专题05 解析几何【理科】（解析版）

这是一份专题05 解析几何【理科】（解析版），共34页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题05 解析几何
一、单选题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知，为椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当焦点在轴上时，，，，
当为上下顶点时，最大，
因为坐标，，，所以，
即，解得；
当焦点在轴上时，，，，
当为左右顶点时，最大，因为，，，
所以，即，解得，
故选：C.
2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知双曲线的左、右顶点分别为、，左焦点为，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点（异于、），与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
不妨设在第二象限，，，设点，

，则，，可得，则点，
由，得，①；由，得，②.
①②两式相乘得，即，离心率为.
故选：B.
3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题.如图，在圆中，为其一条弦，，，是弦的两个三等分点，以为左焦点，，为顶点作双曲线.设双曲线与弧的交点为，则.若的方程为，则圆的半径为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设双曲线T的焦距为，圆D的半径为R.由题意可知，，所以双曲线T的离心率为，所以.又，所以，所以.在中，，则.
故选：C
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知点，抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线的准线，为抛物线上一点，过作，点为垂足，过作的垂线，与交于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：由题意可知，直线为，
根据抛物线的定义可得，
所以为的垂直平分线，所以,
所以，
当且仅当三点共线取等号，
所以的最小值为
故选：D

5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线MN与C的左支交于M，N两点，若，，则C的渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆焦距为，取的中点，连接，如图所示：

，即，
，，
，，
在中，
，
在中，
，
由可得，化简可得，
或（舍去），
，
该双曲线渐近线方程为即.
故选：B.
6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】若直线与双曲线相交，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立直线和双曲线的方程得
当，即时，直线和双曲线的渐近线重合，
所以直线与双曲线没有公共点.
当，即时，，
解之得.
故选：C.
7. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知直线与圆相交于，，且为等腰直角三角形，则实数的值为
A．或 B． C． D．1或
【答案】D
【解析】
∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，
∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离d=rsin45°，即=，
整理得：1+a2=2，即a2=1，
解得：a=﹣1或1，
故答案为D
8. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知点是圆内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，那么
A．且与圆相切 B．且与圆相切
C．且与圆相离 D．且与圆相离
【答案】C
【解析】
以点M为中点的弦所在的直线的斜率是﹣，直线m的斜率为，∴直线l⊥m，
∵点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，∴a2+b2＜r2，
∴圆心到bx﹣ay=r2的距离是＞r，故相离．
故答案为：C
9. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】若圆和圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
圆x2+y2﹣ax+2y+1=0的圆心（），因为圆x2+y2﹣ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x﹣1对称，设圆心（）和（0,0）的中点为（），
所以（）满足直线y=x﹣1方程，解得a=2，
过点C（﹣2，2）的圆P与y轴相切，圆心P的坐标为（x，y）
所以 解得：y2+4x﹣4y+8=0，
所以圆心的轨迹方程是y2+4x﹣4y+8=0，
故答案为：C
10. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设椭圆的左焦点为：,
因为，
所以四边形为为矩形，
所以
因为，
所以
由椭圆的定义得：，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：B
11. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意知，由对称性不妨设P点在y轴的右侧，过作准线的垂线，垂足为，则根据则抛物线的定义，可得，


设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，与联立，得，
令，解得
可得，
又此时点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上
双曲线的实轴


故答案选B．
12. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知圆关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
依题意可知直线过圆心，即，．
故．
圆方程配方得，与圆心距离为1，故弦长为．
故选D．
13. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】若双曲线()的离心率为，则
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】
因为()可化为()，
所以，则，即.
故选：D.
14. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共交点，且，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
设椭圆方程为，
双曲线方程为，
左右焦点分别为

