≤22”，“均大于0”的对立面是“不全大于0”，再调换顺序即可．
【解答】
所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，
“x>22”的对立面是“x≤22”，“均大于0”的对立面是“不全大于0”，再调换顺序，
∴ C选项正确；
7.
【答案】
B
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
先求出a→−b→=(3, k+2)，从而得到 9+(k+2)2≤5，解该不等式即可得出k的取值范围，再根据充分不必要的条件的定义即可判断
【解答】
解：∵ a→−b→=(3, k+2)，|a→−b→|≤5，
∴ 9+(k+2)2≤5，
∴ (k+2)2≤16，
∴ −4≤k+2≤4，
∴ −6≤k≤2，
∵ |a→−b→|≤5成立的充分不必要条件，
∴ 只有B符合.
故选B.
8.
【答案】
B
【考点】
四种命题的真假关系
【解析】
根据逆命题的概念，先求出逆命题，求出之后便很容易发现该命题是错误的，故为假命题．
【解答】
解：根据逆命题的概念，原命题的逆命题为：“若△ABC是直角三角形，则∠C=90∘”该命题显然不成立，因为∠C不一定是90∘，由△ABC是直角三角形，只能得到△ABC中有一个角是90∘．所以该逆命题为假命题．故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断．
【解答】
∵ p是真命题，q是假命题，
∴ p∧q是假命题，选项A错误；
p∨q是真命题，选项B错误；
￢p是假命题，选项C错误；
￢q是真命题，选项D正确．
10.
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
x>3”是“x>2m2−1”的充分不必要条件，可得3≥2m2−1，解得m范围．
【解答】
解：因为“x>3”是“x>2m2−1”的充分不必要条件，
所以3>2m2−1，
解得−2故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
四种命题的定义
【解析】
先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．
【解答】
解：∵ “x2<1”的否定为“x2≥1”．“−1∴ 命题“若x2<1，则−1故选：A．
12.
【答案】
B
【考点】
全称量词与存在量词
全称命题与特称命题
【解析】
由命题“存在x0∈R，使x2−2x−m＝0”是真命题，可得方程x2−2x−m＝0有根，即判别式大于等于零，即可求出m的范围．
【解答】
解：由题意得，方程有解，
所以Δ≥0，而Δ=4+4m≥0，
解得m≥−1.
故选B.
二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）
13.
【答案】
②③
【考点】
命题的真假判断与应用
特称命题的否定
基本不等式
正弦函数的对称性
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据正弦函数的对称轴判断①；由否定的定义判断②；基本不等式判断③；由充分条件和必要条件的定义判断④
【解答】
解：①令2x−π6=kπ+π2，k∈Z ，
则x=kπ2+π3，k∈Z，
故函数y=2sin2x−π6的图像的一条对称轴是直线x=π3，故①错误；
②由命题的否定的定义得，命题p的否定为“对任意x∈R，x2−x−1≤0，故②正确；
③若x<0，则x+1x=−−x+1−x≤−2−x⋅1−x=−2，
当且仅当−x=1−x，即x=−1时，等号成立，故③正确；
④当a=1时，直线x−ay=0与直线x+ay=0互相垂直；
当a=−1时，直线x−ay=0与直线x+ay=0也互相垂直，
故a=1是两直线互相垂直的充分不必要条件，故④错误.
综上所述，正确的有②③.
故答案为：②③.
14.
【答案】
“∃x>0，3x2+2x≤2”
【考点】
全称命题的否定
【解析】
无
【解答】
解：根据全称命题的否定是特称命题知，命题“∀x>0，3x2+2x>2”的否定是
“∃x>0，3x2+2x≤2”．
故答案为：“∃x>0，3x2+2x≤2”．
15.
【答案】
否命题
【考点】
四种命题的定义
非命题
【解析】
根据由命题“若m，则n”的否命题是“若非m，则非n”，判断即可.
【解答】
解：由命题“若m，则n”的否命题是“若非m，则非n”，
可知“若x>1，则x2>1”的否命题为
“若x≤1，则x2≤1”.
故答案为：否命题.
16.
【答案】
∀x≤0，x3≤0
【考点】
全称命题与特称命题
全称量词与存在量词
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）
17.
【答案】
解：(1)∵ 命题p:∀x∈R，x2+ax+2≥0为真命题，
∴ Δ=a2−4×1×2≤0，解得−22≤a≤22.
∴ 实数a的取值范围为[−22, 22]；
(2)命题q:∃x∈[−3, −12]，x2−ax+1=0为真命题，
∴ a=x2+1x=x+1x在x∈[−3, −1]单调递增，
在x∈[−1, −12]单调递减.
∴ 当x=−1时，a取最大值−2，当x=−3时a=−103，
当x=−12时a=−52.
∴ 实数a的取值范围为：[−103, −2].
