选修2-1第一章 常用逻辑用语综合与测试同步训练题

这是一份选修2-1第一章 常用逻辑用语综合与测试同步训练题，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教新课标A版选修2-1
第一章 常用逻辑用语
一、单选题
1.命题“ ∀x≥1 ， ex−2x−7≥0 ”的否定是（    ）
A. ∃x0<1 ， ex0−2x0−7<0                               B. ∃x0<1 ， ex0−2x0−7⩾0
C. ∃x0≥1 ， ex0−2x0−7>0                               D. ∃x0≥1 ， ex0−2x0−7<0
2.2019年10月18日-27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌.为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为 12 ；②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（    ）
附： K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

男性运动员
女性运动员
对主办方表示满意
200
220
对主办方表示不满意
50
30
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828






A.   0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3
3.下列命题：
① △ABC 三边分别为a、b、c，则该三角形是等边三角形的充要条件为 a2+b2+c2=ab+ac+bc ；
②数列 {an} 的前n项和为 Sn ，则 Sn=An2+Bn 是数列 {an} 为等差数列的必要不充分条件；
③在 △ABC 中， A=B 是 sinA=sinB 的充分不必要条件；
④已知 a1 ， b1 ， c1 ， a2 ， b2 ， c2 都是不等于零的实数，关于x的不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 的解集分别为P，Q，则 a1a2=b1b2=c1c2 是 P=Q 的充要条件，
其中不正确的命题是（    ）
A.①④ B.①②③ C.①③ D.②③④
4.下列三个命题：
①命题 p ： ∀x∈R,x2+x<0 ，则命题 p 的否定是： ∃x∈R,x2+x>0 ；②命题 p ： |2x−1|≤1 ，命题 q ： 11−x>0 ，则 p 是 q 成立的充分不必要条件；③在等比数列 {bn} 中，若 b5=2 ， b9=8 ，则 b7=±4 ；其中真命题的个数为（   ）
A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3
5.下列命题中，真命题的是（   ）
A. ∃x0∈R,ex0≤0                                   
B. ∀x∈R,2x>x2
C. a+b=0 的充要条件是 ab=−1         
D. 若 x,y∈R ，且 x+y>2 ，则 x,y 中至少有一个大于1
6.命题 p: 若 x<0 ，则 ln(x+1)<0 ， q 是 p 的逆命题，则（   ）
A. p 真， q 真                       B. p 真， q 假                      
C. p 假， q 真                       D. p 假， q 假
7.设原命题：若 a+b≥2 ，则 a,b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（    ）
A. 原命题与逆命题均为真命题                                B. 原命题真，逆命题假
C. 原命题假，逆命题真                                            D. 原命题与逆命题均为真命题
8.对于函数 f(x)=sinx+3cosx ，给出下列选项其中正确的是（    ）
A. 函数 的图象关于点 对称
B. 存在 ，使
C. 存在 ，使函数 的图象关于 轴对称
D. 存在 ，使 恒成立
9.已知函数 f(x)=14x2+12x+a(x<0) ， g(x)=lnx(x>0) ，其中 a∈R ．若 f(x) 的图象在点 A(x1,f(x1)) 处的切线与 g（x） 的图象在点 B(x2,f(x2)) 处的切线重合，则a的取值范围为（   ）
A. (−1+ln2,+∞)              B. (−1−ln2,+∞)              
C. (−34,+∞)               D. (ln2−ln3,+∞)
二、填空题
10.命题“∃x＞1，x2-3x＜0”的否定是       .
11.下列命题：
①“若 ac2>bc2 ，则 a>b ”的逆命题；
②“若 sinA=sinB ，则 A=B ”的否命题；
③“若 0 ④“四边相等的四边形是正方形”的逆否命题．其中所有真命题的序号是________．
12.若命题“ ∃x0∈R ， mx02+mx0+1<0 ”是假命题，则实数 m 的取值范围是_____ ___.
13.命题“ ∀x∈R，ax2−2ax+3>0 恒成立”是假命题，则实数 a 的取值范围是        ．
14.给出下列命题：
①“数列 {an} 为等比数列”是“数列 {anan+1} 为等比数列”的充分不必要条件；
②“ a=2 ”是“函数 f(x)=|x−a| 在区间 [2，+∞) 上为增函数”的充要条件；
③“ m=3 ”是“直线 (m+3)x+my−2=0 与直线 mx−6y+5=0 互相垂直”的充要条件；
④设 a ， b ， c 分别是 △ABC 三个内角 A ， B ， C 所对的边，若 a=1 ， b=3 ，则“ A=30° ”是“ B=60° ”的必要不充分条件．其中，真命题的序号是________．
15.已知命题p：不等式 xx−1<0 的解集为{x|0B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件．有下列四个结论:
①p真q假；②“p∧q”为真；③“p∨q”为真；④p假q真，
其中正确结论的序号是________
16.有以下命题：
①存在实数 α 、 β ，使得 sin(α+β)=sinα+sinβ ；
②“ ∀n∈N ， 2n>n+1 ”的否定是“存在 n∈N ， 2n≤n+1 ”；
③掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的点数不小于 3 的概率为 13 ；
④在闭区间 [−1,1] 上取一个随机数 x ，则 x(x−1)<0 的概率为 12 .
其中所有的真命题为________.（填写所有正确的结论序号）
17.命题 p:∃x0∈[−1,1] ， x02+m−1≤0 为真命题，则实数m的取值范围是________.
18.ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是________．
三、解答题
19.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明.
（Ⅰ）末尾数是偶数的数能被4整除；
（Ⅱ）方程 x2−5x−6=0 有一个根是奇数.
20. （1）已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
（2）令p(x)：ax2＋2x＋1＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．