不妨设在第一象限，
，得，
在中，，
即，
设椭圆和双曲线的离心率分别为，
设，
取，，
当时，取得最大值为.
故选:A.
15. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】直线被过点和，且半径为的圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】
解：设圆心为，则由题意可得
，
解得或，
所以圆心为或
所以圆方程为或，
则圆心到直线的距离为或，
则弦长．
故选：B
16. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
双曲线的焦点到渐近线的距离为，
解得，所以．
又，所以．
因为点在双曲线上，所以，所以，
所以双曲线的方程为．
故选：D

二、多选题
1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知椭圆C：内一点M(1，2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0） B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为 D．
【答案】CD
【解析】
由椭圆方程可得焦点在轴上，且，
椭圆的焦点坐标为，故A错误；
椭圆C的长轴长为，故B错误；
可知直线的斜率存在，设斜率为，，
则，两式相减得，
，解得，
则直线的方程为，即，故C正确；
联立直线与椭圆，整理得，
，
,故D正确.
故选：CD.
2. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知抛物线，焦点为，过焦点的直线抛物线相交于，两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．线段为直径的圆与直线相切
C．为定值 D．若，则
【答案】BCD
【解析】
抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
过焦点的弦中通径最短，所以最小值为，故A不正确；
如图，设线段中点为，过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，

由抛物线定义可知，，
所以，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故B正确；
设所在直线的方程为，由，消去，得，
所以，，故C正确；
又，
，故D正确．
故选：BCD.
3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在一张纸上有一圆与点，折叠纸片，使圆上某一点好与点重合，这样的每次折法都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，点的轨迹为椭圆
B．当，时，点的轨迹方程为
C．当，时，点的轨迹对应曲线的离心率取值范围为
D．当，时，在的轨迹上任取一点，过作直线的垂线，垂足为，则(为坐标原点)的面积为定值
【答案】ACD
【解析】当时，点在圆内，此时有故的轨迹是以为焦点的椭圆，故A正确；
当时，点在圆外，此时有，
故的轨迹是以为焦点的双曲线，其中
故双曲线方程为故错误；
当时时的轨迹是以为焦点的双曲线，
方程为，所以离心率，当时4，故正确；
当时，的轨迹方程为，设则，直线的方程为，它与的交点的坐标为，
所以
所以为定值，故正确.
故选：ACD.
三、填空题
1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且，则_________.
【答案】
【解析】
易知直线l过点，且倾斜角为，如图，设M，N分别为A，B在准线上的射影，作，垂足为H，则，，所以.
故答案为：.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.
【答案】
【解析】
设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,
∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，
，
由柯西不等式得（1+）（）≥（）2

故答案为
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程________；在曲线上，点，，则的最小值________.
【答案】
【解析】如图所示：延长与的延长线交于点，
则，
故轨迹方程为.
取点，则，，故，
，当共线时等号成立.
故答案为：；

4. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知，为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的面积为______．
【答案】4
【解析】由题意得，
又，
所以，．
又，
所以，
所以，
所以．
5. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，则双曲线C的离心率为___________；若分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为，则___________．
【答案】4 -15
【解析】
设，如图所示：

因为，所以.
所以，，即.
所以，整理得：，
，即，解得或.
因为，所以，即.
设，由题知：，
因为，所以，即，
所以
又因为，
所以，
所以.
故答案为：；.
6. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】过椭圆上一点P及坐标原点O作直线l与圆交于A，B两点.若存在一点P满足，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
如图所示：

.
又因为，所以.
若存在一点P，使得，即，解得.
故答案为：
四、解答题
1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知抛物线：上的点到焦点的距离最小值为1.

