专题06 三角函数及解三角形——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（解析版）

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专题06 三角函数及解三角形

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：，
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得.
所以函数最小正周期为
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若α为第四象限角，则
A．cos2α>0 B．cos2α<0
C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以，
故选：D．
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，，
根据余弦定理：，
，
可得 ，即，
由，
故.
故选：A．
5．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=
A．–2 B．–1
C．1 D．2
【答案】D
【解析】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A．
【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=

A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC．
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
8.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.

【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.
9．【2020年高考全国III卷理数】16.关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
10．【2020年高考江苏】已知=，则的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】

故答案为：
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
11．【2020年高考北京】若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
【答案】（均可）
【解析】因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.
12．【2020年高考浙江】已知，则_______，_______．
【答案】；
【解析】，
，
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．【2020年高考江苏】将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．
【答案】
【解析】

当时.
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．

【答案】
【解析】设，由题意，，所以，
因为,所以，
因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，
即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，
解得；
等腰直角的面积为；
扇形的面积，
所以阴影部分的面积为.
故答案为：.

【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.
15．【2020年高考全国II卷理数】中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理和已知条件得，①
由余弦定理得，②
由①，②得.
因为，所以.
（2）由正弦定理及（1）得，
从而，.
故.
又，所以当时，周长取得最大值.
16．【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．

【解析】（1）在中，因为，
由余弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，
得，
所以
（2）在中，因为,所以为钝角，
而,所以为锐角.
故则.
因为，所以，.
从而
.
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.
17．【2020年高考天津】在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【解析】（Ⅰ）在中，由余弦定理及，有．又因为，所以．
（Ⅱ）在中，由正弦定理及，可得．
（Ⅲ）由及，可得，
进而．
所以，．
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
18．【2020年高考北京】在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择条件①（Ⅰ）


（Ⅱ）
由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：
（Ⅱ）

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得，故，
由题意得.
（Ⅱ）由得，
由是锐角三角形得.
由得
.
故的取值范围是.
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】方案一：选条件①．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得．
由①，解得．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时．
方案二：选条件②．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得，，．
由②，所以．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时．
方案三：选条件③．
由和余弦定理得．
由及正弦定理得．
于是，由此可得．
由③，与矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

1．【2020·上海高三一模】若不等式对上恒成立，则
A． B．
C．1 D．2
【答案】B
【解析】法一：
由题意可知：当，，当，，故当，，当，，
即有，故选B；
法二：由右图像可得：显然有，

故选B．
【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究.
2．【2020·广东省高三其他（理）】已知四边形中，，，，，E在的延长线上，且，则
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】在中，由余弦定理有，
∴，
易知，又，，故，


.

故选：A
【点睛】本题考查平面向量数量积的综合运用，涉及了余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题.
3．【2020·安徽省高三三模（理）】函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】定义域为，定义域关于原点对称，
，
是奇函数，排除C，D；
当时，，排除B；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.
4．【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，其始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则＝
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由定义知sinα=，，
所以，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，正弦二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于基础题目.
5．【2020·南昌市八一中学高三三模（理）】已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数的图象可得，，故函数是定义域内的减函数，且过定点.结合所给的图像可知只有C选项符合题意.
故选：C．
【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．
6．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】已知满足，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据两角和差的余弦公式得到，因为,得到sin=或代入得到结果为.
故答案为:A．
【点睛】
三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.
7．【2020·广东省高三一模（理）】已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则的单调递减区间是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】由题设可知该函数的最小正周期，结合函数的图象可知单调递减区间是，即，等价于，应选答案D．
【点睛】解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数 的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．
8．【2020·湖北省高三其他（理）】已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为，则_____．
【答案】
【解析】，
因为函数的最大值为，所以，所以，
由函数相邻两条对称轴间的距离为，可得周期，
所以，所以,
所以，又的图象与y轴的交点坐标为，
所以，所以，又，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求三角函数的图象与性质，二倍角的余弦公式，诱导公式，属于中档题.
9．【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】如图，将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即.如果在北京地区（纬度数约为北纬）的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于_________.（只需列出式子）