21.已知a∈R，命题p：∀x∈[－2，－1]，x2－a≥0，命题q： ∃x0∈R,x02+2ax0−(a−2)=0 ．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．










22.已知 p:x23m−4+y2m−2=1 表示双曲线 ,q: 对任意 x∈[12,1] ，不等式 log12x−x>1−m 恒成立.
（1）若 q 为真，求实数 m 的取值范围
（2）若 p∨q 为真，求实数 m 的取值范围.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】对于全称命题的否定是特称命题 ,对结论进行否定,即 ∃x0≥1 ， ex0−2x0−7<0 ,
故答案为：D
【分析】全称命题的否定是特称命题，对结论进行否定.
2.【答案】 B
【解析】任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为 200500=25 ，故①错误；
又K2=(200×30−50×220)2×500250×250×420×80≈5.952 ，故②错，③对，
故答案为：B.
【分析】依次判断每个选项：计算概率为 25 得到①错误；计算 K2≈5.952 得到②错，③对即可得到答案.
3.【答案】 D
【解析】①若该三角形是等边三角形，则 a=b=c ，显然 a2+b2+c2=ab+ac+bc ，必要性成立；若 a2+b2+c2=ab+ac+bc ，则 2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc ，整理可得 (a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=0 ，当且仅当 a=b=c 时成立，故充分性成立，故①正确；
②由 Sn=An2+Bn 得 a1=A+B ， n≥2 时， an=Sn−Sn−1=2An−A+B ，显然 n=1 适合该式，因此 {an} 是等差数列，故充分性成立，故②错误；
③在 △ABC 中，若 sinA=sinB ，由正弦定理可得 a=b ，则 A=B ，故必要性成立，故③错误；
④如不等式 x2+x+5>0 和 x2+x+2>0 的解集都为 R ，但 11=11≠52 ，故不满足必要性，故④错误.
故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而选出不正确的命题的选项。
4.【答案】 A
【解析】①命题 p ： ∀x∈R,x2+x<0 ，则命题 p 的否定是 ∃x∈R,x2+x≥0 ，所以该命题是假命题；②化简命题 p ： 0≤x≤1 ，命题 q ： x<1 ，则 p 是 q 成立的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；③在等比数列 {bn} 中，若 b5=2 ， b9=8 ，则 b7=±4 ，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4，所以 b7=4 .所以该命题是假命题.所以有0个真命题.
故答案为：A.