【考点】
全称命题与特称命题
【解析】
（1）由题意解△=a2−4×1×2≤0可得；
（2）问题转化为a=x2+1x=x+1x的值域，由“对勾函数”的单调性可得．
【解答】
解：(1)∵ 命题p:∀x∈R，x2+ax+2≥0为真命题，
∴ Δ=a2−4×1×2≤0，解得−22≤a≤22.
∴ 实数a的取值范围为[−22, 22]；
(2)命题q:∃x∈[−3, −12]，x2−ax+1=0为真命题，
∴ a=x2+1x=x+1x在x∈[−3, −1]单调递增，
在x∈[−1, −12]单调递减.
∴ 当x=−1时，a取最大值−2，当x=−3时a=−103，
当x=−12时a=−52.
∴ 实数a的取值范围为：[−103, −2].
18.
【答案】
解：(1)由题意，若命题p为真命题，
则0所以a的取值范围为0,3．
(2)若命题q为真命题，
则m→⋅n→=1,−2a,a⋅−4,1,a−1
=−4−2a+aa−1=a2−3a−4<0，
得−1若命题p，q有且仅有一个为真命题，
则“p真q假”或“p假q真”，
当p真q假时，0此时不等式组无解．
当p假q真时，a≤0或a≥3,−1此时−1综上所述，a的取值范围是−1,0∪3,4．
【考点】
命题的真假判断与应用
椭圆的标准方程
复合命题及其真假判断
空间向量的数量积运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，若命题p为真命题，
则0所以a的取值范围为0,3．
(2)若命题q为真命题，
则m→⋅n→=1,−2a,a⋅−4,1,a−1
=−4−2a+aa−1=a2−3a−4<0，
得−1若命题p，q有且仅有一个为真命题，
则“p真q假”或“p假q真”，
当p真q假时，0此时不等式组无解．
当p假q真时，a≤0或a≥3,−1此时−1综上所述，a的取值范围是−1,0∪3,4．
19.
【答案】
证明：必要性：由于方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根．
设方程的两根为x1，x2,
所以Δ=b2−4ac>0，x1x2=ca<0，
所以ac<0.
充分性：由ac<0，可推得b2−4ac>0，及x1x2=ca<0.
所以方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号．
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根．
综上可知：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据韦达定理，先判断出“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”能推出“ac<0”成立，反之再由韦达定理，判断出“ac<0”成立能推出“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”，利用充要条件的有关定义得到结论．
【解答】
证明：必要性：由于方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根．
设方程的两根为x1，x2,
所以Δ=b2−4ac>0，x1x2=ca<0，
所以ac<0.
充分性：由ac<0，可推得b2−4ac>0，及x1x2=ca<0.
所以方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号．
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根．
综上可知：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
20.
【答案】
解：若p真，则a>1.
若q真，则Δ=a2−4a<0，解得0∵ p∧q为假，p∨q为真，
∴ 命题p，q一真一假.
∴ 当p真q假时，
a>1，a≥4，
∴ a≥4；
当p假q真时，
0∴ 0综上，a的取值范围是(0, 1]∪[4, +∞)．
【考点】
全称命题与特称命题
复合命题及其真假判断
逻辑联结词“或”“且”“非”
函数恒成立问题
【解析】
通过指数函数的单调性，一元二次不等式的解为R时判别式△的取值求出命题p，q下a的取值范围，而根据p且q为假，p或q为真知道p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．
【解答】
解：若p真，则a>1.
若q真，则Δ=a2−4a<0，解得0∵ p∧q为假，p∨q为真，
∴ 命题p，q一真一假.
∴ 当p真q假时，
a>1，a≥4，
∴ a≥4；
当p假q真时，
0∴ 0综上，a的取值范围是(0, 1]∪[4, +∞)．
21.
【答案】
逆否命题
【考点】
四种命题间的逆否关系
【解析】
命题的逆否命题是将命题的假设的否定作为结论，将命题的结论得否定作为假设.
【解答】
解："a=b=0"的否定是"a≠0或b≠0"，且其作为新命题的假设;
"a2+b2=0 "的否定是"a2+b2≠0"，且其作为新命题的结论.
故答案为：逆否命题.
22.
【答案】
解：由x2−4ax+3a2<0(a<0)，得3a由x2−x−6≤0得−2≤x≤3，即q:−2≤x≤3．
因为q是p的必要不充分条件，
所以−2≤3a<0，
解得−23≤a<0．
即a的取值范围−23≤a<0．
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
一元二次不等式的解法
【解析】
结合一元二次不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：由x2−4ax+3a2<0(a<0)，得3a由x2−x−6≤0得−2≤x≤3，即q:−2≤x≤3．
因为q是p的必要不充分条件，
所以−2≤3a<0，
解得−23≤a<0．
即a的取值范围−23≤a<0．