专题06 三角函数【理科】（解析版）

专题06 三角函数

一、单选题

1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题可得，解得.

，，因此，.

故选：B.

2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数和（）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到的图象，只需把的图象（    ）

A．向左平移1个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移1个单位 D．向右平移个单位

【答案】A

【解析】

如图所示：，故，.

取靠近原点的三个交点，，，，

为等腰直角三角形，故，故，

故，，

故为了得到的图象，只需把的图象向左平移1个单位    .

故选：.

3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数，则（    ）

A．

B．是函数的一个对称中心

C．任取方程的两个根，，则是的整数倍

D．对于任意的，恒成立

【答案】D

【解析】

因为，所以，

所以既不是最大值也不是最小值，所以直线不是其图象的对称轴，故A错误；

因为图象整体向上平移了一个单位长度，所以对称中心也向上平移了一个单位长度，

且，所以点是其对称中心，故B错误；

任取方程得到的两个根，即为方程的任意两根，

它们之间相差为的整数倍，且，所以它们彼此之间相差的是的整数倍，故C错误；

当时，，此时的最小值为，最大值为，

所以对于任意的，恒成立，故D正确.

故选：D.

4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若，，，关于函数的以下结论：

①        ②对称轴方程为，

③值域为        ④在区间单调递减

其中正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④

【答案】D

【解析】

解:

.

因为都是周期为的函数，所以的周期为，①错误；

如下图所示（一个周期内图象）：

的对称轴方程为：，，②正确；

由图直接得知③正确；

当，

在区间单调递减，④正确.

故选：D.

5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在中，分别是角的对边，若，则的值为

A． B．1 C．0 D．2014

【答案】A

【解析】

∵a2+b2=2014c2，

∴a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．

∴====2013．

故答案为：A

6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意可得：，且，

所以，

所以

，

故选：C

7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位写成“”，密位写成“”，周角等于密位，记作周角，直角．如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设扇形所对的圆心角为，所对的密位为，则，解得，

由题意可得，解得，

因此，该扇形圆心角用密位制表示为.

故选：B.

8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A，B，C，D四点共圆，，M，N在线段上，且，N是的中点.设，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

连接，如图所示，易知是圆的直径.

因为，所以.

在中，，

故选项A不正确；

在中，.

又因为，所以，

故选项D不正确；

，

故选项B不正确；

因为，所以.

又因为，易知与全等，所以，

所以.

又因为N是的中点，所以，

所以，

所以，所以，

故选项C正确.

故选：C

9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由知，为第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以．

故选：C.

二、多选题

1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数，下列结论不正确的是（    ）

A．函数图像关于对称

B．函数在上单调递增

C．若，则

D．函数f(x)的最小值为－2

【答案】BCD

【解析】

解：由题意可得：

，

函数图象如下所示

故对称轴为，，故A正确；

显然函数在上单调递增，上单调递减，故B错误；

当，时函数取得最小值，故D错误；

要使，则，则或，或，

所以或， ，故C错误．

故选：BCD．

2. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】

解: 因为，所以，

．

所以．

故选: AD

3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的有（    ）

A．为奇函数

B．的周期为

C．，都有

D．在区间上单调递增，且是小值为

【答案】ABC

【解析】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得再将得到的图象向左平移个单位长度，得，

因为，所以为奇函数，故A正确；

由周期公式，所以的周期为，故正确；

又在时取得最小值，所以的图象关于直线对称，故C正确；

令，解得

所以在区间)上单调递增，取得

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以最小值为，故错误.

故选：ABC.

三、填空题

1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】的内角的对边分别为，若，且为锐角，则当取得最小值时，的值为___________.

【答案】

【解析】

由正弦定理将变形可得

，

即，

由可得，

而是锐角，所以，

则由余弦定理可得，

则，

当且仅当时，取得最小值，

故，故，

所以.

故答案为:

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在中，分别是角的对边，已知，，的面积为，则的值为_______________.