【分析】由已知条件结合 ①根据全称命题的否定是特称命题进行判断得出为假命题；②求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断得出命题是假命题；③根据等比数列的通项公式以及符合关系进行判断得出命题是假命题。
5.【答案】 D
【解析】解：A，根据指数函数的性质可知 ex>0 恒成立，所以A错误．
B.当 x=−1 时， 2−1=12<(−1)2=1 ，所以B错误．
C.若 a=b=0 时， ab 无意义0，即充分性不成立，所以C错误．
D.假设x，y都小于1，则 x<1 ， y<1 ，所以 x+y<2 与 x+y>2 矛盾，所以假设不成立，所以D正确．
故选D．
【分析】利用全称命题和特称命题的定义判断A， B. 利用充要条件和必要条件的定义判断 C. 利用反证法证明D．
6.【答案】 C
【解析】由题意， ln(x+1)<0 ，所以 0 所以命题 p 为假命题，
又因为 q 是 p 的逆命题，所以命题 q ：若 ln(x+1)<0 ，则 x<0 为真命题，
故答案为：C.

【分析】通过解不等式确定p的真假，写出逆命题q，确定其真假即可.
7.【答案】 B
【解析】原命题的逆否命题为：若 a,b 中没有一个大于等于1，则 a+b<2 ，
等价于“若 a<1,b<1 ，则 a+b<2 ”，显然这个命题是对的，所以原命题正确；
原命题的逆命题为：“若 a,b 中至少有一个不小于1，则 a+b≥2 ”，取 a=5,b=−5 则 a,b 中至少有一个不小于1，但 a+b=0 ，所以原命题的逆命题不正确.
故答案为：B

【分析】利用原命题与逆命题的关系，从而写成原命题的逆命题，再利用命题真假性的判断方法，进而判断出原命题与其逆命题的真假性。
8.【答案】 C
【解析】函数 f(x)=sinx+3cosx= 2sin（x +π3 ），
对于A：函数f（x）＝2sin（x +π3 ）,当x= π6 时，2sin（ π6+π3 ）＝2，不能得到函数 f(x) 的图象关于点 (π6,0) 对称．∴A不对．
对于B： α∈(0,π3) ，可得α +π3 ∈（ π3，2π3 ）， f(α)∈(3，2] ，不存在 f(α)=1 ；∴B不对．
对于C：函数 f(x+α) 的对称轴方程为：x +α+π3=π2+kπ ，可得x =kπ+π6−α ，当k＝0, α=π6 时，可得图象关于y轴对称．∴C对．
对于D：f（x+α）＝f（x+3α）说明2α是函数的周期，函数f（x）的周期为2π，故α＝π，∴不存在 α∈(0,π3) ，使 f(x+α)=f(x+3α) 恒成立，∴D不对．
故答案为：C．
【分析】利用辅助角公式化简函数f(x)为三角型函数，再利用三角型函数的图象和性质找出正确的命题。
9.【答案】 A
【解析】∵ f(x)=14x2+12x+a(x<0) ， g(x)=lnx(x>0)
∴ f′(x)=12x+12(x<0) ， g′(x)=1x(x>0) ，
函数 f(x) 在点 A(x1,f(x1)) 处的切线方程为： y−(14x12+12x1+a)=(12x1+12)(x−x1) ，
函数 g(x) 在点 B(x2,f(x2)) 处的切线方程为： y−lnx2=1x2(x−x2) ，
两直线重合的充要条件是 12x1+12=1x2 ①， −14x12+a=lnx2−1 ②，
由①及 x1<0 故 a=(1x2−12)2+lnx2−1=(1x2−12)2−ln1x2−1 ，
令 t=1x2 ，则 0 设 ℎ(t)=(t−12)2−lnt−1 ， (0 ℎ′(t)=2t−1−1t=2t2−t−1t=(2t+1)(t−1)t ，
当 0 ℎ(t)>ℎ(12)=−1+ln2 ， x→0 时， ℎ(t)→+∞ ，
即a的取值范围为 (−1+ln2,+∞) ，
故答案为：A.
【分析】先根据导数的几何意义写出函数 f(x) 在点A与函数 g(x) 在B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出 a=(1x2−12)2−ln1x2−1 ，令 t=1x2 ，则 0 二、填空题
10.【答案】 ∀x＞1，x2-3x≥0
【解析】特称命题“∃x＞1，x2-3x＜0”的否定是“ ∀x>1 ， x2−3x≥0 ”
故答案为： ∀x>1 ， x2−3x≥0