（1）求的值；
（2）若点在曲线：上，且在曲线上存在三点，，，使得四边形为平行四边形.求三角形的面积的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
解：（1）由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
故最小值点应为，准线，由题意可得，解得；
（2）当直线斜率不存在时，此时直线为垂直轴的直线，与抛物线只有一个交点，故舍去.
当直线斜率存在时，设直线：，
点在曲线：上，故，设，，
联立方程，得，，，故线段的中点，
若要满足四边形为平行四边形，则，关于点对称.则.
又点在抛物线上，故满足方程，即①
到直线的距离为，
，
，
代入①得：
，
当时，.所以三角形的面积的最小值.
2. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知，分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，，且的面积等于1.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线交于另外一点，关于直线对称的直线为，交于另外一点（异于点），证明：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）解：设椭圆的半焦距为c，
因为，所以.
又，且，所以，
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：由（1）知，设，
，
联立得，
所以.
因为与关于直线对称，
设点到直线的距离为，到直线的距离为，所以，得，
同理，
所以，
所以直线的方程为，
所以，
所以直线恒过定点.
3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线的倾斜角为，且．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点A是椭圆E的左顶点，P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线、的斜率之积为，问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点．说明理由．
【答案】（1）；（2）直线过定点．
【解析】
解：（1）双曲线的焦距，则
∴，①
渐近线方程，由题知，②
由①②解得，，
∴椭圆E的方程为．
（2）在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
由，消去y得：，
设，，
则，，
又，
由题知，
则，且，，
则

，
则，
∴，
∴或．
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，显然不适合题意，
当时，直线的方程为．
此时直线过定点．
当直线的斜率不存在时，若直线过定点，
P，Q点的坐标分别为，．
满足．
综上，直线过定点．
4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知圆经过原点且与直线相切于点
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）在圆上是否存在两点关于直线对称，且以线段为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程；若不存在，请说明理由
【答案】（Ⅰ）.
（Ⅱ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）法一：由已知，得圆心在经过点且与垂直的直线上，它又在线段的中垂线上，所以求得圆心，半径为.
所以圆的方程为.
(细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分)
法二：设圆的方程为，
可得
解得,
所以圆的方程为
(细则：方程组中一个方程1分)
（Ⅱ）假设存在两点关于直线对称，则通过圆心，求得，
所以设直线为
代入圆的方程得，
设，，则
解得或
这时，符合题意，所以存在直线为或符合条件
(细则：未判断的扣1分).
5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知椭圆的离心率，原点到过点，的直线的距离是.
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线交椭圆于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
解：（1）因为，，所以.
因为原点到直线的距离，解得，.
故所求椭圆的方程为.
（2）由题意消去，整理得.可知.
设，，的中点是，则，，
因为，都在以为圆心的圆上，且，
所以，
所以.即.
又因为，所以.所以.
6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切.
（1）求动圆的圆心轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线相交于两点，分别过点作曲线的切线，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.
【解析】（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意.
设，则有 .
化简得.
所以点的轨迹的方程为.
（Ⅱ）设：，
代入中，得.
设，，
则，.
所以 .
因为：，即，所以.
所以直线的斜率为，直线的斜率为.
因为，
所以，即为直角三角形.
所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径.
因为，
所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.
7. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知抛物线的焦点到准线的距离为2，且过点的直线被抛物线所截得的弦长为8．
（1）求直线的方程；
（2）当直线的斜率大于零时，求过点且与抛物线的准线相切的圆的方程．
【答案】（1）或；（2）或．
【解析】
（1）由题意得，
当直线l的斜率不存在时，其方程为，此时，不满足，舍去；
当直线l的斜率存在时，设方程为
由得
设，则，且
由抛物线定义得
即，解得
因此l的方程为或.
（2）由（1）取直线的方程为，所以线段的中点坐标为(3，2)，
所以的垂直平分线方程为，即
设所求圆的圆心坐标为，该圆的圆心到直线的距离为，则，则该圆的半径为，
因为该圆与准线相切，所以，
解得或,
当圆心为时，半径为，当圆心为时，半径为，
因此所求圆的方程为或．
8. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知椭圆：（）的左焦点，椭圆的两顶点分别为，，M为椭圆上除A，B之外的任意一点，直线MA，BM的斜率之积为.