【答案】2

【解析】

∵，A∈（0，π）

∴2A+=，可得A=

∵b=1，△ABC的面积为，

∴S=bcsinA=，即，解之得c=2

由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=3

∴a=（舍负）

根据正弦定理，得===2

故答案为2

3. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知均为锐角，且，若，则________.

【答案】5

【解析】

由，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]

所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]

从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以.

故答案为：.

4. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a，b，定义运算“”：，则函数的值域为______.

【答案】

【解析】

由，则函数

整理可得：

由，得，即

所以的值域为.

故答案为：

5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在中，，则的外接圆的半径等于___________.

【答案】

【解析】在中，易求.又，

由余弦定理可得，解得.

设外接圆的半径为r，则由正弦定理，得，

所以.

故答案为：

四、解答题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形中，，，，，连接.

（1）求；

（2）设，，求的值.

【答案】（1）2；（2）．

【解析】

解：（1）在中，由余弦定理可得

，

所以；

（2）由题意可得，

在中，由正弦定理，

在中，由正弦定理，

两式相除可得：，

所以．

所以的值为．

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在中，内角所对的边分别是，且.

（1）求角；

（2）若，求的面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题设及正弦定理得

化简得

，

，

可得：

（2）由已知（1），根据余弦定理得，

即，

，（当且仅当时取号）

（当且仅当时取号）

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在中，角的对边分别是，已知向量，，且满足.

(1)求角的大小；

(2)若，试判断的形状.

【答案】(1)(2)直角三角形

【解析】

(1)∵，代入，，有

，

∴，即，∴，.

(2)∵，∴①

又∵②

联立①②有，，即，

解得或，又∵，若，则，

∴，为直角三角形，同理，若，则也为直角三角形.

4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.

已知△中，，，分别为内角，，的对边，，，___________，求角及△的面积.

【答案】选择见解析；，.

【解析】

选①，

因为，

所以由正弦定理得，

即，所以，

因为，所以或.

若，由，

而，，从而，矛盾，舍去.

故，

接下来求△的面积.

法一：设△外接圆的半径为，则由正弦定理得，

，，

，

.

法二：由（1）得，即，

，，

，

，或，

当时，又，，，

由正弦定理得，

，

当时，同理可得，

故△的面积为.

选②，

因为，

所以，即，

，

所以或（舍），

因为，所以.

以下同解法同①，

选③，

由及正弦定理得，

即，

由余弦定理得，

，

，

以下解法同①.

5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形中，与相交于点，，，．

（1）求；

（2）若，求四边形的面积．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）在中，，，，

由余弦定理得

，

所以．

由正弦定理得，

．

在中，由正弦定理得，

即，

同理，在中，．

又因为，

所以．

所以．

（2）在中，由正弦定理得，

即，所以．

又由余弦定理得，

即，解得．

S四边形ABCD

．

6. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．

(1)求船的航行速度是每小时多少千米？

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1，

∴AB＝.

在Rt△PAC中，∠APC＝30°，

∴AC＝.

在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，

∴BC＝

则船的航行速度为 (千米/时)．

(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA

＝sin(180°－∠ACB)

＝sin∠ACB＝，

sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)

＝sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°

由正弦定理得AD＝

7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在①的外接圆面积为②的面积为，③的周长为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.

问题：在中，内角，，的对边分别为，，，是边上一点已知，，，若___________，求的长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】条件选择见解析；.

【解析】

解：因为，

所以

解得或舍去，

所以在中.

因为所以

所以由余弦定理得

又所以即，

所以为等边三角形.

因为

所以在中，由余弦定理得

选择条件①：由的外接圆面积为得

所以所以故.

选择条件②：由的面积为，

得的面积为，

所以解得故.

选择条件③：由的周长为，

得

所以故.

8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】在四边形中，对角线与相交于点E，为等边三角形，．

（1）求的大小；

（2）求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在中，，

由余弦定理得．

因为，所以，从而．           

（2）由知，，所以，           

所以，所以．因为，所以．     

所以．