【分析】根据特称命题的否定形式，直接求解。
11.【答案】 ②③
【解析】①“若 ac2>bc2 ，则 a>b ”的逆命题是“若 a>b ，则 ac2>bc2 ”为假命题，比如 c=0 时， ac2=bc2 ；②“若 sinA=sinB ，则 A=B ”的否命题为“若 sinA≠sinB ，则 A≠B ”，其逆否命题为“若 A=B ，则 sinA=sinB ”是真命题，所以命题“若 sinA≠sinB ，则 A≠B ”也为真命题；③“若 0 证明：设 u=1−x,y=logau ，因为函数 u=1−x 在定义域内为减函数，函数 y=loga(1−x) 在定义域内为增函数，则函数 y=logau 为减函数，所以 0 故答案为：②③

【分析】根据题意由举反例即可得出选项①为假命题；由原命题与其逆否命题同真同假结合正弦函数的定义即可判断出选项②为真命题；结合对数函数的单调性以及逆命题的定义即可判断出③为真命题；由此即可得出答案。
12.【答案】 [0,4]
【解析】由题意可知，命题“ ∀x∈R ， mx2+mx+1≥0 ”是真命题，
当 m=0 时， 1≥0 恒成立，满足题意；
当 m≠0 时，则 {m>0Δ=m2−4m≤0 ，解得 0 综上所述，实数 m 的取值范围是 [0,4] .
故答案为：[0,4].
【分析】由已知命题是真命题，分 m=0 和 m≠0 两种情况讨论，可得出关于实数 m 的不等式，由此即可解得实数 m 的取值范围.
13.【答案】 (−∞,0)∪[3,+∞)
【解析】根据命题的否定可知“ ∃x∈R ， ax2−2ax+3≤0 ”为真命题，所以有 a<0 或 {a>0Δ=4a2−12a≥0 ，解得 a<0 或 a≥3 .
【分析】 命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题，即存在x∈R，使“ax2-2ax+3≤0，分类讨论即可．
14.【答案】 ①④
【解析】对于①，当数列 {an} 是等比数列时，易知数列 {anan+1} 是等比数列；
但当数列 {anan+1} 是等比数列时，数列 {an} 未必是等比数列，
如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；
对于②，当 a≤2 时，函数 f(x)=|x−a| 在区间 [2,+∞) 上是增函数，因此②不正确；
对于③，当 m=3 时，相应的两条直线垂直，
反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出 m=3 ，也可能得出 m=0 ，因此③不正确．
对于④，由题意，得 ba=sinBsinA=3 ，
当 B=60° 时，有 sinA=12 ，注意到 b>a ，故 A＝30° ；
但当 A=30° 时，有 sinB=32 ， B=60° 或 B=120∘ ，
因此④正确．
故答案为①④.
【分析】利用等比数列的定义以及充要条件的有关定义判断出①对；通过举反例 a≤2 判断出②不对；当这两条直线垂直时，不一定能得出 m=3 ，也可能得出 m=0 ，说明③不对；利用三角形的正弦定理以及有关的充要条件的定义判断出④对．
15.【答案】 ①③
【解析】不等式 xx−1<0 等价于 x(x−1)<0 ，即 0B⇔a>b⇔sinA>sinB ，命题 q 为假，因此②④为假，①③为真．
【分析】判定命题p和q的真假，结合复合命题真假的判定，即可确定正确的序号.
16.【答案】 ①②④
【解析】对于①，当 α=2π 时， sin(2π+β)=sinβ=sin2π+sinβ ，即等式成立，所以①正确；
对于②，根据全称命题的否定形式，所以②正确；
对于③，向上的点数不小于 3 ，即点数为 3 、 4 、 5 、 6 ，
所以根据古典概型概率的计算公式得所求的概率为 46=23 ，所以③错误；
对于④，由 x(x−1)<0 得 0 故答案为：①②④.