（1）求椭圆的标准方程;
（2）若P为椭圆短轴的上顶点，斜率为的直线不经过P点且与椭圆交于E，F两点，设直线PE，PF的斜率分别为，且，试问直线是否过定点，若是，求出这定点；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点（2，-1）.
【解析】
（1）由题意知，设点，则①，
又点M在椭圆上，所以②，
①②联立可得，即，
又及，解得：
所以椭圆方程为：.
（2）直线过定点（2，-1），证明如下：
设直线：，，
联立方程，整理得：，
，，
所以=，
代入得：，
化简得，此时，所以存在k使得成立，
所以直线l的方程为：，即，
所以直线l恒过定点（2，-1）
9. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】知椭圆的焦点在轴上，并且经过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线与圆相切于点，与椭圆相交于，两点，线段的中点为，求面积的最大值，并求此时点的坐标．
【答案】（1）；（2）的面积最大值为，此时点的坐标为或或或．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
由题意得，，．
因为，所以，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设动直线的方程为．
由直线与圆相切得，即．
由，得，
其中．
设，，，
则，从而，．
所以

．
因为，所以．
当时，上式等号成立，此时．
故的面积最大值为，
此时点的坐标为或或或．
10. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，点到直线的距离为，椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线过点，且与轴垂直，，为直线上关于轴对称的两点，直线与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面积之差取得最大值时，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
（1）由题意知，，，则直线的方程为，
即，所以点到直线的距离，
即．①
又椭圆过点，所以．②
联立①②，解得，，
故椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知，直线的方程为．
由题意知直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，
联立解得
即，．
联立消去整理得，
解得或．
由点异于点可得，
所以直线的方程为，
令，得，所以，
所以与的面积之差为．
（利用点的对称关系，将面积差问题转化为求）
因为，
当且仅当时取等号．
（在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧）
故当与的面积之差取得最大值时，
直线的方程为或．
11. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】已知椭圆的左､右焦点分别为，，满足，且以线段为直径的圆过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，若直线与椭圆交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，当的面积为定值1时，是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，值为.
【解析】
解：（1）设
以线段为直径的圆过点，所以.
所以
所以
所以
将代人
解得
所以椭圆的标准方程为
（2）当直线的斜率不存在时，
设直线的方程为，
设则①.
又
所以②.
由①②得所以
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为
设点
联立
得，

所以，
所以
所以③.
又


点到直线的距离，
所以
即
解得，
代入③式，得，
综上可知，当的面积为定值1时，是定值.
12. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知椭圆的离心率是，短轴长为2，A，B分别是E的左顶点和下顶点，O为坐标原点.
（1）求E的标准方程；
（2）设点M在E上且位于第一象限，的两边和分别与x轴、y轴交于点C和点D，求的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
解：（1）因为椭圆E的离心率，短轴长为2，所以.
又因为，解得.
故椭圆E的方程为；
（2）如图所示，设点.

，且A，D，M三点共线，，得，又
所以，
同理得，又，
因此四边形的面积.
又因为点在椭圆上，所以，即，
代入上式得.
设过点M且与直线平行的直线l的方程为，
当l与椭圆相切时，M到AB的距离d最大，为两平行线之间的距离，得面积最大.
联立整理得，
所以，解得.
所以直线l的方程为，即，
所以.
所以的面积的最大值为.
13. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知曲线C的方程为．
（1）求曲线C的离心率；
（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）解：由可知，点到点的距离之和为4，且，
根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆．
设椭圆的长轴长为，焦距为，
则，
所以曲线C的离心率为．
（2）证明：设椭圆的短轴长为，
由（1）可得，
所以曲线C的方程为，则．
由题意可知，动直线l的方程为，
设，
由
得，
所以．
设的中点为，
则，．
当时，线段的垂直平分线的方程为，
令，得，
所以，


，
所以．
当时，l的方程为，
此时，．
综上，为定值．