【答案】
【解析】设两楼的距离为，
因为
则要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，需满足对恒成立,因此
，从而两楼的距离不应小于
故答案为：
【点睛】本题考查不等式恒成立问题、正切函数单调性，考查基本分析建模能力与转化求解能力，属中档题.
10．【2020·四川省阆中中学高三二模（理）】在中，若，则的最小值为_______
【答案】
【解析】由，结合，
可得：，
当且仅当时，取得最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查余弦定理、利用均值不等式求和的最小值，属综合基础题.
11．【2020·定远县育才学校高三其他（理）】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则______．
【答案】
【解析】函数是奇函数，
所以，代入可得，
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．
则，的最小正周期为，
则 ，解得，
所以，
因为，代入可得，
解得，
所以，
则，
故答案为：.
【点睛】本题考查了正弦函数图像与性质的简单应用，函数图像平移变换及由性质求三角函数解析式，属于基础题.
12．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数，则下列判断正确的是
A．函数的一条对称轴为
B．函数在区间内单调递增
C．，使
D．，使得函数在其定义域内为偶函数
【答案】D
【解析】函数，
当时，当时，不能使函数取得最值，
所以不是函数的对称轴，A错；
当时，，函数先增后减，B不正确；
若，那么不成立，所以C错；
当时，函数是偶函数，D正确，
故选：D．
13．【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足.
（1）求的面积；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，，∴，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，
（2）∵，
∴，
∴，
∴
∴当时，取最大值.
【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是，这样可把表示为角的函数，从而求得最值．
14．【2020·湖北省高三其他（理）】已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S．
（1）若a，b，求cosB．
（2）求sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A）的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为三角形面积为S ，
所以，
解得 ，
因为a，b，
由正弦定理得：，
所以，
因为，
所以，
所以为锐角，
所以
（2）由（1）知，
所以sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A），
，
，，
令，
因为，
所以，
所以，
原式，
当时，原式取得最大值.
【点睛】本题主要考查三角形面积公式余弦定理、同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和与差的三角函数以及二次函数的性质，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15．【2020·广东省高三其他（理）】在中，已知内角所对的边分别为，向量，向量，且，角为锐角.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）解法一：由得，
即，
所以，
为锐角，，
，
即
解法二：由得，
即
所以即，
，即
为锐角，
所以.
（2）解法一：，由余弦定理，
得
又代入上式得，
当且仅当时取等号成立.
，
故的面积最大值为.
解法二：，由正弦定理，得，
所以，
，
由
.
因为，则当即时，
，
故的面积最大值为.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形、利用不等式求最值；正弦定理解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（理）】在中，角、、的对边分别是、、，如果、、成等差数列且．
（1）当时，求的面积；
（2）若的面积为，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为、、成等差数列，
则：，又，所以，
因为：，
，（负值舍）；
的面积；
（2）；
即：，当且仅当时等号成立；
；
即的最大值为：．
【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
17．【2020·山东省高三三模】如图，半圆O的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上异于A，B两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设．

（1）把线段PC的长表示为的函数；
（2）求四边形ACDP面积的最大值．
【答案】（1）， ； （2）5
【解析】（1）依题设易知是以为直角的直角三角形，
又，所以.

在，由余弦定理得，

.
所以， 定义域为.
（2）四边形ACDP面积为，
则


其中为锐角.
因为所以.
又因为，所以，
所以当时，取得最大值为.
所以四边形ACDP面积的最大值为5 .
【点睛】本题通过引进角,利用余弦定理求边长，再将所求面积表示为角的函数,从而构建函数,再求函数的最值，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.
18．【2020·天津高三二模】已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性；
【答案】（1）；（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.
【解析】（1）依题意，

所以.
（2）依题意，令，，
解得，
所以的单调递增区间为，.
设，，易知，
所以当时，在区间上单调递增；
在区间上单调递减.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.
19．【2020·广东省高三二模（理）】中，D为上的点，平分，，，的面积为.
（1）求的长；
（2）求.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，，的面积为，
∴，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
在中，由余弦定理，得
，
∴.
（2）在中，由余弦定理，得，
∴，
因为平分，所以，
∴
，
【点睛】本题考查了余弦定理、三角形内角和定理、三角形的面积公式、两角差的正弦公式，属于基础题.
20．【2020·四川省泸县第四中学高三二模（理）】△的内角的对边分别为,且．
（1）求角的大小；
（2）若,△的面积,求的周长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）依题意得：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．