【分析】由正弦函数的性质即可判断出①正确；根据全称命题的否定是特称命题结合题意即可判断出②正确；由古典概型的概率公式即可计算出结果由此判断出③错误；由结合概型的概率公式代入数值计算出结果即可判断出④正确；由此得到答案。
17.【答案】 (-∞,1]
【解析】由 x02+m−1≤0⇒m≤1−x02 ，
∃x0∈[−1,1] ，
则 0≤x02≤1⇒−1≤−x02≤0⇒0≤1−x02≤1 ，
所以 m≤1 .
则实数m的取值范围是：(-∞,1].
故答案为：(-∞,1].
【分析】先分离参数，由题意知 m≤(1−x02)max ，即可求出答案.
18.【答案】 0≤a≤1 .
【解析】（1）当a=0时，方程是一个一次方程，恰有一个负实根，满足条件；（2）当a≠0，当关于x的方程ax2+2x+1=0有实根，△≥0，解可得a≤1且a≠0；
①若a＜0，则关于x的方程ax2+2x+1=0有两个异号实根，不满足条件；
②若0＜a≤1，则关于x的方程ax2+2x+1=0有二个负实根，满足条件；
综上可得，0≤a≤1；
故答案为：0≤a≤1
【分析】关于x的方程ax2+2x+1=0只有负实根，考虑一元一次方程和一元二次方程两种情况，分别讨论可得答案．
三、解答题
19.【答案】 解：（Ⅰ）由题意可得：
该命题是全称量词命题，该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被4整除；
该命题的否定是真命题.
（Ⅱ）由题意可得：
该命题是存在量词命题，该命题的否定是：方程 x2−5x−6=0 的两个根都不是奇数；
该命题的否定是假命题.
【解析】【分析】根据全称命题和特称命题互为否定，直接求命题的否定，再进行判断真假即可.
20.【答案】 （1）关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥ 74 ，∴实数a的取值范围为 [74，+∞) .
（2）∵对∀x∈R，p(x)是真命题．∴对∀x∈R，ax2＋2x＋1＞0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＋1＞0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，则 {a>0Δ=4−4a<0
∴a＞1，∴实数a的取值范围为(1，＋∞)．
【解析】【分析】（1）由已知可得 Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0 ，解不等式即可求出实数a的取值范围；
（2） 首先把命题恒成立转化为不等式恒成立问题，然后分a=0和a≠0两种情况讨论，当a=0时为一次不等式，当a≠0为二次不等式，二次不等式恒成立时，结合不等式对应函数的图象的开口方向和与x轴没交点得出不等式组，最后求解，可得实数a的取值范围 .
 
 
21.【答案】 （1）令 f(x)=x2−a,x∈[−2,−1] ，
根据题意，“命题p为真命题”等价于“当 x∈[−2,−1] 时， f(x)min≥0 ”．
∵ f(x)min=1−a ，
∴ 1−a≥0 ，
解得 a≤1 .
∴实数 a 的取值范围为 (−∞,1] ．

（2）由(1)可知，当命题p为真命题时，实数 a 满足 a≤1 ．
当命题q为真命题，即方程有实数根时，则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
解得 a≤−2 或 a≥1 ．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
∴命题p与q一真一假
①当命题p为真，命题q为假时，
得 {a≤1−2 ②当命题p为假，命题q为真时，
得 {a>1a≤−2或a≥1 ，解得 a>1 ．
综上可得 −21 ．
∴实数 a 的取值范围为 (−2,1)∪(1,+∞) ．
【解析】【分析】 (1)令  f(x)=x2−a,x∈[−2,−1] ， 若命题p为真命题，只要 x∈[−2,−1] 时， f(x)min≥0 即可，进而得到实数a的取值范围；
(2)若命题“pVq”为真命题，命题“p^q”为假命题，命题p与q一真一假,进而得到答案.
22.【答案】 （1）解：令 f(x)=log12x−x, 因为函数 f(x)=log12x−x 在 [12,1] 上单调递减，所以 f(x)min=f(1)=−1.
因为对任意 x∈[12,1],log12x−x>1−m 成立，所以 −1>1−m ，
则 m>2 ，所以若 q 为真，则 m 的取值范围为 (2,+∞)

（2）解：对 p ：因为 x23m−4+y2m−2=1 表示双曲线，
所以 (3m−4)(m−2)<0, 则 43 所以当 p∨q 为真时， m 的取值范围是 (43,2)∪(2,+∞) .
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合命题真假性判断方法，从而求出实数m的取值范围。
（2）利用已知条件结合复合命题真假性判断方法，从而求出实数m的取值范围。